2003:DE:372E:DA9D:CA6:8D9E:13B4:ADCE am 18. Dezember 2022 um 09:46 Uhr

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'''Hexaeder''' [{{IPA|hɛksaˈeːdər}}], von griech. ἑξάεδρον ''hexáedron'', „Sechsflächner“, bezeichnet allgemein ein [[Polyeder]] mit sechs ebenen Begrenzungsflächen. Dabei handelt es sich im Allgemeinen nicht um einen regulären platonischen Vielflächner, sondern einen beliebigen von sechs ebenen Flächen begrenzten Körper. Im Speziellen, insbesondere im Zusammenhang mit [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]], handelt es sich um das regelmäßige Hexaeder bzw. den [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit den 6 [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Flächen.

== Graphentheoretische Betrachtungen ==
Unterscheidet man nach der Struktur (genauer: nach dem zugrundeliegenden [[Kantengraph]]en, so dass z. B. ein [[Parallelepiped]] und ein [[Pyramidenstumpf]] mit vierseitiger Grundfläche nicht von einem Würfel zu unterscheiden, dagegen all diese hingegen von einer [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] mit [[Fünfeck|fünfeckiger]] Grundfläche), so gibt es nur sieben [[graphentheoretisch]] verschiedene Typen konvexer Hexaeder<ref>{{Literatur |Autor=[[Martin Gardner]] |Titel=Denkspiele von anderen Planeten |Verlag=Hugendubel |Ort=München |Datum=1986 |ISBN=3-88034-295-4 |Seiten=134}}</ref>:

{| class="wikitable toptextcells"
|- style="background:white"
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron1.svg]]</div>
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron2.svg]]</div>
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron3.svg]]</div>
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron4.svg]]</div>
|-
| ''Flächen:'' 4, 4, 4, 4, 4, 4<br>''Kanten:'' 12,  ''Ecken:'' 8
| ''Flächen:'' 5,  3, 3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 10,  ''Ecken:'' 6
| ''Flächen:'' 5,  4, 4,  3, 3, 3<br>''Kanten:'' 11,  ''Ecken:'' 7
| ''Flächen:'' 5, 5,  4, 4,  3, 3<br>''Kanten:'' 12,  ''Ecken:'' 8
|- style="background:#F0F1F2"
| [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Quader]], [[Parallelepiped]], [[Rhomboeder]], [[Trapezoeder|Trigonales Trapezoeder]], [[Pyramidenstumpf|Pyramidenstumpf mit viereckiger Grund- und Deckfläche]]
| Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche
|
|
|- style="background:white"
| <div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron5.svg]]</div>
| <div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron6.svg]]</div>
| colspan="2"| <div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron7.svg]][[Datei:Hexahedron7a.svg]]</div>
|-
| ''Flächen:'' 3, 3, 3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 9,  ''Ecken:'' 5
| ''Flächen:'' 4, 4, 4, 4,  3, 3<br>''Kanten:'' 11,  ''Ecken:'' 7
| colspan="2"| ''Flächen:'' 4, 4,  3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 10,  ''Ecken:'' 6
|- style="background:#F0F1F2"
| Doppel[[tetraeder]]
|
| colspan="2"| Dieser Körper weist [[Chiralität (Mathematik)|Chiralität]] auf:<br>Es gibt [[Links und rechts|eine „linkshändige“ und eine „rechtshändige“]] Variante,<br>die durch [[Ebenenspiegelung]] auseinander hervorgehen.
|}

Betrachtet man auch nichtkonvexe Hexaeder, so kommen noch die folgenden drei Typen mit „Auskerbung“ dazu:

{| class="wikitable toptextcells"
|- style="background:white"
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron8.svg]]</div>
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron10.svg]]</div>
| width="216" |<div style="text-align:center">[[Datei:Hexahedron9.svg]]</div>
|-
| ''Flächen:'' 4, 4,  3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 10,  ''Ecken:'' 6
| ''Flächen:'' 5, 5,  3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 11,  ''Ecken:'' 7
| ''Flächen:'' 6, 6,  3, 3, 3, 3<br>''Kanten:'' 12,  ''Ecken:'' 8
|}

== Würfel-Typ ==

Vom Würfel-Typ (6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken) gibt es folgende Formen:
{| class="wikitable"
|- align="center"
! Grafik
| [[File:Hexahedron.png|110px]]
| [[File:Cuboid no label.svg|110px]]
| [[File:Trigonal trapezohedron.png|110px]]
| [[File:Trigonal trapezohedron gyro-side.png|110px]]
| [[File:Usech kvadrat piramid.png|110px]]
| [[File:Parallelepiped 2013-11-29.svg|110px]]
| [[File:Rhombohedron.svg|110px]]
|-
! Name
| [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
| [[Quader]]
| [[Trigonal trapezohedron]]
| [[Trigonal trapezohedron]]
| Quadrilateral [[Kegelstumpf]]
| [[Parallelepiped]]
| [[Rhombohedron]]
|-
! Flächen
| [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
| drei Paare von<br>[[Rechteck]]en
| kongruente [[Raute|Rhomben]]
| kongruente [[Viereck]]e
| quadratischer<br>[[Pyramidenstumpf]]
| drei Paare von<br>[[Parallelogramm]]en
| drei Paare von<br>[[Raute |Rhomben]]
|-
! Symmetrien
| O<sub>h</sub>, [4,3], (*432)<BR>order 48<br>(8 Spiegelungen,<br>3'''!''' Achspermutationen)
| D<sub>2h</sub>, [2,2], (*222)<BR>order 8<br>(8 Spiegelungen,<br>wenn alle Achsen unterschiedlich lang)
| ''D''<sub>3''d''</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3)<BR>order 12
| ''D''<sub>3</sub>, [2,3]<sup>+</sup>, (223)<BR>order 6
| C<sub>4v</sub>, [4], (*44)<BR>order 8
| colspan="2" | ''C''<sub>''i''</sub>, [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], (×)<BR>order 2
|}

== Hexaeder in der Chemie ==
* Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen ''Cube'' (englisch für Würfel) benannte [[Cuban]].
* [[Kubisches Kristallsystem|Kubische Kristallsysteme]] kommen bei der Beschreibung des geometrischen Aufbaus von Kristallen vor, wie zum Beispiel beim Kochsalz ([[Natriumchlorid-Struktur]]).

== Siehe auch ==

* [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
* [[Platonischer Körper]]

* [[Abgeschrägtes Hexaeder]]

== Literatur ==
* Beweis zur Existenz von genau sieben konvexen Hexaedern: {{Literatur |Autor=Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe |Titel=Excursions into Mathematics |Ort= |Datum=1969 |Seiten=29–30}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hexahedra|Hexaeder}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polyeder]]

Hexaeder - Versionsgeschichte

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