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2025-09-23T13:52:55Z

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Eine '''hermitesche Matrix''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[Quadratische Matrix|quadratische]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die gleich ihrer [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] ist. Die Einträge einer hermiteschen Matrix oberhalb der [[Hauptdiagonale]] ergeben sich demnach durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] der Einträge unterhalb der Diagonale und nachfolgender [[Komplexe Konjugation|komplexer Konjugation]]; die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst sind alle reell. Hermitesche Matrizen sind nach dem Mathematiker [[Charles Hermite]] benannt.

Hermitesche Matrizen weisen eine Reihe besonderer Eigenschaften auf. Die [[Matrizenaddition|Summe]] zweier hermitescher Matrizen ist stets wieder hermitesch. Jede komplexe quadratische Matrix lässt sich eindeutig als Summe einer hermiteschen und einer [[Schiefhermitesche Matrix|schiefhermiteschen Matrix]] schreiben. Das [[Matrizenmultiplikation|Produkt]] zweier hermitescher Matrizen ist wiederum hermitesch, sofern die beiden Matrizen [[Kommutativgesetz|kommutieren]]. Eine hermitesche Matrix ist stets [[Normale Matrix|normal]] und [[Selbstadjungierte Matrix|selbstadjungiert]], sie besitzt nur reelle [[Eigenwerte]] und sie ist stets [[Unitäre Matrix|unitär]] [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbar]]. Eine wichtige Klasse hermitescher Matrizen sind [[positiv definit]]e Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind. Eine hermitesche Matrix mit [[Reelle Zahl|reellen]] Einträgen ist [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]].

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] werden hermitesche Matrizen zur Beschreibung [[Hermitesche Sesquilinearform|hermitescher Sesquilinearformen]] verwendet. Die [[Abbildungsmatrix|Darstellungsmatrix]] einer komplexen [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Abbildung]] bezüglich einer [[Orthonormalbasis]] ist ebenfalls stets hermitesch. [[Lineares Gleichungssystem|Lineare Gleichungssysteme]] mit hermitescher [[Koeffizientenmatrix]] lassen sich effizient und [[Stabilität (Numerik)|numerisch stabil]] lösen. Weiterhin werden hermitesche Matrizen bei [[Orthogonalprojektion]]en und bei der [[Polarzerlegung]] von Matrizen verwendet. Hermitesche Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der [[Quantenmechanik]].

== Definition ==

Eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[quadratische Matrix]] <math>A = (a_{jk}) \in \Complex^{n \times n}</math> heißt ''hermitesch'', wenn für ihre Einträge

:<math>a_{jk} = \overline{a_{kj}}</math>

für <math>j, k = 1, \ldots, n</math> gilt. Eine hermitesche Matrix stimmt daher mit ihrer [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] <math>A^\mathsf{H}</math> überein, das heißt, es gilt

:<math>A = A^\mathsf{H}</math>.

Äquivalent dazu ist eine Matrix genau dann hermitesch, wenn ihre [[transponierte Matrix]] <math>A^\mathsf{T}</math> gleich ihrer [[Konjugierte Matrix|konjugierten Matrix]] <math>\bar A</math> ist, also

:<math>A^\mathsf{T} = \overline{A}</math>

gilt. Eine hermitesche Matrix ist also bis auf [[komplexe Konjugation]] aller Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer [[Hauptdiagonale]].

== Beispiele ==

Beispiele für hermitesche Matrizen sind (<math>\mathrm{i}</math> stellt die [[imaginäre Einheit]] dar):

:<math>
\begin{pmatrix}
2
\end{pmatrix}
,\quad
\begin{pmatrix}
1 & \mathrm{i} \\
-\mathrm{i} & 1
\end{pmatrix}
,\quad
\begin{pmatrix}
1 & 3-\mathrm{i} & 4 \\
3+\mathrm{i} & -2 & -6+\mathrm{i} \\
4 & -6-\mathrm{i} & 5
\end{pmatrix}
</math>.

