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Eine '''Hessenbergmatrix''' ist eine spezielle Klasse von [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrizen]], die insbesondere im mathematischen Teilgebiet der [[Numerische lineare Algebra|numerischen linearen Algebra]] betrachtet wird. Benannt sind diese Matrizen nach [[Karl Hessenberg]].

== Definition ==
Eine (obere) Hessenbergmatrix ist eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>H\in\mathbb{C}^{n\times n}</math>, deren Einträge unterhalb der ersten [[Nebendiagonale]]n gleich Null sind, also <math>h_{ij}=0</math> für alle <math>i>j+1</math>.

<math>H = \begin{pmatrix}
h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\
h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\
0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn}
\end{pmatrix}</math>

Analog definiert man die untere Hessenbergmatrix als eine quadratische Matrix, deren [[Transponierte]] eine obere Hessenbergmatrix ist. Ist nur von einer Hessenbergmatrix die Rede, ist meist eine obere Hessenbergmatrix gemeint.<ref>{{Literatur |Titel=Hessenberg-Form |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Eine Matrix, die sowohl eine untere als auch eine obere Hessenbergmatrix ist, ist eine [[Tridiagonalmatrix]].

== Anwendung ==
Hessenbergmatrizen treten in natürlicher Weise in [[Krylow-Unterraum-Verfahren]] und als Vorstufe bei der Berechnung von Eigenwerten mittels des [[QR-Algorithmus]] auf. Die numerische Transformation einer beliebigen Matrix auf Hessenbergform wird beim QR-Algorithmus beschrieben. Die Struktur der Matrizen spiegelt sich in der [[Inverse Matrix|Inversen]], der [[Adjunkte]]n und in den [[Eigenvektor]]en wider.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Hessenbergmatrix - Versionsgeschichte

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