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2026-03-28T17:57:57Z

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'''Heterogene Algebren''' sind im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[universelle Algebra|universellen Algebra]] untersuchte algebraische Strukturen und stellen in gewissem Sinn eine Verallgemeinerung von [[algebraische Struktur|universellen Algebren]] (zu unterscheiden von der Disziplin) dar. Während bei universellen Algebren von einer einzelnen Menge als Grundmenge ausgegangen wird, ist die Grundmenge einer heterogenen Algebra ein Mengensystem.

Verwendung finden sie in der [[Algebraische Spezifikation|algebraischen Spezifikation]], einer Form der [[Spezifikation]] eines Datentyps.

== Definition ==
Eine ''heterogene Algebra'' (engl. heterogeneous algebra) besteht aus einem System (einer [[Familie (Mathematik)|Familie]]) von nichtleeren Grundmengen <math>A = (A_j)_{j \in J}</math> und einem System (einer Familie) von Operationen <math>\Omega = (\omega_i)_{i \in I}</math>.

Die Operationen <math>\omega_i</math> sind Abbildungen von einem (möglicherweise leeren) [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] der Grundmengen in eine der Grundmengen
:<math>\omega_i\colon A_{j_1} \times \dotsb \times A_{j_{\nu}} \times \dotsb \times A_{j_n} \longrightarrow A_k</math>.

Man beachte, dass <math>k, n</math> und alle <math>j_\nu</math> spezifisch für die jeweilige Operation sind. Das zu jeder Operation <math>\omega_i</math> gehörende <math>(n+1)</math>-Tupel <math>(j_1, \dotsc, j_{\nu}, \dotsc, j_n; k) \in J^{n+1}</math> bezeichnet man als den ''[[Signatur (Modelltheorie)#Definition|Typ]]'' dieser Operation. Eine Operation <math>\omega_i</math> vom Typ <math>(;k)</math> entspricht einer Konstanten (aus der Grundmenge <math>A_k</math>).

Man kann die heterogene Algebra wie folgt angeben:
:<math>\boldsymbol A = (A,\Omega) = \bigl((A_j)_{j \in J}, (\omega_i)_{i \in I}\bigr)</math>
In gegebenem Zusammenhang ist dafür auch gleichwertig die Schreibweise
:<math>\boldsymbol A = (A_j \mid j \in J, \Omega)</math>
gebräuchlich.

Die Familie der Typen der einzelnen Operationen <math>\omega_i</math> mit Indexmenge <math>I</math> nennt man die (vielsortige) ''[[Signatur (Modelltheorie)#Vielsortige Signaturen|Signatur]]'' (manchmal auch ebenfalls ''Typ'') <math>\sigma</math> der heterogenen Algebra.<ref>Man kann die Indexmenge <math>I</math> verstehen als ein [[Alphabet (Informatik)|Alphabet]] von Bezeichnern (Sorten) der Grundmengen und die Indexmenge <math>J</math> als eine Menge von Funktionssymbolen (oder -bezeichnern).</ref> Haben zwei Algebren die gleiche Signatur, so sind ihre Operationen bijektiv zuordenbar.

Falls es nur eine Grundmenge gibt (wenn also <math>I</math> eine Einermenge ist), dann liegt eine gewöhnliche ([[Universelle Algebra|universelle]]) [[Algebraische Struktur|Algebra]] vor.

=== Bemerkungen ===
# Manchmal erweist es sich auch als zweckmäßig, leere Mengen <math>A_j = \emptyset</math> als [[Trägermenge|Trägermengen]] zuzulassen, etwa damit sichergestellt ist, dass die Menge aller Unteralgebren (siehe unten) einer heterogenen Algebra einen [[Verband (Mathematik)|algebraischen Verband]] bildet.
# Ersetzt man in der obigen Definition den Begriff ''Verknüpfung'' durch ''[[Verknüpfung (Mathematik)#Partielle Verknüpfungen|partielle Verknüpfung]],'' dann spricht man von einer partiellen heterogenen Algebra. Vernüpfungswerte müssen hier nicht für alle Parameter (<math>n</math>-Tupel-Kombinationen) definiert sein.