Allgemein haben hermitesche Matrizen der Größe <math>2 \times 2</math>, <math>3 \times 3</math> und <math>4 \times 4</math> die Struktur

:<math>
\begin{pmatrix}
a & \bar{b} \\
b & c
\end{pmatrix}
,\quad
\begin{pmatrix}
a & \bar{b} & \bar{c} \\
b & d & \bar{e} \\
c & e & f
\end{pmatrix}
,\quad
\begin{pmatrix}
a & \bar{b} & \bar{c} & \bar{d} \\
b & e & \bar{f} & \bar{g} \\
c & f & h & \bar{i} \\
d & g & i & j
\end{pmatrix}
</math>

mit reellen Zahlen auf der Hauptdiagonale.

== Algebraische Eigenschaften ==
=== Einträge ===

Die Diagonaleinträge einer hermiteschen Matrix sind aufgrund von

:<math>a_{jj} = \overline{a_{jj}}</math>

stets reell. Die Matrix aus den [[Realteil]]en einer hermiteschen Matrix ist stets [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]], denn

:<math>\mathrm{Re}(a_{jk}) = \mathrm{Re}(a_{kj})</math>,

und die Matrix aus den [[Imaginärteil]]en einer hermiteschen Matrix stets [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrisch]], denn

:<math> \mathrm{Im}(a_{jk}) = - \mathrm{Im}(a_{kj})</math>.

Daher wird eine hermitesche Matrix durch

:<math>n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2</math>

reelle Zahlen eindeutig charakterisiert. Im Vergleich dazu wird eine allgemeine komplexe <math>(n \times n)</math>-Matrix durch <math>2n^2</math> reelle Zahlen beschrieben, also gerade doppelt so viele.

=== Summe ===

Die [[Matrizenaddition|Summe]] <math>A + B</math> zweier hermitescher Matrizen <math>A,B \in \Complex^{n \times n}</math> ist stets wieder hermitesch, denn

:<math>(A + B)^\mathsf{H} = A^\mathsf{H} + B^\mathsf{H} = A + B</math>.

Zudem lässt sich jede komplexe quadratische Matrix <math>M \in \Complex^{n \times n}</math> eindeutig als Summe <math>M = A + B</math> einer hermiteschen Matrix <math>A</math> und einer [[Schiefhermitesche Matrix|schiefhermiteschen Matrix]] <math>B</math> schreiben, indem

:<math>A = \frac{1}{2}(M + M^\mathsf{H})</math>   und   <math>B = \frac{1}{2}(M - M^\mathsf{H})</math>

gewählt werden.

=== Skalarmultiplikation ===

Das [[Skalarmultiplikation|Produkt]] <math>c A</math> einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> mit einem Skalar <math>c \in \Complex</math> ist nur wieder hermitesch, wenn <math>c</math> reell ist, denn dann gilt

:<math>(c A)^\mathsf{H} = {\bar c} A^\mathsf{H} = c A</math>.

Wenn <math>c</math> rein imaginär ist, dann ist das Produkt <math>c A</math> schiefhermitesch. Die hermiteschen Matrizen bilden demnach keinen [[Untervektorraum]] im <math>\Complex</math>-Vektorraum der komplexen quadratischen Matrizen, sondern lediglich einen Untervektorraum im <math>\R</math>-Vektorraum der komplexen quadratischen Matrizen. Dieser Untervektorraum hat die [[Dimension (Vektorraum)|Dimension]] <math>n^2</math>, wobei die [[Standardmatrix|Standardmatrizen]] <math>E_{jj}</math>, <math>1 \leq j \leq n</math>, <math>E_{jk}+E_{kj}</math> und <math>\mathrm{i}(E_{jk}-E_{kj})</math>, <math>1 \leq j < k \leq n</math>, darin eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] bilden. Im Raum der hermiteschen Matrizen bilden wiederum die reellen symmetrischen Matrizen einen Untervektorraum.

