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Der '''Hertz’sche Dipol''' (nach [[Heinrich Hertz]]), auch '''Elementardipol''' genannt, ist die [[Idealisierung (Physik)|Idealisierung]] einer [[Antennentechnik|Antenne]] zur Aussendung [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Strahlung]] (auch ''Dipolstrahlung'' oder ''Dipolwelle'') und dient der Berechnung der Abstrahlung realer Antennen sowie als [[Bezugsantenne]], um die [[Richtwirkung]] einer Antenne als [[Antennengewinn|Gewinn]] zahlenmäßig zu erfassen.

Der Elementardipol ist im Gegensatz zum [[Halbwellendipol]] dadurch gekennzeichnet, dass seine Längsausdehnung kurz gegenüber der Wellenlänge angenommen wird<ref>[https://www.hs-augsburg.de/~clemen/lehre/Skript_Wellen/10Antennen.PDF C. Clemen: ''Elektromagnetische Wellen/Antennen''], Mitteilung der [[Fachhochschule Augsburg]], abgerufen am 1. Januar 2023
</ref> und dadurch nur ein elektrisches Feld und kein Magnetfeld erzeugt wird.

Eine Verallgemeinerung der Dipolwelle ist die hier mitbehandelte Multipolstrahlung.

== Der Hertz’sche Dipol als Modell ==
[[Datei:DipoleRadiation.gif|mini|300px|Betrag der elektrischen Feldstärke <math>E=|\vec E|</math> (farbig) und der [[Poynting-Vektor]] (schwarze Pfeile) im Nahfeld des vertikal in der Bildebene liegenden Dipols. Blaue/rote Farben bedeuten ein nach unten/oben orientiertes elektrisches Feld.]]
[[Datei:Animation Hertzscher Dipol.ogv|mini|Animation der Zeit- und Ortsabhängigkeit von E- und H-Feld in der xy-Ebene]]

Dem Hertz’schen Dipol als Modell liegt ein [[elektrisches Dipolmoment]] <math>\vec p</math>, das sinusförmig mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> variiert, zugrunde, dargestellt in [[Komplexe Wechselstromrechnung|komplexer Schreibweise]]
:<math>\vec p(t)\ = \vec p_0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}</math>.

Ein solches reines Dipolmoment ohne räumliche Ausdehnung ([[Dipol (Physik)#Punktdipol|Punktdipol]]) entsteht im [[Grenzübergang]] oszillierender Ladungsträger mit verschwindender Schwingungs[[amplitude]] (<math>\vec {l} \to 0</math>) und [[Grenzwert (Folge)#Bestimmte Divergenz|divergierender]] [[Elektrische Ladung|Ladungsmenge]] (<math>q \to \infty</math>).

=== Exakte Gleichungen ===
Für das magnetische und elektrische Feld am durch Abstand <math>r</math> und [[Einheitsvektor|Richtung]] <math>\vec n</math> gegebenen [[Ortsvektor|Ort]] gilt:
:<math>\vec {H} = \frac{\omega^3}{4\pi c^2}(\vec n \times \vec p)
\left(\frac{1}{\rho}+\frac{\mathrm{i}}{\rho^2}\right)
\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}\quad</math> ([[azimutal]], verläuft in Breitenkreisen um die Dipolachse)

:<math>\vec E = \frac{\omega^3}{4\pi \varepsilon c^3} \left[
(\vec n\times\vec p)\times\vec n\,\frac{1}{\rho}
+\left(3\vec n(\vec n\cdot\vec p)-\vec p\right)
\left(\frac{1}{\rho^3}-\frac{\mathrm i}{\rho^2}\right)\right]
\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}\quad</math> ([[Meridionalebene]] bzw. [[Meridian (Geographie)|meridional]] „Richtung Süden“ und radial)
Darin ist
* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>\rho=\tfrac{\omega r}{c}= \tfrac{2\pi r }{\lambda },</math> mit der Wellenlänge <math>\lambda</math> der Strahlung.
* <math>\varepsilon</math> die absolute [[Permittivität]], im Vakuum also <math>\varepsilon_0</math>. Es wird an dieser Stelle also das [[Internationales Einheitensystem|Internationale Einheitensystem (SI)]] benutzt, obwohl das äquivalente [[cgs-System]] manche Formeln vereinfacht
Aus diesen Gleichungen für den Hertz’schen Dipol lassen sich, im Gegensatz zu allen anderen Antennentypen, die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellenfronten analytisch berechnen. Insgesamt ergibt sich ein Strahlungsfeld, das zu jedem Zeitpunkt geschlossene Feldlinien hat, mit einer in allen Lehrbüchern wiedergegebenen charakteristischen [[Niere#Innerer Aufbau: Rinde und Mark|Nierenform]] (siehe z. B. das Außenfeld in Bild 1). Betont man zusätzlich die Zeitabhängigkeit, so erhält man obige Animation, welche in realistischer Weise u. a. die Phasengeschwindigkeit <math>v_p</math>, die Gruppengeschwindigkeit <math>v_g</math> und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Energie <math>v_e</math> in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> als Funktion der Entfernung zur Quelle in Einheiten der Kreis-[[Wellenzahl]] <math>k=\tfrac{\omega}{c}=\tfrac{2\pi}{\lambda}</math> ergibt. Für große Abstände nähern sich alle diese Geschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit. Im [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Nahfeld]] gibt nur <math>v_e</math> die Geschwindigkeit der Signalausbreitung richtig wieder.

