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[[Datei:Helmholtz coils.png|mini|Helmholtz-Spule (die Symmetrieachse heißt hier ''x'', anderswo im Artikel hingegen ''z''.)]]
Als '''Helmholtz-Spule''' bezeichnet man eine besondere Anordnung von [[Spule (Elektrotechnik)|Magnetspulen]], die auf den deutschen Physiker [[Hermann von Helmholtz]] (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze kreisförmige Spulen mit großem Radius ''R'' werden im Abstand ''R'' auf derselben Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe [[#Anti-Helmholtz-Spule|Anti-Helmholtz-Spule]]).

Das Feld einer einzelnen Spule ist [[inhomogen]]. In der geometrischen Anordnung der Helmholtz-Spulen überlagern sich die Felder beider Spulen aber gerade so, dass sich zwischen ihnen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld ergibt, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtz-Spulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

== Eigenschaften ==
Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwinden in der Mitte die erste, zweite und dritte [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Feldfunktion in alle Richtungen, am Rand fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Die Helmholtz-Spule ist damit die einfachste Spulenanordnung um ein nahezu konstantes Magnetfeld innerhalb eines endlichen Volumens zu erzeugen und wird häufig in physikalischen Experimenten verwendet. Die erzeugte [[magnetische Feldstärke]] ist – wie bei jeder Luftspule – streng linear vom Spulenstrom abhängig. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtz-Spule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern einsetzbar.

Größere Abstände als der Spulenradius ''R'' ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen.

== Anwendungen ==
[[Datei:Usno-fountain2.jpg|mini|Helmholtz-Spule in einer Atomuhr]]
* Bestimmung der spezifischen [[Elektronenladung]] nach Helmholtz mit [[Fadenstrahlrohr]]
* Qualitätskontrolle von [[Dauermagnet]]en
* [[Hall-Effekt]]-Untersuchungen
* Herstellung feldfreier Räume durch gezielte Abschirmung des [[Erdmagnetfeld]]s
* Kalibrierung von Magnetfeldsonden und [[Magnetometer]]n
* Hochfrequenz-Spule für die [[Magnetresonanztomographie]] (MRT)
* Gradientenspule (Maxwell-Spule, s. unten) für die MRT
* [[Magnetfeldtherapie]] (bewiesen unwirksame, angebliche Behandlungsmethode)

== Berechnung der magnetischen Flussdichte ==
[[Datei:Mplwp Helmholtz coil field.svg|mini|Feldverlauf auf der Symmetrieachse einer Helmholtzspule.]]
Die [[magnetische Flussdichte]] einer Helmholtz-Spule ergibt sich als Summe der Flussdichten der beiden kreisförmigen [[Leiterschleife]]n. Diese sind durch das [[Biot-Savart-Gesetz]] berechenbar, was aber abseits der Symmetrieachse auf analytisch nicht lösbare [[Elliptisches Integral|elliptische Integrale]] führt. Auf der Symmetrieachse (''z''-Achse) beträgt das Feld einer einzelnen Leiterschleife, die um <math>z_0</math> zentriert ist,
:<math>\vec{B}_{\mathrm{Schleife}}(z)=\frac{\mu_0 I}{2}\cdot\frac{R^2}{\left(R^2+(z-z_0)^2\right)^{3/2}}\,\vec{e}_z </math>
wobei <math>\mu_0</math> die [[magnetische Feldkonstante]], <math>R</math> der Spulenradius und <math>I</math> die Spulenstromstärke ist. <math>\vec e_z</math> ist der [[Einheitsvektor]] in ''z''-Richtung (und kann in der Formel weggelassen werden, wenn man nur den Betrag <math>B(z)</math> betrachtet). Das gesamte Feld eines Spulenpaares mit gleichsinnigen Strömen und Spulenabstand <math>d</math> beträgt daher
:<math>\vec{B}(z)=\frac{\mu_0 NI}{2}\cdot\left(\frac{R^2}{\left(R^2+(z-d/2)^2\right)^{3/2}} + \frac{R^2}{\left(R^2+(z+d/2)^2\right)^{3/2}}\right)\,\vec{e}_z</math>, wobei <math>N</math> die Windungszahl je Spule ist.
Die Flussdichte im Zentrum der Anordnung bei <math>z=0</math> ist aufgrund der Spulensymmetrie eine [[gerade Funktion]], das heißt, dass alle [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitungen]] ungerader Ordnung nach <math>z</math> dort verschwinden. Insbesondere ist das Feld dort für beliebige Spulenabstände <math>d</math> in [[Kleinsignalverhalten#Lineare Näherung|linearer Näherung]] konstant. Die Helmholtz-Spule ist der spezielle Fall mit einer maximal homogenen Flussdichte im Zentrum der Anordnung, bei dem auch noch die zweite Ableitung verschwindet,
:<math>\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}\vec{B}(z)\right|_{z=0}=0</math>.
Diese Bedingung ist erfüllt für
:<math>d=R</math>,
also wenn der Abstand genau dem Radius entspricht. Um das Zentrum herum variiert die Feldstärke dann nur in vierter Ordnung <math>\vec{B}(z) = \vec{B}(0) + \mathcal{O}(z^4)</math>.

