~2025-30385-43: /* Extremwerte */ Abbildung → reelle Funktion (Abbildung wäre R^n → R^n)

2025-10-28T11:58:19Z

Extremwerte: Abbildung → reelle Funktion (Abbildung wäre R^n → R^n)

Neue Seite

Die nach [[Otto Hesse]] benannte '''Hesse-Matrix''' ist eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die in der [[Mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] ein Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion ist.

Die Hesse-Matrix taucht bei der [[Approximation]] einer mehrdimensionalen Funktion in der [[Taylor-Entwicklung]] auf. Sie ist unter anderem in Zusammenhang mit der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]] von Systemen von Bedeutung, die durch mehrere Parameter beschrieben werden, wie sie beispielsweise in den Wirtschaftswissenschaften, in der Physik, theoretischen Chemie oder in den Ingenieurwissenschaften häufig auftreten.

== Definition ==
Sei <math>f \colon D \subset \R^n \to \R</math> eine [[Totale Differenzierbarkeit|zweimal stetig differenzierbare Funktion]]. Dann ist die Hesse-Matrix von <math>f</math> am Punkt <math>x=(x_1, \ldots , x_n) \in D</math> definiert durch

:<math>
\operatorname{H}_f(x):=
\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x)\right)_{i,j=1,\dots, n}=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x)\\[0.5em]
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(x)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n}(x)
\end{pmatrix}.
</math>

Mit <math>\tfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}</math> werden die [[Partielle Ableitung|zweiten partiellen Ableitungen]] bezeichnet. Die Hesse-Matrix entspricht der [[Transponierte Matrix|Transponierten]] der [[Jacobi-Matrix]] des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]], ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der [[Satz von Schwarz|Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge]] [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]],<ref>{{BibISBN|9783834805751|Seite=78}}</ref> so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.

== Beispiele ==

*Für <math>f \colon \R^2 \to \R</math>, <math>f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy</math> gilt
:<math>\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 - 3y</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3y^2 - 3x</math>,
:und für die zweiten Ableitungen dementsprechend:
:<math>\tfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial x}(x,y) = 6x </math> und
:<math>\tfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = -3 </math>, beziehungsweise
:<math>\tfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = -3</math>, sowie
:<math>\tfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial y}(x,y) = 6y </math>.
:Somit ergibt sich die Hessematrix zu:

::<math>\operatorname{H}_f(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y\end{pmatrix}</math>.

*Die Funktion <math>r \colon \R^n \to \R</math>, <math>\textstyle r(x) = \|x\| = \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}</math>, die jedem Vektor im <math>\R^n</math> seine [[euklidische Norm]] zuordnet, ist für alle <math>x \neq 0</math> zweimal stetig differenzierbar und es gilt nach der [[Kettenregel]]
::<math>\frac{\partial r}{\partial x_j}(x) = \frac{x_j}{\|x\|}</math>
:sowie weiter nach der [[Quotientenregel]]
::<math>\frac{\partial^2 r}{\partial x_i \partial x_j}(x) = \frac{\delta_{ij} \|x\| - x_j\frac{x_i}{\|x\|}}{\|x\|^2} = \frac{1}{\|x\|} \delta_{ij} - \frac{x_i x_j}{\|x\|^3}</math>,
:wobei <math>\delta_{ij} = \frac{\partial x_j}{\partial x_i}</math> das [[Kronecker-Delta]] bezeichnet. In Matrixschreibweise folgt also
::<math>\operatorname{H}_r(x) = \frac{1}{\|x\|} E_n - \frac{1}{\|x\|^3} x x^T</math>
:mit der <math>n\times n</math>-[[Einheitsmatrix]] <math>E_n</math>.

== Anwendungen ==

=== Taylor-Entwicklung ===
Die [[Taylor-Entwicklung]] einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion <math>f \colon D \to \R</math> mit <math>D \subseteq \R^n</math> um eine Entwicklungsstelle <math>a \in D</math> beginnt mit
:<math>T(x) = f(a) + (x-a)^T \operatorname{grad}f(a) + \frac{1}{2}(x-a)^T \operatorname{H}_f(a)(x-a) + \ldots</math>
Die Terme zweiter Ordnung dieser Entwicklung sind also durch die [[quadratische Form]] gegeben, deren Matrix die an der Entwicklungsstelle ausgewertete Hesse-Matrix ist.

=== Extremwerte ===
Mit Hilfe der Hesse-Matrix lässt sich der Charakter der [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischen Punkte]] einer reellen Funktion auf <math>\mathbb R^n</math> bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die [[Definitheit]] der Hesse-Matrix.

*Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales [[Extremwert|Minimum]] der Funktion.
*Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales [[Extremwert|Maximum]].
*Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen [[Sattelpunkt]] der Funktion.

Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur [[Definitheit|semidefinit]] ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden. Welcher dieser Fälle vorliegt, kann – wie unter [[Definitheit]] beschrieben – zum Beispiel mit Hilfe der [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] der Matrix oder ihrer [[Minor (Mathematik)|Hauptminoren]] entschieden werden.

Beispiel: Die Funktion <math>f(x,y) = x^2-y^2</math> hat in <math>(0,0)</math> einen kritischen Punkt, aber
<math>H(f)(0,0) = \begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}</math>
ist weder positiv noch negativ definit und auch nicht semidefinit, sondern indefinit. Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, in dem sich zwei [[Höhenlinie]]n schneiden.

=== Konvexität ===
Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven [[Definitheit]] der Hesse-Matrix und der [[Konvexe und konkave Funktionen|Konvexität]] einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion <math>f</math>, die auf einer offenen, konvexen Menge <math>D</math> definiert ist: Eine solche Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix ''überall in <math>D</math>'' positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix sogar positiv definit in <math>D</math>, dann ist die Funktion auf <math>D</math> strikt konvex.

Entsprechend gilt: Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion <math>f</math> ist auf ihrer konvexen [[Definitionsmenge]] <math>D</math> genau dann konkav, wenn ihre Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf <math>D</math>, so ist <math>f</math> auf <math>D</math> strikt konkav.

Ist <math>f</math> auf ihrer Definitionsmenge <math>D</math> strikt konvex, so besitzt <math>f</math> höchstens ein globales Minimum auf <math>D</math>. Jedes lokale Minimum ist zugleich das (einzige) globale Minimum. Ist <math>f</math> strikt konkav, so besitzt <math>f</math> höchstens ein globales Maximum. Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr (einziges) globales Maximum.<ref>{{Internetquelle | url=http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/optimierung/optim03.pdf | titel=Konvexe Funktionen | zugriff=2012-09-16 | seiten=16 | offline=ja | archiv-url=https://web.archive.org/web/20131102045601/http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/optimierung/optim03.pdf | archiv-datum=2013-11-02 }}</ref>

=== Laplace-Operator ===
Der [[Laplace-Operator]] einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion <math>f \colon D \to \R</math> mit <math>D \subseteq \R^n</math> ist gleich der [[Spur (Mathematik)|Spur]] ihrer Hesse-Matrix und daher unabhängig von der Wahl der Koordinaten:
:<math>
\Delta f = \mathrm{Spur}({H}_f)
</math>

== Siehe auch ==
* [[Geränderte Hesse-Matrix]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node134.html Weiteres zum Zusammenhang Konvexität – Hesse-Matrix]

== Literatur und Einzelnachweise ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis.'' Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.

[[Kategorie:Analysis]]

Hesse-Matrix - Versionsgeschichte

~2025-30385-43: /* Extremwerte */ Abbildung → reelle Funktion (Abbildung wäre R^n → R^n)