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2025-04-27T19:39:33Z

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[[Datei:Mplwp hermiteH04.svg|mini|300px|Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome H<sub>n</sub>]]

Die '''Hermiteschen Polynome''' (nach [[Charles Hermite]]) sind [[Polynom]]e mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

: <math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}\,,</math>
bzw.
<math>H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\right)^n \, e^{-x^2/2}\,.</math>

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen <math>n</math>) sind Lösungen der '''Hermiteschen Differentialgleichung''', einer [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen Differentialgleichung]] zweiter Ordnung:

: <math>H_n''(x) - 2\,x\cdot H_n'(x) + 2\,n\cdot H_n(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots).</math>

== Explizite Darstellung ==
Aus der ersten Darstellung erhält man mit der [[Formel von Faà di Bruno]] die explizite Darstellung

: <math>H_n(x)=(-1)^n \sum_{k_1+2k_2=n} \frac{n!}{k_1!k_2!} (-1)^{k_1+k_2} (2x)^{k_1}</math>

also

: <math>H_0(x)=1</math>
: <math>H_1(x)=2x</math>
: <math>H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2 </math>
: <math>H_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x</math>
: <math>H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12</math>

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen <math>(n \in \N_0, H_{-1}(x) := 0)</math>:

: <math>H_{n+1}(x) = 2\,x\, H_n(x) - 2\,n\,H_{n-1}(x)</math>
: <math>H_n'(x) = 2\,n\,H_{n-1}(x)</math>

Da bei jedem Iterationsschritt ein <math>x</math> hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass <math>H_n(x)</math> ein Polynom von Grade <math>n</math> ist. Der [[Koeffizient]] der höchsten Potenz <math>x^n</math> ist <math>2^n</math>. Für gerade <math>n</math> treten ausschließlich gerade Potenzen von <math>x</math> auf, entsprechend für ungerade <math>n</math> nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

: <math>H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)</math>

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution <math>n'=n+1</math> auch wie folgt schreiben:

: <math>H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2\ldots) </math>

== Orthogonalität ==

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion <math>e^{-x^2}</math> die [[Orthogonale Polynome|Orthogonalitätsrelation]]

: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx= 2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.</math>

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine [[Reihenentwicklung|Reihe]] entwickelt werden können.

== Erzeugende ==
Eine [[erzeugende Funktion]] für die Hermite-Polynome ist

:<math>F(x,t) = e^{2xt - t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}H_n(x)</math> .

== Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome ==
[[Datei:Mplwp hermiteHe04.svg|mini|300px|Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome He<sub>n</sub> (Statistiker-Konvention)]]
Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
: <math>He_n(x)= 2^{-n/2} H_n(x/\sqrt{2}) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.</math>
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion <math>e^{-x^2/2}</math> orthogonal
: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, He_n(x) \, He_m(x) \, dx = \sqrt{2\,\pi} \, n! \, \delta_{mn}</math>
und erfüllen die Differentialgleichung
: <math>y'' - x\,y' + n\, y=0.</math>
Sie lassen sich rekursiv durch
: <math>He_{n+1}(x) = x\,He_n(x) - n\,He_{n-1}(x)</math>
bestimmen.

== Binomischer Lehrsatz ==
Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der [[Binomische Formel#Verallgemeinerungen|binomische Lehrsatz]]. Für <math>a^2+b^2=1</math> ist
: <math>H_n(ax+by)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}H_k(x)H_{n-k}(y).</math>

== Index mit negativem Wert ==
Die Ableitung der komplementären [[Fehlerfunktion]] <math>1 - \operatorname{erf}(x) = \operatorname{erfc}(x)</math> ist
:<math> \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}x}\operatorname{erfc}(x)=-\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}</math>.
Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:<ref>{{MathWorld | id=HermitePolynomial | title=Hermite Polynomial}}</ref>
: <math>H_n(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(-1)^{(n+1)} e^{x^2} \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \operatorname{erfc}(x)</math>,
sodass man für <math>n= -1</math> findet:
: <math>H_{-1}(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{x^2} \operatorname{erfc}(x)</math>.
Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
: <math>H_{n-1}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!} \frac{\mathrm d^{-n}}{\mathrm{d}x^{-n}} H_{-1}(x)</math> oder rekursiv <math>H_{n-1}(x)= \frac{1}{2n} H_{n}'(x)</math> mit <math>n=(-1,-2,-3,\dotsc)</math>.
Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:
: <math>H_{-1}(x)=\tfrac{1}{2} \sqrt{\pi}e^{x^2} \operatorname{erfc}(x)</math>
: <math>H_{-2}(x)=\tfrac{1}{2}(1- x \sqrt{\pi} e^{x^2} \operatorname{erfc}(x))</math>
: <math>H_{-3}(x)=\tfrac{1}{8}(-2x +(1+2x^2) \sqrt{\pi}e^{x^2} \operatorname{erfc}(x))</math>
: <math>\ldots</math>

== Anwendungen ==
Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der [[Orthonormalität|orthonormierten]] Lösungsfunktionen des
[[Quantenmechanik|quantenmechanischen]]
[[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|harmonischen Oszillators]] benötigt.
Diese entsprechen den [[Hermitesche Funktion|Hermiteschen Funktionen]], die man
durch Multiplikation mit der [[Normalverteilung|gaußschen Normalverteilung]]
und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der [[Methode der finiten Elemente|Finite-Elemente-Methode]] als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der [[Studentsche t-Verteilung#Nichtzentrale t-Verteilung|nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung]] lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

== Siehe auch ==
* [[Bell-Polynom]]
* [[Formel von Faà di Bruno]]
* [[Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ]]

== Literatur ==
* I.N. Bronstein u. a.: ''[[Taschenbuch der Mathematik]]''. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main / Thun 2001, ISBN 3-8171-2005-2
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]''
* Murray R. Spiegel: ''Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler''. McGraw-Hill

== Weblinks ==
* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html ''Hermite Polynomial''.] [[MathWorld]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Polynom]]
[[Kategorie:Charles Hermite als Namensgeber]]

Hermitesches Polynom - Versionsgeschichte

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