== Verallgemeinerungen von aus universellen Algebren bekannten Begriffen ==
Da die heterogene Algebra eine Verallgemeinerung der universellen Algebra ist, ist es von Interesse, wie sich die bekannten Begriffe und Sätze übertragen lassen.

=== Unteralgebren ===
Ein Mengensystem <math>U = (U_j)_{j\in{J}}</math>, bei dem für jeden Index <math>j</math> die Teilmengenrelation <math>U_j \subseteq A_j</math> gilt, ist genau dann ''[[Unteralgebra]]'' der heterogenen Algebra <math>\boldsymbol A = (A_j \mid j \in J, \Omega) = \bigl((A_j)_{j \in J}, \Omega\bigr)</math>, wenn alle Operationen aus <math>\Omega</math> abgeschlossen sind (insbesondere auch die nullstelligen Operationen), wenn also gilt:

:<math>\omega_i(u_1, \dots, u_n) \in U_k</math> für alle <math>\omega_i</math> mit Typ <math>(j_1, \dotsc, j_n; k)</math> und für alle <math>{u_1} \in U_{j_1}, \dotsc, u_n \in U_{j_n}</math>

Für nullstellige Operationen <math>\omega_i</math> (mit Typ <math>(;0)</math>, also <math>n = 0</math>), d. h. Konstanten, bedeutet das, dass diese alle in <math>U</math> liegen müssen:

:<math>\omega_i \in U</math>

Wie auch bei universellen Algebren gilt:
Der mengentheoretische Durchschnitt von Unteralgebren ist stets eine Unteralgebra (sofern er nicht leer ist).
Dabei ist der Durchschnitt für jedes <math>j \in J</math> getrennt durchzuführen und keiner der Durchschnitte darf leer sein.

=== Homomorphismen ===
Seien <math>\boldsymbol A = (A_j \mid j \in J, \Omega)</math> und <math>\boldsymbol B = (B_j \mid j \in J, \Omega')</math> heterogene Algebren derselben Signatur, d. h., für jedes <math>i</math> seien <math>\omega_i</math> und <math>\omega'_i</math> vom gleichen Typ, etwa <math>(j_1, \dotsc, j_n; k)</math>.

Weiter sei gegeben ein System (eine Familie) von Abbildungen <math>(f_j)_{j \in J}</math> mit <math>f_j\colon A_j \to B_j</math> für jedes <math>j</math>.

Seien die Funktionen <math>f_j</math> nun in folgendem Sinne mit den Operationen <math>\omega_i</math> vertauschbar:

:Für alle <math>\omega_i,\omega'_i</math> mit gemeinsamem Typ <math>(j_1, \dotsc, j_n; k)</math> und für alle <math>(a_1, \dotsc, a_n) \in A_{j_1} \times \dotsb \times A_{j_n}</math> gilt:
::<math>f_k(\omega_i (a_1, \dotsc, a_n)) = \omega'_i(f_{j_1}(a_1), \dotsc, f_{j_n}(a_n))</math>

Speziell im Fall von Konstanten, d. h. für die <math>\omega_i</math> mit Typ <math>(;k)</math>, muss also gelten: <math>f_k(\omega_i)=\omega'_i</math> mit <math>\omega_i \in A_k</math> und <math>\omega'_i \in B_k</math>.

Dann spricht man von einem ''[[Homomorphismus]]'' von <math>\boldsymbol A</math> in <math>\boldsymbol B</math>.<br />
Sind zusätzlich alle Funktionen <math>f_j</math> bijektiv, so spricht man von einem ''[[Isomorphismus]].''

=== Homomorphiesatz ===
Für jeden Homomorphismus <math>f</math> auf einer heterogenen Algebra ist das homomorphe Bild isomorph zu ihrer Faktoralgebra nach der [[Kongruenzrelation]] <math>\theta_f</math>.