=== Produkt ===

Das [[Matrixmultiplikation|Produkt]] <math>A B</math> zweier hermitescher Matrizen <math>A,B \in \Complex^{n\times n}</math> ist im Allgemeinen nicht wieder hermitesch. Das Produkt hermitescher Matrizen ist genau dann hermitesch, wenn <math>A</math> und <math>B</math> [[Kommutativgesetz|kommutieren]], also wenn <math>A B = B A</math> gilt, denn dann ergibt sich

:<math>(A B)^\mathsf{H} = B^\mathsf{H} A^\mathsf{H} = B A = A B</math>.

Insbesondere sind damit für eine hermitesche Matrix <math>A</math> auch alle ihre [[Matrixpotenz|Potenzen]] <math>A^k</math> mit <math>k \in \N</math> und daher auch ihr [[Matrixexponential]] <math>e^A</math> wieder hermitesch. Für eine beliebige komplexe Matrix <math>M \in \Complex^{m \times n}</math> sind sowohl die <math>m \times m</math>-Matrix <math>M M^\mathsf{H}</math> als auch die <math>n \times n</math>-Matrix <math>M^\mathsf{H} M</math> stets hermitesch.

=== Normalität ===

Eine hermitesche Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist stets [[Normale Matrix|normal]], denn es gilt

:<math>A^\mathsf{H} A = A A = A A^\mathsf{H}</math>.

Jede hermitesche Matrix kommutiert also mit ihrer Adjungierten. Es gibt allerdings auch normale Matrizen, die nicht hermitesch sind, beispielsweise schiefhermitesche Matrizen.

=== Kongruenz ===

Jede komplexe Matrix <math>B \in \Complex^{n \times n}</math>, die [[Kongruenz (Matrix)|kongruent]] zu einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n\times n}</math> ist, ist ebenfalls hermitesch, denn es gilt

:<math>B^\mathsf{H} = (S^\mathsf{H} A S)^\mathsf{H} = S^\mathsf{H} A^\mathsf{H} S = S^\mathsf{H} A S = B</math>,

wobei <math>S \in \Complex^{n \times n}</math> die zugehörige Transformationsmatrix ist. Matrizen, die [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu einer hermiteschen Matrix sind, müssen jedoch nicht notwendigerweise ebenfalls hermitesch sein.

=== Inverse ===

Ist eine hermitesche Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> [[Reguläre Matrix|invertierbar]], dann ist auch ihre [[Inverse Matrix|Inverse]] <math>A^{-1}</math> wieder hermitesch, denn es gilt

:<math>(A^{-1})^\mathsf{H} = (A^\mathsf{H})^{-1} = A^{-1}</math>.

Für eine reguläre hermitesche Matrix <math>A</math> sind demnach auch alle Potenzen <math>A^{-k}</math> mit <math>k \in \N</math> wieder hermitesch.

== Spektrale Eigenschaften ==
=== Selbstadjungiertheit ===

Eine hermitesche Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist stets [[Selbstadjungierte Matrix|selbstadjungiert]], denn es gilt mit dem komplexen [[Standardskalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>

:<math>\langle A x, y \rangle = (A x)^\mathsf{H} y = x^\mathsf{H} A^\mathsf{H} y = x^\mathsf{H} A y = \langle x, A y \rangle</math>

für alle Vektoren <math>x,y \in \Complex^n</math>. Es gilt auch die Umkehrung und jede komplexe selbstadjungierte Matrix ist hermitesch.

=== Eigenwerte ===

Die [[Eigenwert]]e einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math>, das heißt die Lösungen der [[Eigenwertgleichung]] <math>A x = \lambda x</math>, sind stets reell. Ist nämlich <math>\lambda \in \Complex</math> ein komplexer Eigenwert von <math>A</math> mit zugehörigem [[Eigenvektor]] <math>x \in \Complex^n</math>, <math>x \neq 0</math>, dann gilt mit der Selbstadjungiertheit von <math>A</math>

:<math>\lambda \langle x, x \rangle = \langle x, \lambda x \rangle = \langle x, A x \rangle = \langle A x, x \rangle = \langle \lambda x, x \rangle = \bar\lambda \langle x, x \rangle</math>.