[[Datei:Kugelkoord-lokale-Basis.png|300px|mini|Kugelkoordinaten mit zugehöriger vom Ort abhängigen Orthogonalbasis]]
Durch Zerlegen der Felder in die Komponenten der [[Kugelkoordinaten]] ergibt sich die zweite besonders in den Ingenieurwissenschaften gängige Darstellung. Hier wird auch die Ausrichtung des Feldes schnell deutlich.
{| class="wikitable"
|+
!Radial
|<math>H_\text{r} = 0</math>
|<math>E_\text{r} = \vec e_\text{r} \cdot \vec E = 2 |\vec p| \cos \theta\, \frac{\omega^3}{4\pi \varepsilon c^3} \left( \frac{1}{\rho^3}-\frac{\mathrm i}{\rho^2}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}</math>
|-
!Meridional
|<math>H_\theta = 0</math>
|<math>E_\theta = \vec e_\theta \cdot \vec E
= |\vec E - \vec E_\text{r}|
= - \sin \theta\, |\vec p|
\frac{\omega^3} {4\pi \varepsilon c^3}
\left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho^3} + \frac{\mathrm i}{\rho^2} \right)
\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}</math>
|-
!Azimutal
|<math>H_\varphi = \vec e_\varphi \cdot \vec H
= - | \vec p| \, \sin\theta \,\frac{\omega^3}{4\pi c^2}
\left(\frac{1}{\rho}+\frac{\mathrm{i}}{\rho^2}\right)
\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}</math>
|<math>E_\varphi = 0</math>
|}

==== Nah- und Fernbereich ====

Im ''Nahbereich'', <math>r\ll\lambda</math>, dominiert wegen des Terms <math>\propto\rho^{-3}</math> das elektrische Feld, während das Magnetfeld vernachlässigt werden kann: Es ist etwa im Verhältnis (r/λ) schwächer und in Gegenphase zum elektrischen Feld (d. h. wenn das eine Feld maximal ist, hat das andere ein Minimum).  <math>\vec E</math> verhält sich hier wie ein quasistatisches (d. h. langsam oszillierendes) Dipolfeld, und das Magnetfeld ist, analog zu einer schwachen [[Induktivität|induktiven Impedanz]] im Verhältnis zum starken [[Ohmscher Widerstand|Ohm’schen Widerstand]], vernachlässigbar. Das Magnetfeld steht senkrecht auf dem Radiusvektor und dem elektrischen Feld.

Die elektrische Feldstärke ist hier <math>\propto\rho^{-3}</math>, Winkel- und Frequenzabhängigkeit entsprechen dem langsam oszillierenden Dipolmoment.

Im ''Fernbereich'', <math>r\gg\lambda</math>, stehen zusätzlich Radiusvektor und elektrisches Feld nahezu orthogonal zueinander. Magnetfeld und elektrisches Feld schwingen in Gleichphase. Bis auf im SI-System willkürlich gewählte Konstanten haben sie dieselbe funktionale Abhängigkeit von den Variablen. Im cgs-System, wo diese Konstanten gleich Eins gesetzt werden, gilt <math>|\vec{E}|=|\vec{H}| \ \propto|\vec p| \ \omega^2/r</math> (bzw. ''[[Strahlungsintensität]]''  <math>\propto |\vec p|^2\omega^4</math>).
[[Datei:EH-field-3D.gif|alternativtext=Hertzscher Dipol|mini|Elektrische Feldlinien (blau und grün) sowie magnetische Feldlinien (rot) um einen hertzschen Dipol.<ref name=":0">{{Internetquelle |autor=Dominik Mair |url=https://github.com/c8501024/DipoleFieldLines |titel=Dipole Field Animation Visualizations |datum=2025-05 |sprache=en |abruf=2025-06-21}}</ref>]]
Damit sich die Feldlinien des elektrischen Feldes schließen, gibt es noch eine radiale Komponente. Im Nahbereich gilt dafür ein Term <math>\propto\rho^{-3}</math> und im Fernbereich dominiert der Term <math>\propto\rho^{-2}</math>.