{{Siehe auch|Homomorphiesatz}}

== Beispiele für heterogene Algebren ==
=== Vektorräume ===
Ein [[Vektorraum]] <math>(V, \oplus, \odot)</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>(K, +, \cdot)</math> ist eine heterogene Algebra mit den zwei Grundmengen <math>A_1=V</math> und <math>A_2=K</math>.
Für die zweistelligen Operationen gilt Folgendes:
* <math>\oplus\colon A_1 \times A_1 \to A_1</math> hat Typ <math>(1, 1; 1)</math>.
* <math>\odot\colon A_2 \times A_1 \to A_1</math> hat Typ <math>(2, 1; 1)</math>.
* <math>+\colon A_2 \times A_2 \to A_2</math> hat Typ <math>(2, 2; 2)</math>.
* <math>\cdot\colon A_2 \times A_2 \to A_2</math> hat Typ <math>(2, 2; 2)</math>.
In [[Quantorenelimination|quantorenfreier]] Notation der [[Axiom]]e (ohne [[Existenzquantor]]) kommen noch dazu als einstellige Operationen die Bildung des additiven Inversen (Negativen) in <math>(V, \oplus)</math> und des additiven und multiplikativen Inversen in <math>(K, +, \cdot)</math>, sowie als Konstanten (nullstellige Operationen) der Nullvektor <math>0_V</math> in <math>(V, \oplus)</math> und Null- und Einselement <math>0, 1</math> in <math>(K, +, \cdot)</math>:
* <math>\ominus\colon A_1 \to A_1</math> hat Typ <math>(1; 1)</math>.
* <math>-\colon A_2 \to A_2</math> hat Typ <math>(2; 2)</math>.
* <math>\operatorname{inv} = {}^{-1}\colon A_2 \not\to A_2</math> hat Typ <math>(2; 2)</math> (als partielle Operation).
* <math>0_V \in A_1</math> hat Typ <math>(;1)</math> (als Konstante <math>{A_1}^0 = \{\emptyset\} \to A_1</math>, siehe [[Kartesisches Produkt#Leeres Produkt|leeres Produkt]]).
* <math>0 \in A_2</math> und <math>1 \in A_2</math> haben beide Typ <math>(;2)</math>.
Streng genommen ist der Vektorraum also eine ''partielle'' heterogene Struktur.<br />
Verallgemeinerungen sind Links- und Rechtsvektorräume über [[Schiefkörper]]n (Wegfall der multiplikativen [[Kommutativität]] der Skalare). Spezielle Vektorräume sind die [[Algebra über einem Körper|Algebren über einem Körper]] (K-Algebren, veraltet auch: lineare Algebren) und [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]].

=== Moduln ===
Ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] <math>(M, \oplus, \odot)</math> über einem kommutativen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>(R, +, \cdot)</math> mit Einselement <math>1</math> ist eine heterogene Algebra mit den zwei Grundmengen <math>A_1=M</math> und <math>A_2=R</math>. Moduln sind verallgemeinerte Vektorräume, für die Operationen gelten analoge Regeln wie oben. Weitere Verallgemeinerungen bestehen im Wegfall der multiplikativen Kommutativität der Skalare (wobei dann zwischen Links- und Rechtsmoduln unterschieden werden muss) oder des Einselements.

=== Peirce-Algebren ===
Eine [[Peirce-Algebra]] ist eine abstrakte [[Relationsalgebra]] zusammen mit Links- und Rechtsverknüfungen mit Elementen weiterer Trägermengen. Ein Beispiel sind zweistellige [[Relation (Mathematik)|Relationen]] <math>R \sube A \times B</math> zwischen Elementen zweier Mengen <math>A</math> und <math>B</math> (Vor- und Nachbereich) zusammen mit Vor- und Nachbeschränkung auf Teilmengen von <math>A</math> bzw. <math>B</math>.

=== Köcher ===
Ein [[Köcher (Mathematik)|Köcher]] <math>\Gamma = (V, E, \operatorname{s}, \operatorname{t})</math> in der [[Graphentheorie]] ist eine heterogene Algebra mit zwei Grundmengen <math>A_1=V</math> (Punkten oder Knoten genannt) und <math>A_2=E</math> (Pfeile oder gerichtete Kanten genannt). Die einstelligen Operationen <math>\operatorname{s}</math> und <math>\operatorname{t}</math> sind beide vom Typ <math>(2;1)</math> und ordnen jedem Pfeil seinen Anfangs- und Endpunkt zu.