Nachdem <math>\langle x, x \rangle \neq 0</math> für <math>x \neq 0</math> ist, muss <math>\lambda = \bar\lambda</math> gelten und der Eigenwert <math>\lambda</math> damit reell sein.

=== Vielfachheiten ===

Bei jeder hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> stimmen die [[Algebraische Vielfachheit|algebraischen]] und die [[Geometrische Vielfachheit|geometrischen Vielfachheiten]] aller Eigenwerte überein. Ist nämlich <math>\lambda</math> ein Eigenwert von <math>A</math> mit geometrischer Vielfachheit <math>m</math>, dann existiert eine [[Orthonormalbasis]] <math>\{ x_1, \ldots , x_m \} </math> des [[Eigenraum]]s von <math>\lambda</math>, welche durch <math>\{ x_{m+1}, \ldots , x_n \} </math> zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraums <math>\Complex^{n}</math> [[Basisergänzungssatz|ergänzt]] werden kann. Mit der [[Unitäre Matrix|unitären]] Basistransformationsmatrix <math>S = ( x_1 \mid \cdots \mid x_n ) </math> ergibt sich damit die transformierte Matrix

:<math>C = S^{-1} A S = S^\mathsf{H} A S = \left( \begin{array}{c|c} \lambda I & 0 \\ \hline 0 & X \end{array} \right)</math>

als [[Blockdiagonalmatrix]] mit den Blöcken <math>\lambda I \in \Complex^{m \times m}</math> und <math>X \in \Complex^{(n-m) \times (n-m)}</math>. Für die Einträge <math>c_{jk}</math> von <math>C</math> mit <math>\min \{ j,k \} \leq m</math> gilt nämlich mit der Selbstadjungiertheit von <math>A</math> und der Orthonormalität der Basisvektoren <math>x_1, \ldots , x_n</math>

:<math>c_{jk} = \langle x_j, A x_k \rangle = \langle A x_j, x_k \rangle = \lambda \langle x_j, x_k \rangle = \lambda \delta_{jk} </math>,

wobei <math>\delta_{jk}</math> das [[Kronecker-Delta]] darstellt. Da <math>x_{m+1}, \ldots , x_n</math> nach Voraussetzung keine Eigenvektoren zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math>A</math> sind, kann <math>\lambda</math> kein Eigenwert von <math>X</math> sein. Die Matrix <math>C</math> besitzt daher nach der [[Determinante#Blockmatrizen|Determinantenformel für Blockmatrizen]] den Eigenwert <math>\lambda</math> genau mit algebraischer Vielfachheit <math>m</math> und aufgrund der [[Ähnlichkeit (Matrix)|Ähnlichkeit]] der beiden Matrizen damit auch <math>A</math>.<ref>{{Literatur|Autor=Howard Anton, Chris Rorres|Titel=Elementary Linear Algebra: Applications Version|Verlag=John Wiley & Sons|Jahr=2010|Seiten=404–405}}</ref>

=== Diagonalisierbarkeit ===

Nachdem bei einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte übereinstimmen und da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind, kann aus Eigenvektoren von <math>A</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des <math>\Complex^n</math> gebildet werden. Daher ist eine hermitesche Matrix stets [[diagonalisierbar]], das heißt, es gibt eine [[reguläre Matrix]] <math>S \in \Complex^{n \times n}</math> und eine [[Diagonalmatrix]] <math>D \in \Complex^{n \times n}</math> (sogar <math>D \in \R^{n \times n}</math>), sodass

:<math>S^{-1} A S = D</math>

gilt. Die Matrix <math>S = (x_1 \mid \cdots \mid x_n)</math> hat dabei die Eigenvektoren <math>x_1, \ldots, x_n</math> als Spalten und die Matrix <math>D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots , \lambda_n)</math> hat die zu diesen Eigenvektoren jeweils zugehörigen Eigenwerte <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n </math> auf der Diagonale. Durch eine [[Permutation]] der Eigenvektoren kann dabei die Reihenfolge der Diagonaleinträge von <math>D</math> beliebig gewählt werden. Daher sind zwei hermitesche Matrizen genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte besitzen. Weiterhin sind zwei hermitesche Matrizen genau dann [[Simultane Diagonalisierbarkeit|simultan diagonalisierbar]], wenn sie kommutieren.

