imported>Horst Gräbner: vorher richtig; fachsprachlicher Plural

2024-07-23T16:07:18Z

vorher richtig; fachsprachlicher Plural

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[[Bild:Hertz.svg|mini|Hertzsche Pressung zwischen zwei gekrümmten Körpern]]
Unter der '''Hertzschen Pressung''' (nach dem deutschen Physiker [[Heinrich Hertz]]) versteht man die größte [[Spannung (Mechanik)|Spannung]], die in der Mitte der Berührungsfläche zweier elastischer Körper herrscht.

Werden zwei [[Starrer Körper|starre Körper]] mit gewölbter Oberfläche ([[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] oder [[Kugel]]n) gegeneinander gepresst, dann berühren sie sich in diesem idealisierten Fall nur linien- oder punktförmig. Im elastischen Körper aber entstehen durch die [[Elastizität (Mechanik)|Elastizität]] an der Berührstelle eine Abplattung und eine Berührungsfläche sowie auf der Berührungsfläche in beiden Körpern eine charakteristische Spannungsverteilung ([[Flächenpressung]]).

Nach Hertz können Größe und Form der Berührungsfläche sowie die Höhe und Verteilung der mechanischen Spannungen unter der Berührungsfläche berechnet werden. So hängt die Höhe der Hertzschen Pressung ab von der [[Kraft]], mit der die beiden Körper aufeinander gepresst werden, von ihren [[Krümmungsradius|Krümmungsradien]], ihren [[Elastizitätsmodul]]n und von den Querkontraktionszahlen ihrer Werkstoffe.

Form der Berührflächen:
* berühren sich zwei [[Kugel]]n, eine Kugel und eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] oder zwei gekreuzte [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], so entsteht eine Berühr[[ellipse]].
* Bei Berührung zweier [[Parallel (Geometrie)|paralleler]] Zylinder oder eines Zylinders mit einer Ebene entsteht eine rechteckige, langgestreckte Berührungsfläche; man spricht hier auch von Walzenpressung.

== Voraussetzungen ==
Voraussetzungen für die Berechnung der Flächenpressung nach den Hertzschen Gleichungen sind
* [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastische]], [[Homogenität (Physik)|homogen]]e und [[isotrop]]e Werkstoffe
* Kontaktfläche eben und klein (gegenüber den Abmessungen der Körper)
* [[Reibungsfrei]]heit, keine [[Schubspannung]]en in der Kontaktfläche
* die Körper können als elastische [[Halbraum|Halbräume]] betrachtet werden

== Berechnung ==
=== Allgemein ===
Die Hertzsche Pressung bei Kontakt gekrümmter Oberflächen berechnet sich nach

:<math>
p_{\mathrm{max}} = \frac{1}{\xi \cdot \eta} \cdot \frac{1}{\pi}\cdot \sqrt[3]{\frac{3F \cdot (\sum k)^2}{8} \cdot \left( \frac{E}{1 - \nu^2} \right)^2} </math>

wobei gilt:
* <math> \xi , \eta </math> -- [[Beiwert]]e nach Hertz für die Berührung gekrümmter Oberflächen
* <math> F </math> -- Kraft zwischen den Körpern
* <math> k </math> -- [[Krümmung]] = Kehrwert des Radius
* <math>
\frac{1-{\nu}^2} {E} = \frac{1} {2} \cdot \left(\frac{1-{\nu}_1^2} {E_1} + \frac{1-{\nu}_2^2} {E_2} \right)
</math>

* <math> {\nu}_{1,2} </math> -- [[Poissonzahl]] (auch: Querkontraktionszahl) Körper 1, Körper 2
* <math> E_{1,2} </math> -- E-Modul der Werkstoffe Körper 1, Körper 2.

=== Punktberührung Kugel – Kugel ===
Für den einfachen Berührungsfall Kugel – Kugel gilt:

:<math>
p_{\mathrm{max}} = \frac{1}{\pi} \cdot \sqrt[3]{\frac{1,5 F}{r^2} \cdot \left( \frac{E}{1 - \nu^2} \right)^2}
</math>

mit
* <math> r = \frac{r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2} = \frac{1}{\sum k}</math> mit <math> r_{1,2} </math> -- Kugelradien Kugel 1, Kugel 2
* <math> E = 2 \frac{E_1 \cdot E_2} {E_1 + E_2} </math>

==== Sonderfälle ====

* Kugel – Hohlkugel: Falls die größere Kugel die kleinere umschließt, wird <math> r_2 </math> negativ eingesetzt.
* Kugel – Ebene: <math> r_2 \rightarrow \infty </math> und damit <math> r = r_1 </math>

=== Linienberührung Zylinder – Zylinder ===
Für den einfachen Berührungsfall Zylinder – Zylinder (oder Ebene) gilt:

:<math>
p_{\mathrm{max}} = \sqrt {\frac{F}{2 \pi r l} \cdot \frac{E}{1 - \nu^2}}
</math>

mit
* <math> l </math> -- Berührungslänge der Zylinder.

== Siehe auch ==
* [[Flächenpressung]]
* [[Stribeck-Pressung]]
* [[Pitting]]
* [[Kontaktmechanik]]

== Weblinks ==
* [https://home.uni-leipzig.de/pwm/web/download/Hertz1881.pdf H. Hertz: Ueber die Berührung fester elastischer Körper (1881)] (PDF-Datei; 1,81 MB)
* [https://www.mesys.ch/?page_id=54 Onlineberechnung inklusive Schubspannungsverlauf]

[[Kategorie:Mechanische Spannung]]
[[Kategorie:Heinrich Hertz]]

Hertzsche Pressung - Versionsgeschichte

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