Die Flussdichte im Zentrum beträgt:
:<math>\vec{B}(0) = \frac{8}{\sqrt{125}} \cdot \frac{\mu_0 NI}{R} \cdot\vec{e}_z</math>
Eine Helmholtz-Spule mit <math>R=d=1\,\mathrm{m}</math> und <math>NI=1\,\mathrm{A}</math> erzeugt beispielsweise eine zentrale Flussdichte von <math>B(0)=0{,}899\,\mathrm{\mu T}</math>.

== Induktivität ==
Für die beiden in Reihe geschalteten Spulenteile ergibt sich aufgrund der symmetrischen Anordnung der Ansatz <math display="inline">L=2 \cdot L_{11}+2 \cdot L_{12}</math>. Dabei ist <math>L_{11}</math> die [[Selbstinduktivität]] einer einzelnen Teilspule. Die [[Gegeninduktivität]] <math>L_{12}</math> ergibt sich aus der magnetischen Kopplung beider Spulenteile aufeinander und wirkt auf beide Spulenteile gleich.

Es handelt sich um kurze [[Induktivität#Induktivität einer Zylinderspule|Zylinderspulen]], deshalb gilt für die Selbstinduktivität die Näherungsformel

:<math>L_{11}=N^2 \cdot {{\mu _0\cdot \pi R^2}\over{l+2R/2{,}2}}</math> .

<math>l</math> ist die Länge einer Zylinderspule.

Die Gegeninduktivität lässt sich für die vorliegende Anordnung mit dem [[Induktivität#Wechselseitige Induktivität zweier Leiterschleifen|Neumann-Kurvenintegral]] berechnen. Nach der Integration ergibt sich die Formel

:<math>L_{12} = 4{,}941\cdot N^2\cdot {\mu _0 \over 4\pi}\cdot R</math> .

Insgesamt hat eine ''Helmholtz-Spule'' also die Induktivität

:<math>L=2\cdot N^2\cdot R\cdot \mu _0 \cdot \left({\pi R \over {l+2R/2{,}2}}+{4{,}941\over 4\pi}\right)</math> .