=== Unitäre Diagonalisierbarkeit ===

Die Eigenvektoren <math>x_j, x_k</math> zu zwei verschiedenen Eigenwerten <math>\lambda_j \neq \lambda_k</math> einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> sind stets [[Orthogonalität|orthogonal]]. Es gilt nämlich wiederum mit der Selbstadjungiertheit von <math>A</math>

:<math>\lambda_j \langle x_j, x_k \rangle = \langle \lambda_j x_j, x_k \rangle = \langle A x_j, x_k \rangle = \langle x_j, A x_k \rangle = \langle x_j, \lambda_k x_k \rangle = \lambda_k \langle x_j, x_k \rangle</math>.

Da <math>\lambda_j</math> und <math>\lambda_k</math> als verschieden angenommen wurden, folgt daraus dann <math>\langle x_j, x_k \rangle = 0</math>. Daher kann aus Eigenvektoren von <math>A</math> eine Orthonormalbasis des <math>\Complex^n</math> gebildet werden. Damit ist eine hermitesche Matrix sogar unitär diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine unitäre Matrix <math>S</math>, mit der

:<math>S^\mathsf{H} A S = D</math>

gilt. Diese Darstellung bildet die Grundlage für die [[Hauptachsentransformation]] und ist die einfachste Version des [[Spektralsatz]]es.

=== Kenngrößen ===

Aufgrund der Diagonalisierbarkeit einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> gilt für ihre [[Spur (Mathematik)|Spur]]

:<math>\operatorname{spur}(A) = \lambda_1 + \ldots + \lambda_n</math>

und für ihre [[Determinante]] entsprechend

:<math>\det(A) = \lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n</math>.

Spur und Determinante einer hermiteschen Matrix sind demnach stets reell. Der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] einer hermiteschen Matrix ist gleich der Anzahl der Eigenwerte ungleich Null, also mit dem Kronecker-Delta

:<math>\operatorname{rang}(A) = n - \left( \delta_{\lambda_1,0} + \ldots + \delta_{\lambda_n,0} \right)</math>.

Eine hermitesche Matrix ist genau dann [[Reguläre Matrix|invertierbar]], wenn keiner ihrer Eigenwerte Null ist. Die [[Spektralnorm]] einer hermiteschen Matrix ist

:<math>\| A \|_2 = \max \{ | \lambda_1 |, \ldots , | \lambda_n | \}</math>

und damit gleich dem [[Spektralradius]] der Matrix. Die [[Frobeniusnorm]] ergibt sich aufgrund der Normalität entsprechend zu

:<math>\| A \|_F = \sqrt{ \lambda_1^2 + \ldots + \lambda_n^2}</math>.

=== Abschätzungen ===

Nach dem [[Satz von Courant-Fischer]] liefert der [[Rayleigh-Quotient]] Abschätzungen für den kleinsten und den größten Eigenwert einer hermiteschen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> der Form

:<math>\min\{ \lambda_1, \ldots , \lambda_n\} \leq \frac{\langle x, Ax \rangle}{\langle x,x \rangle} \leq \max\{ \lambda_1, \ldots , \lambda_n\}</math>

für alle <math>x \in \Complex^n</math> mit <math>x \neq 0</math>. Gleichheit gilt dabei jeweils genau dann, wenn <math>x</math> ein Eigenvektor zum jeweiligen Eigenwert ist. Der kleinste und der größte Eigenwert einer hermiteschen Matrix kann demnach durch Minimierung beziehungsweise Maximierung des Rayleigh-Quotienten ermittelt werden. Eine weitere Möglichkeit zur Eigenwertabschätzung bieten die [[Gerschgorin-Kreis]]e, die für hermitesche Matrizen die Form von [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] haben.