=== Kleine Kategorien ===
Eine [[Kategorientheorie#Kategorien|kleine Kategorie]] <math>\mathcal{C} = (\mathit\Omega, M, \operatorname{dom}, \operatorname{cod}, \circ, \operatorname{id})</math> in der [[Kategorientheorie]] ist eine (partielle) heterogene Algebra mit zwei Grundmengen<ref>Die Beschränkung auf Grund''mengen'' bedeutet, dass <math>\mathcal{C}</math> eine ''kleine'' Kategorie ist. In der Kategorientheorie bilden allerdings die Objekte und Morphismen der betrachteten Kategorien gewöhnlich [[Klasse (Mengentheorie)|eigentliche Klassen]] statt Mengen.</ref> <math>A_1 = \mathit\Omega = \operatorname{Ob}(\mathcal{C})</math> (Objekte genannt) und <math>A_2 = M = \operatorname{Ar}(\mathcal{C})</math> (Morphismen oder Pfeile genannt). Die einstelligen Operationen <math>\operatorname{dom}</math> und <math>\operatorname{cod}</math> sind beide vom Typ <math>(2;1)</math> und ordnen jedem Morphismus (Pfeil) sein Quell- und Zielobjekt zu. <math>\circ</math> ist eine zweistellige partielle Verknüpfung vom Typ <math>(2,2;1)</math> und ordnet je zwei Morphismen <math>f,g</math> mit <math>\operatorname{cod}(f)=\operatorname{dom}(g)</math> die Verknüpfung <math>g \circ f</math> zu. Die Identitätsabbildung <math>\operatorname{id}</math> ist eine einstellige Verknüpfung vom Typ <math>(1;2)</math>, die jedem Objekt <math>X</math> seinen Identitätsmorphismus <math>\operatorname{id}_X</math> mit <math>\operatorname{dom}(\operatorname{id}_X) = \operatorname{cod}(\operatorname{id}_X) = X</math> zuordnet. Die ersten vier Komponenten einer kleinen Kategorie <math>\mathcal{C} = (\mathit\Omega, M, \operatorname{dom}, \operatorname{cod}, \circ, \operatorname{id})</math> definieren einen Köcher <math>\Gamma = (\mathit\Omega, M, \operatorname{dom}, \operatorname{cod})</math>.

=== Endliche Automaten ===
Ein [[endlicher Automat]] <math>(\Sigma, S, s_0, \delta, F)</math> in der [[Automatentheorie]] ist eine heterogene Algebra<ref>Opolka 2010, S. 141.</ref> mit den zwei Grundmengen <math>A_1=\Sigma</math> (dem Eingabealphabet) und <math>A_2=S</math> (der Menge der Zustände). Für die Operationen gilt Folgendes:
* Der Anfangszustand <math>s_0\colon \to A_2</math> hat Typ <math>(;2)</math>.
* Die Zustandsübergangsfunktion <math>\delta\colon A_2 \times A_1 \to A_2</math> hat Typ <math>(2, 1; 2)</math>.

== Anmerkungen und Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
*{{Literatur| Autor=Hans Kaiser, Rainer Mlitz, Gisela Zeilinger| Titel=Algebra für Informatiker| Auflage=2| Verlag=Springer-Verlag| Ort=Wien| Datum=1985| ISBN=978-3-7091-8820-0| DOI=10.1007/978-3-7091-8820-0}}
*Miroslav Novotný: ''Homomorphisms of heterogeneous algebras.'' In: ''Czechoslovak Mathematical Journal.'' 52 (127), 2002, S. 415–428.
*G. Birkhoff, J. D. Lipson: ''Heterogeneous algebras.'' In: ''Journal of Combinatorial Theory.'' 8, 1970, S. 115–133.
*J. A. Goguen, J. W. Thatcher, E. G. Wagner, J. B. Wright: ''Initial algebra semantics and continuous algebras.'' In: ''Journal of the Association for Computing Machinery.'' 24, 1977, S. 68–95.
*P. J. Higgins: ''Algebras with a schema of operators.'' In: ''Mathematische Nachrichten.'' 27, 1963, S. 115–132.
*Hans Opolka: ''[https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/digibib_derivate_00014991/Opolka-Algebra_fuer_die_Informatik.pdf Algebra für die Informatik.]'' Bei: ''TU-Braunschweig.de.'' Institut für Analysis und Algebra. PDF, 2010, kein Zugriff ohne Berechtigung.

[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Universelle Algebra]]

Heterogene Algebra - Versionsgeschichte

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