Bei einer ''Anti-Helmholtz-Spule'' ergibt sich die Induktivität aus dem Ansatz <math display="inline">L=2 \cdot L_{11}-2 \cdot L_{12}</math>. Die Gegeninduktivität fließt negativ in die Gesamtinduktivität ein, da sich die Magnetfelder destruktiv überlagern. Insgesamt also:

:<math>L=2\cdot N^2\cdot R\cdot \mu _0 \cdot \left({\pi R \over {l+2R/2{,}2}}-{4{,}941\over 4\pi}\right)</math>

== Variationen und Weiterentwicklung ==
=== Quadratische Helmholtzspule ===
In der Praxis werden die runden Einzelspulen oft durch quadratische Leiterschleifen der Kantenlänge ''a'' ersetzt. Damit lassen sich ähnlich homogene Felder erzeugen. Der ideale Spulenabstand beträgt dann ''d''=0,5445''a''<ref><math>d/a=\sqrt{\left(1/3+\sqrt{610}/108\right)^{1/3}+\left(1/3-\sqrt{610}/108\right)^{1/3}-1}\approx0{,}5445</math></ref><ref>{{cite journal |last1=Heller |first1=Carl |title=Über die Erzeugung großräumiger homogener Magnetfelder zum Studium des Verhaltens von Magnetkompassen und Kompensiermitteln auf verschiedenen magnetischen Breiten |journal=Deutsche Hydrografische Zeitschrift |date=1955 |volume=8 |issue=4 |pages=157–164 |doi=10.1007/BF02019812 |language=de}}</ref>, etwas größer als bei einer runden Helmholtzspule mit Durchmesser ''a'', da die quadratische Spule auch eine größere Fläche besitzt.

=== Anordnungen für noch homogenere Felder ===
<gallery class="float-right" mode="packed">
VFPt maxwell coil.svg|Maxwell-Spule
VFPt braunbek coil.svg|Braunbek-Spule
VFPt barker coil.svg|Barker-Spule
</gallery>
Der Bereich des homogenen Feldes ist im Vergleich zu den Gesamtabmessungen der klassischen Helmholtzspule klein. Daher versuchten viele Wissenschaftler, die Spulenanordnung zum Erzeugen homogener Felder zu verbessern. Es sind dies zum Beispiel:
* ''[[James Clerk Maxwell|Maxwell]]''-Spule<ref>{{cite book |last=Maxwell |first=James Clerk |title=Treatise on Electricity and Magnetism |year=1873 |publisher=The Clarendon Press |location=Oxford |isbn=0-486-60636-8 | volume=2 | url=https://archive.org/stream/electricandmag02maxwrich#page/n351/mode/2up| page=320 |language=en}}</ref>: drei Einzelspulen, wobei die mittlere Spule einen größeren Durchmesser hat und von einem größeren Strom durchflossen wird
* ''[[Braunbek]]''-Spule<ref>{{cite journal|title=Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme|first=Werner |last=Braunbek|journal=Zeitschrift für Physik|volume=88|issue=5–6|pages=399–402|year=1934|doi=10.1007/BF01343500 |language=de}}</ref>: vier Einzelspulen, wobei die inneren Spulen größere Durchmesser haben. Sie ist eine optimierte Version der ''[[Gerhard Fanselau|Fanselau]]''-Spule.<ref>{{cite journal|title=Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme|first=G. |last=Fanselau|journal=Zeitschrift für Physik|volume=54|issue=3–4|pages=260–269|year=1929|doi=10.1007/BF01339844 |language=de}}</ref>
* ''Barker''-Spule<ref>{{cite journal|title=New Coil Systems for the Production of Uniform Magnetic Fields|first=J. R. |last=Barker|journal=Journal of Scientific Instruments|volume=26|pages=273–275|year=1949|doi=10.1088/0950-7671/26/8/307 |language=en}}</ref>: vier Einzelspulen gleichen Durchmessers, wobei die äußeren von größerem Strom durchflossen werden
Diese Anordnungen verbessern das Verhältnis zwischen der Gesamtgröße und dem Volumen des homogenen Feldes und steigern dadurch auch die Effizienz, denn die Stromwege verkürzen sich. Die Barker-Spule wird in [[Kernspintomograf]]en eingesetzt, die Braunbek-Spule in geomagnetischen Laboren zur Kompensation des Erdmagnetfeldes und auch zur Simulation extraterrestrischer Felder, u. a. zum Test von Raumfahrzeugen. Weiterhin werden damit durch Kompensation äußerer Felder magnetfeldfreie Räume geschaffen, u. a. um [[Magnetometer]] zu testen.<ref>[http://www.serviciencia.es/folletos/Braunbek-Barker-Examples-1.pdf serviciencia.es] Prospekt der Fa. Serviciencia, S. L. / Spanien, abgerufen 2017-09-18</ref><ref>[http://www.igep.tu-bs.de/institut/einrichtungen/magnetsrode/ igep.tu-bs.de] 3D-Braunbek-Spulensystem in ''Magnetsrode'' - einem geomagnetischen Laboratorium</ref>