=== Definitheit ===
{{Hauptartikel|Definitheit}}

Ist <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> eine hermitesche Matrix, dann wird der Ausdruck

:<math>Q_A(x) = x^\mathsf{H} A x = \langle x, Ax \rangle</math>

mit <math>x \in \Complex^n</math> [[quadratische Form]] von <math>A</math> genannt. Je nachdem ob <math>Q_A(x)</math> größer als, größer gleich, kleiner als oder kleiner gleich null für alle <math>x \neq 0</math> ist, heißt die Matrix <math>A</math> positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit. Kann <math>Q_A(x)</math> sowohl positive als auch negative Vorzeichen annehmen, so heißt <math>A</math> indefinit. Die Definitheit einer hermiteschen Matrix kann anhand der [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] ihrer Eigenwerte ermittelt werden. Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix positiv definit, sind sie alle negativ, ist die Matrix negativ definit und so weiter. Das [[Tupel|Tripel]] bestehend aus den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerte einer hermiteschen Matrix wird [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] der Matrix genannt. Nach dem [[Trägheitssatz von Sylvester]] bleibt die Signatur einer hermiteschen Matrix unter [[Kongruenz (Matrix)|Kongruenztransformationen]] erhalten.

== Verwendung ==
=== Hermitesche Sesquilinearformen ===

Ist <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler komplexer [[Vektorraum]], dann lässt sich jede [[Sesquilinearform]] <math>b \colon V \times V \to \Complex</math> nach Wahl einer Basis <math>\{ v_1, \ldots , v_n \}</math> für <math>V</math> durch die Darstellungsmatrix

:<math>A_b = ( b(v_j, v_k) ) \in \Complex^{n \times n}</math>

beschreiben. Ist die Sesquilinearform [[hermitesche Sesquilinearform|hermitesch]], gilt also <math>b(v,w)=\overline{b(w,v)}</math> für alle <math>v, w \in V</math>, dann ist auch die Darstellungsmatrix <math>A_b</math> hermitesch. Umgekehrt definiert jede hermitesche Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> mittels

:<math>b_A(x,y) = x^\mathsf{H} A y</math>

eine hermitesche Sesquilinearform <math>b_A \colon \Complex^n \times \Complex^n \to \Complex</math>. Ist eine hermitesche Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> zudem positiv definit, dann stellt <math>b_A</math> ein [[Skalarprodukt]] im [[Unitärer Raum|unitären Raum]] <math>\Complex^n</math> dar.

=== Selbstadjungierte Abbildungen ===

Ist <math>(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> ein <math>n</math>-dimensionaler komplexer [[Skalarproduktraum]], dann lässt sich jede [[lineare Abbildung]] <math>f \colon V \to V</math> nach Wahl einer Orthonormalbasis <math>\{ e_1, \ldots , e_n \}</math> für <math>V</math> durch die [[Abbildungsmatrix]]

:<math>A_f = ( a_{jk} ) \in \Complex^{n \times n}</math>

darstellen, wobei <math>f(e_k) = a_{1k}e_1 + \ldots + a_{nk}e_n</math> für <math>k=1, \ldots , n</math> ist. Die Abbildungsmatrix <math>A_f</math> ist nun genau dann hermitesch, wenn die Abbildung <math>f</math> [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] ist. Dies folgt aus

:<math>\langle f(v), w \rangle = (A_fx)^\mathsf{H}y = x^\mathsf{H}A_f^\mathsf{H}y = x^\mathsf{H}A_fy = x^\mathsf{H}(A_fy) = \langle v, f(w) \rangle</math>,

wobei <math>v=x_1 e_1+ \ldots + x_n e_n</math> und <math>w=y_1 e_1 + \ldots + y_n e_n</math> sind.

