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2025-07-13T08:43:51Z

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[[Datei:Mplwp hermitefunction04.svg|mini|300px|[[Funktionsgraph|Plot]] der ersten fünf Hermiteschen Funktionen h<sub>n</sub> bzw. ψ<sub>n</sub>]]

Die '''Hermiteschen Funktionen''' <math>h_n(x)</math> erhält man aus den [[Hermitesches Polynom|Hermiteschen Polynomen]] <math>H_n(x)</math>, indem man diese mit der Dichte der [[Normalverteilung|Gaußschen Normalverteilung]] multipliziert.

:<math>h_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}e^{-x^2} = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-\frac{1}{2} x^2},</math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} h_n(x) h_m(x)\,\mathrm dx = \delta_{n,m} \qquad\qquad n,m=0, 1, 2, \ldots</math>

Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer [[Orthonormalität|orthonormalen]] [[Hilbertbasis|Basis]], ähnlich der [[Sinus]]-/[[Kosinus]]funktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse ([[Fourieranalyse]]) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse.

Eine wichtige Bedeutung haben sie in der Physik zur Konstruktion der [[Orthonormalität|orthonormiert]]en Lösungsfunktionen des
[[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|quantenmechanischen harmonischen Oszillators]]. Motiviert durch die [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)#Die Leiteroperatormethode|Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren]] der Quantenmechanik erhält man folgende rekursive Darstellung der hermiteschen Funktionen
:<math>h_n(x)=n^{-\frac12}a^\dagger h_{n-1}(x),\qquad h_0(x)=\pi^{-\frac14}e^{-\frac12x^2},</math>
dabei ist der Operator <math>a^\dagger</math> definiert durch
:<math>a^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big).</math>

Singuläre Ereignisse werden in der Regel durch [[Intensität (Physik)|Intensität]], [[Mittelwert]] und [[Empirische Standardabweichung|Standardabweichung]] charakterisiert. Diese Kennwerte können aber für verschiedene, sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein, so dass sie für die Charakterisierung nicht ausreichen. Daher bestimmt man die sogenannten „höheren statistischen [[Moment (Stochastik)|Momente]]“ als weitere Vergleichsgrößen. Diese sind jedoch sehr empfindlich auf [[Rauschen (Physik)|Rauschen]] und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet. Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen, so sind die Koeffizienten sehr stabil, da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter außenliegende Messdaten geeignet dämpfen.

Die Entwicklung einer ein Ereignis repräsentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der [[Wavelet-Transformation]].

== Hermitesche Funktionen als Eigenfunktionen der Fourier-Transformation ==
Die Hermiteschen Funktionen sind [[Eigenfunktion]]en der [[Fourier-Transformation]] im Eindimensionalen zu den [[Eigenwert]]en <math>\left(-\mathrm{i}\right)^n</math>:
:<math>\mathcal{F}\,h_n = \left(-\mathrm{i}\right)^n\,h_n \qquad \left(n\in\N_0\right).</math>
Mehr noch, sie bilden ferner im [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|Raum <math>L^2\left(\R\right)</math>]] ein [[vollständiges Orthonormalsystem]] von Eigenfunktionen.<ref>Helmut Fischer, Helmut Kaul: ''Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik''. 2. Aufl., B.G. Teubner, Wiesbaden 2004. ISBN 3-519-12080-1, §12 Abschn. 4.2, S. 300–301.</ref>

== Literatur ==
* I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), [[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]] (Hrsg.): ''[[Taschenbuch der Mathematik|Teubner-Taschenbuch der Mathematik]]''. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Charles Hermite als Namensgeber]]

Hermitesche Funktion - Versionsgeschichte

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