=== {{Anker|Maxwellspule}} Anti-Helmholtz-Spule ===
Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so ist das Feld im Zentrum null. Im Bereich um das Zentrum steigt das Feld in Achsenrichtung linear an, so dass die Spulenanordnung ein Gradientenfeld erzeugt. Diese Spulenanordnung wird '''Maxwell-Spule''', manchmal auch '''Anti-Helmholtz-Spule''' genannt. Der optimale Abstand ''d'' der Einzelspulen zueinander hängt von den gewünschten Feldeigenschaften ab: Ein maximaler Feldgradient im Zentrum ergibt sich beim Abstand <math>d=R</math>, also genau wie bei der optimalen Helmholtz-Spule. Ein möglichst homogener Gradient, bei dem die zweite und dritte Ableitung der Feldstärke verschwindet, entsteht hingegen bei einem Spulenabstand <math>d=\sqrt{3}R</math>, allerdings mit ca. 25 % verringerter Gradientenstärke.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (''z''-Achse) geschieht in ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl ''N'':
:<math>B(z)=\frac{\mu_0 N I}{2}\left(\frac{R^2}{\left(R^2+\left(z-d/2\right)^2\right)^{3/2}}-\frac{R^2}{\left(R^2+\left(z+d/2\right)^2\right)^{3/2}}\right)</math>

Mit Spulenabstand <math>d=R</math> gilt dann für den Feldgradienten im Zentrum:
:<math>{\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z}} = \sqrt{\frac{2304}{3125}} \cdot \frac{\mu_0\,N\, I}{R^2} \approx 0{,}8587 \, \frac{\mu_0\,N\,I}{R^2} </math>
Mit Spulenabstand <math>d=\sqrt{3}R</math> gilt entsprechend:
:<math>{\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z}} = \sqrt{\frac{6912}{16807}} \cdot \frac{\mu_0\,N\, I}{R^2} \approx 0{,}6413 \, \frac{\mu_0\,N\,I}{R^2} </math>

== Bildgalerie ==
Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtz-Spulen dargestellt:

<gallery>
VFPt helmholtz coil thumb.svg|Feldlinien
Magnetfeld der Helmholtzspule.gif|Magnetfeld der Helmholtz-Spule mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht
Magnetfeld-Helmholtzspule.gif|Berechnetes Magnetfeld der Helmholtz-Spule
Helmholtz zfield.png|[[Magnetische Flussdichte]] entlang der Achse durch das Zentrum der Spulen; z=0 ist der Punkt in der Mitte zwischen den Spulen.
Helmholtzsplue Magnetfeld.png|Betrag der magnetischen Flussdichte als Funktion des Ortes. Die Schnittebene geht durch das Zentrum.
Maxwellspule.gif|Maxwell-Spule: Feldstärkeverlauf bei optimiertem Spulenabstand von <math>d = \sqrt{3} \, R</math> und Einzelfelder in willkürlichen Einheiten.
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Helmholtz coils}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/magnetic/curloo.html#c3 Berechnung des Magnetfeldes einer Stromschleife]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Helmholtzspule}}
[[Kategorie:Induktanz]]
[[Kategorie:Hermann von Helmholtz als Namensgeber]]

Helmholtz-Spule - Versionsgeschichte

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