=== Projektionen und Spiegelungen ===

Ist wieder <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein <math>n</math>-dimensionaler komplexer Skalarproduktraum und ist <math>U</math> ein <math>m</math>-dimensionaler Untervektorraum von <math>V</math>, wobei <math>x_1, \ldots , x_m</math> die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis für <math>U</math> sind, dann ist die [[Orthogonalprojektion]]smatrix auf diesen Untervektorraum

:<math>A_U = x_1 x_1^\mathsf{H} + \ldots + x_m x_m^\mathsf{H} \in \Complex^{n \times n}</math>

als Summe hermitescher Rang-Eins-Matrizen ebenfalls hermitesch. Auch die Orthogonalprojektionsmatrix auf den [[Orthogonales Komplement|Komplementärraum]] <math>U^\bot</math> ist aufgrund der Darstellung <math>A_{U^\bot}=I-A_U</math> stets hermitesch. Mit Hilfe der Projektionsmatrizen <math>A_U</math> und <math>A_{U^\perp}</math> lässt sich jeder Vektor <math>v \in V</math> in zueinander orthogonale Vektoren <math>u \in U</math> und <math>u^\perp \in U^\perp</math> zerlegen. Auch die [[Spiegelungsmatrix]] <math>I-2A_U</math> an einem Untervektorraum <math>U</math> ist stets hermitesch.

=== Lineare Gleichungssysteme ===

Das Auffinden der Lösung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] <math>Ax=b</math> mit hermitescher [[Koeffizientenmatrix]] <math>A</math> vereinfacht sich, wenn man die Hermitizität der Koeffizientenmatrix ausnutzt. Auf Grund der Hermitizität lässt sich die Koeffizientenmatrix <math>A</math> als [[Matrizenmultiplikation|Produkt]]

:<math>A = LDL^\mathsf{H}</math>

mit einer [[Dreiecksmatrix|unteren Dreiecksmatrix]] <math>L</math> mit lauter Einsen auf der Diagonale und einer [[Diagonalmatrix]] <math>D</math> schreiben. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der [[Cholesky-Zerlegung]] positiv definiter hermitescher Matrizen verwendet, um die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen. Beispiele moderner Verfahren zur [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösung großer linearer Gleichungssysteme mit [[Dünnbesetzte Matrix|dünnbesetzter]] hermitescher Koeffizientenmatrix sind das [[CG-Verfahren]] und das [[MINRES-Verfahren]].

=== Polarzerlegung ===

Jede quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> kann mittels der [[Polarzerlegung]] auch als Produkt

:<math>A = Q P</math>

einer unitären Matrix <math>Q \in \Complex^{n \times n}</math> und einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix <math>P \in \Complex^{n \times n}</math> faktorisiert werden. Die Matrix <math>P</math> ergibt sich dabei als die [[Quadratwurzel einer Matrix|Quadratwurzel]] von <math>A^\mathsf{H}A</math>. Ist <math>A</math> regulär, so ist <math>P</math> positiv definit und die Polarzerlegung eindeutig mit <math>Q = A P^{-1}</math>.

=== Quantenmechanik ===

Die in der [[Quantenmechanik]] verwendeten [[Pauli-Matrizen]]

:<math>
\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0 & -\mathrm{i}\\
\mathrm{i} & 0
\end{pmatrix},\quad
\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
</math>

sind hermitesch und [[Spur (Mathematik)|spurfrei]]. Die Pauli-Matrizen werden unter anderem zur Beschreibung von [[Isospin]]-[[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] verwendet. Die [[Gell-Mann-Matrizen]] sind hermitesche <math>(3 \times 3)</math>-Matrizen, die in der [[Quantenchromodynamik]] eingesetzt werden.

== Siehe auch ==
* [[Hermitescher Operator]], eine Verallgemeinerung hermitescher Matrizen auf unendlichdimensionale Räume
* [[Selbstadjungierter Operator]], eine weitere Verallgemeinerung hermitescher Matrizen auf unendlichdimensionale Räume

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger).'' 13. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.
* {{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|ISBN=0-521-46713-6}}
* Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 5. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=A. L. Onishchik|Titel=Hermitian matrix|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hermitian_matrix}}
* {{MathWorld|title=Hermitian matrix|id=HermitianMatrix}}
* {{PlanetMath|title=Hermitian matrix|id=HermitianMatrix|author=matte}}

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Charles Hermite als Namensgeber]]

Hermitesche Matrix - Versionsgeschichte

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