=== Konsequenzen ===

Die letzte Formel hat viele Konsequenzen, u. a. für die gesamte [[Radio]]- und [[Fernsehtechnik]]<ref name="Dipolmoment">Dipolmoment und Antennenlänge werden bei elektrischer Dipolstrahlung in Beziehung gebracht, indem z. B. näherungsweise <math>|\vec p|(t)=l\cdot |Q(t)|</math> gesetzt wird: der mit der Frequenz ω/(2π) oszillierende Dipol ergibt sich aus der Länge <math>l</math> der Antenne und der an Ober- und Unterseite entgegengesetzt-gleichen Ladung <math>Q(t)</math>.</ref>. Die blaue Färbung des [[Himmel (planetär)|Himmels]] entsteht dadurch, dass die Strahlung der Sonne die Luftmoleküle zu Dipolstrahlung anregt (ein Beispiel für [[Rayleigh-Streuung]]). Obwohl das [[Lichtspektrum|Sonnenspektrum]] sein Maximum bei <math>f=(\omega /2\pi )\sim 550 \cdot 10^{12}~\mathrm{Hz}</math> im grünen Spektralbereich hat, dominiert in der Abstrahlung blaues Licht (Frequenzen um den höheren Wert <math>f^\prime :=(\omega^\prime /2\pi )\sim 650 \cdot 10^{12}~\mathrm{Hz}</math>). Das ungefähre Verhältnis <math>(\omega^\prime /\omega )^4\cong(6{,}5/5{,}5)^4</math> entspricht nahezu einer Verdoppelung der Strahlungsintensität beim Übergang von einer grünen zu einer blauen Frequenz bei festem Dipolmoment. Ferner ist die angegebene Formel auch für die heute alltäglich gewordene [[Mobiltelefon]]ie relevant. Dabei erfolgt die Kommunikation über die vom Mobiltelefon zu den nächstgelegenen Vermittlungsknoten ausgehende Dipolstrahlung, deren Frequenzbereich (<math>\sim 10^9~\mathrm{Hz}</math> ) genügend hoch ist, dass trotz minimalen Energieverbrauchs der Mobiltelefone die Signalintensität für die Informationsübertragung ausreicht. Zugleich liegen die Frequenzen der Mobiltelefonie noch im biologisch unschädlichen Bereich, im Gegensatz etwa zur Röntgenstrahlung.

=== Von der Fernfeldnäherung zum Antennendiagramm ===
Im [[Nahfeld und Fernfeld (Antennen)|Fernfeld]] sind die Terme mit <math>\rho^{-2}</math> und <math>\rho^{-3}</math> vernachlässigbar. Schreibt man nur die dominierenden Terme auf, so folgt:
:<math>\begin{align}
\vec H &\cong \frac{\omega^2}{4\pi c r}(\vec n \times \vec p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}\\
\vec E &\cong \frac{\omega^2}{4\pi \varepsilon c^2 r} (\vec n\times\vec p)\times\vec n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}
\end{align}</math>
[[Datei:Dipol Torus.png|mini|Betrag der Feldstärke im Fernfeld eines vertikalen Hertz’schen Dipols in [[Kugelkoordinaten]]]]
Der Betrag des gemeinsamen Faktors <math>\vec n \times \vec p</math> enthält die Richtungsabhängigkeit der Feldstärke. Sie variiert wie <math>\cos\varphi</math> mit dem Winkel <math>\varphi</math> zur Äquatorebene und ist unabhängig vom [[Azimut]] (siehe nebenstehendes [[Antennendiagramm]]).

Der [[Poynting-Vektor]] <math>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}</math> gibt die Energieflussdichte an. Sein Betrag, zeitlich gemittelt, ist im Fernfeld
:<math>\langle|\vec{S}(\theta ,r)|\rangle =\frac{1}{2}\,\frac{\omega^2|\vec p|}{4\pi \varepsilon c^2 r}\,\frac{\omega^2|\vec p|}{4\pi c r}\,(1-\cos^2\theta )</math>
und bis auf einen <math>1/r^2</math>-Faktor gleich der [[Strahlungsintensität]]
:<math>I(\theta )=\frac{\omega^4|\vec p|^2}{32\pi^2\varepsilon c^3}\,(1-\cos^2\theta ).</math>
Dabei ist <math>\theta</math> der von <math>\vec p</math> aus gemessene [[Polarwinkel]] des Vektors <math>\vec r.</math> Vom [[Azimutalwinkel]] <math>\varphi</math> hängt das Ergebnis dagegen nicht ab. Die Ausstrahlung erreicht also ihr Maximum in den Richtungen senkrecht zu <math>\vec p,</math> also senkrecht zur Antenne. In Antennenrichtung selbst verschwindet sie.

Integriert man über alle Richtungen, so ergibt sich die insgesamt ins Fernfeld abgestrahlte [[Leistung (Physik)|Leistung]] zu
<math>P = \tfrac{\omega^4|\vec p|^2}{12 \pi \varepsilon c^3} </math>. Dieses Ergebnis stammt von der Integration über den Raumwinkel. Bei [[Isotropstrahler|isotroper Verteilung]] ergäbe sich stattdessen eine Strahlungsintensität von <math>\bar{I} = \tfrac{\omega^4|\vec p|^2}{48 \pi^2 \varepsilon c^3}. </math> Das als [[Antennengewinn]] bezeichnete Verhältnis <math>\tfrac{I(0)}{\bar{I}}</math> beträgt im Vakuum also 1,5 (etwa 1,76 [[Dezibel|dBi]]).

== Verallgemeinerung: Multipolstrahlung ==

=== Definitionen ===

Die Zuführung eines Wechselstroms der Kreisfrequenz <math>\omega</math> zu einer Antenne der Länge <math>l</math> erzeugt also einen periodisch oszillierenden '''elektrischen''' Dipolvektor mit der Antennenrichtung (z-Richtung) als Dipolrichtung. (Das elektrische Dipolmoment ist <math>\propto Q(t)\cdot l,</math> wobei ''Q(t)'' die periodisch oszillierende elektrische Ladung ist.)

Ebenso wird durch ein in der (x,y)-Ebene auf einem Kreis mit Radius <math>\Delta R</math> umlaufendes Teilchen mit der konstanten Ladung ''Q0'' ein '''magnetischer''' Dipolvektor erzeugt, der per Konvention ebenfalls die z-Richtung hat und entsprechend dem Umlaufsinn zirkular polarisiert ist. (Das magnetische Dipolmoment ist <math>\propto\pi (\Delta R)^2\cdot Q_0 \ ;</math> die Kreisfrequenz des Umlaufs ist <math>\omega</math>.)

Magnetische Dipolstrahlung ist also wegen der ''quadratischen'' Abhängigkeit des Momentes von der (im Vergleich zu λ) kleinen Länge <math>\Delta R</math> von vornherein eine Größenordnung schwächer als elektrische Dipolstrahlung. Für diese gilt dagegen die schon bekannte ''lineare'' Beziehung.<ref name="Dipolmoment" />

Zwei geringfügig gegeneinander verschobene entgegensetzt-gleiche Dipolvektoren ergeben einen sog. „[[Quadrupol]]tensor“, zwei geringfügig gegeneinander verschobene entgegengesetzt-gleiche Quadrupole einen „Oktupol“ usw. Die Zahl der Freiheitsgrade erhöht sich dabei jedes Mal um zwei, nicht um drei, weil bei der Richtung der Verschiebung nur die beiden Winkelkoordinaten senkrecht zur z-Achse involviert sind.

Anstelle der kartesischen Koordinaten (x, y, z) werden im Folgenden [[Kugelkoordinaten]] <math>(r,\theta ,\varphi )</math> benutzt, die in der üblichen Weise miteinander zusammenhängen.

=== Formel ===

Die zugehörige Verallgemeinerung der Hertzschen Dipolstrahlung ist die sogenannte Multipolstrahlung. Anstelle des Dipolvektors treten elektrische plus magnetische Multipolmomente <math>a_{\ell m}^{(E)}</math> bzw. <math>a_{\ell m}^{(M)}</math> auf, wobei die Indizes <math>\ell</math> und <math>m</math> sich auf die polaren bzw. azimutalen Winkelvariablen <math>\theta</math> bzw. <math>\varphi</math> der [[Kugelkoordinaten]] beziehen. Die allgemeine Formel ist nach [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]
:<math> \begin{align}
\vec{E}(\vec{x},t) &= \sum_{\ell=1}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left[a_{\ell m}^{(M)} h_\ell^{(1)}(kr) \vec{X}_{\ell m}(\theta, \varphi)+\frac{\mathrm iZ_0}{k}a_{\ell m}^{(E)}\vec{\nabla}\times(h_\ell^{(1)}(kr)\vec{X}_{\ell m}(\theta, \varphi))\right]\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega t}\\
\vec{H}(\vec{x},t) &= \sum_{\ell=1}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left[a_{\ell m}^{(E)} h_\ell^{(1)}(kr) \vec{X}_{\ell m}(\theta, \varphi)-\frac{\mathrm i}{kZ_0}a_{\ell m}^{(M)}\vec{\nabla}\times(h_\ell^{(1)}(kr)\vec{X}_{\ell m}(\theta, \varphi))\right]\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega t}
\end{align}</math>
Dies entspricht ungefähr der Vertauschung von <math>\vec E</math> und <math>\vec H</math> unter Berücksichtigung des Vorzeichens ( +iZ0 → -i/Z0), analog zur formalen Vertauschungssymmetrie der freien [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] im [[cgs-System]] (Vakuum, <math>\vec{B}=\vec{H}</math>, <math>\vec{D}=\vec{E}</math>):
:<math>\operatorname{rot}\vec E + \frac{1}{c}\frac{\partial \vec H}{\partial t} =0, \quad \operatorname{rot}\vec H -\frac{1}{c}\frac{\partial \vec E}{\partial t} =0. </math>

<math>Z_0</math> ist die Vakuumimpedanz <math>\textstyle\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}.</math> Die <math>\vec X_{\ell m}</math> sind wie folgt definiert:
:<math>\vec X_{\ell m} = \frac{1}{\sqrt{\ell(\ell+1)}} \vec L Y_{\ell m}</math>
mit den [[Kugelflächenfunktionen]] <math>Y_{\ell m}</math> und dem [[Drehimpulsoperator]] <math>\vec L = - \mathrm i \vec r \times \vec \nabla</math>.

Die Gewichtsfaktoren <math>a_{\ell m}^{(E)}</math> bzw. <math>a_{\ell m}^{(M)}</math> beschreiben für <math>\ell=1</math> elektrische bzw. magnetische [[Dipol (Physik)|Dipolstrahlung]] bzw. für <math>\ell=2</math> [[Quadrupol]]strahlung, jeweils mit <math>2\ell+1</math> verschiedenen <math>m</math>-Werten. Man hat also für die aufeinander folgenden <math>\ell</math>-Werte drei bzw. fünf <math>m</math>-Werte. Im Fernbereich kann die Radialfunktion <math>h_\ell^{(1)}(kr),</math> eine sphärische [[Besselfunktion]], vereinfacht werden zu <math>\textstyle h_\ell^{(1)}(kr)\cong (-\mathrm i)^{\ell+1}\frac{\exp(\mathrm i k r)}{k r},</math> in Übereinstimmung mit den obigen Formeln. Die Größe ''k'' schließlich ist gleich ''ω/c''.

=== Nah- und Fernfeld ===

Im Nahbereich sind die Feldkomponenten jetzt – bei komplizierter Richtungsabhängigkeit, gegeben durch die [[Kugelflächenfunktion]]en <math>Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )</math> –  proportional zu <math>r^{-(\ell+2)}.</math>  Im Fernbereich sind dagegen nach wie vor alle Komponenten <math>\propto 1/r \ ,</math> und die elektrischen bzw. magnetischen Felder sowie der Radiusvektor sind wie bei ebenen elektromagnetischen Wellen paarweise orthogonal zueinander.

Monopolstrahlung würde <math>\ell=0</math> entsprechen. Diese kann nicht auftreten, da das Außenfeld einer kleinen geladenen Kugel unabhängig vom oszillierenden Kugelradius nach dem [[Gaußscher Integralsatz|Satz von Gauß]] nur durch die konstante Gesamtladung gegeben ist. Dies muss nicht als zusätzliche Annahme gefordert werden, denn insbesondere ist <math>\vec X_{00} = 0</math>.

== Siehe auch ==
* [[Hertzscher Oszillator]]

== Literatur ==
* John D. Jackson: ''Klassische Elektrodynamik''. 3. Auflage. de Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.
* Klaus Kark: ''Antennen und Strahlungsfelder : elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung.'' Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0216-6.

== Weblinks ==
* [https://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html Berechnungen und Animationen] zum Hertz’schen Dipol
* [https://www.didaktik.physik.uni-muenchen.de/multimedia/programme_applets/e_lehre/dipolstrahlung/index.html Animationen zur Abstrahlung vom Hertz’schen Dipol] (LMU München, Physikdidaktik)

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />
[[Kategorie:Lineare Antenne]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Heinrich Hertz]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Hertzscher Dipol - Versionsgeschichte

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