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Die '''Helmholtz-Gleichung''' ist eine [[partielle Differentialgleichung]], die [[Hermann von Helmholtz]] im Rahmen einer Studie über ''Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden''<ref name="Helmholtz"/> 1860 untersuchte, in einer Zeit, in der er sich mit heute sogenannten [[Helmholtz-Resonator]]en befasste. Die Gleichung lautet:

:<math>\Delta\varphi=\lambda\cdot\varphi</math>

in einem Gebiet <math>\Omega</math> mit vorgegebenen [[Randbedingung]]en auf dem Rand <math>\partial\Omega</math>. Darin ist <math>\Delta</math> der [[Laplace-Operator]], <math>\varphi</math> die Lösungsfunktion ([[Eigenwertproblem#Eigenwerte und Eigenfunktionen|Eigenfunktion]]) und <math>\lambda</math> der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten [[Eigenwertproblem]]. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. In der häufig auftretenden Form

:<math>\Delta\varphi+\kappa^2\cdot\varphi=0</math>

beschreibt sie einen Schwingungsvorgang<ref name="Helmholtz"/><ref name="Spektrum"/> oder auch Wirbelströmungen, siehe [[#Ebene Wellen in viskositätsfreien Fluiden|Ebene Wellen in viskositätsfreien Fluiden]].

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene [[partielle Differentialgleichung]] (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptischen PDGL]]. Sie ergibt sich z. B. aus der [[Wellengleichung]] nach [[Trennung der Variablen]], siehe [[#Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung|Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung]]. Die Trennung der Variablen gelingt immer in Koordinatensystemen, deren Koordinatenflächen [[konfokale Quadriken]] oder deren degenerierten Formen sind, siehe [[#Separation der Helmholtz-Gleichung|Separation der Helmholtz-Gleichung]]. Im eindimensionalen Fall <math>n=1</math> ist die Gleichung vom Typ einer [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]].

Im Fall <math>\lambda=0</math> entsteht die [[Laplace-Gleichung]], die hier nur am Rand erwähnt wird.

== Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz-Gleichung ==
Wie eingangs angedeutet, können durch [[Trennung der Veränderlichen]] einige in der [[Physik]] vorkommende [[partielle Differentialgleichung]]en auf die Helmholtz-Gleichung und eine [[Gewöhnliche Differentialgleichung]] in der Zeit <math>t</math> zurückgeführt werden:<ref name="Spencer"/>
* [[Diffusionsgleichung]] <math>\Delta\phi
=\frac1{h^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}</math>,
* Ungedämpfte [[Navier-Cauchy-Gleichungen#Wellengleichungen|Wellengleichungen des Kontinuums]] oder das [[Elektrisches Potential#Poisson-Gleichung in der Elektrodynamik|elektrische Potential des Vakuums]] <math>\Delta\phi
=\frac1{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}</math> oder
* Gedämpfte Wellengleichungen <math>\Delta\phi
=\frac1{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+R\frac{\partial\phi}{\partial t}</math>, und die
* [[Leitungsgleichung]] <math>\Delta\phi
=\frac1{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+R\frac{\partial\phi}{\partial t}+S\phi
</math>.

Dazu wird der [[Separationsansatz]] <math>\phi=U(\vec r)T(t)</math> mit einer nur vom [[Ort (Physik)|Ort]] <math>\vec r</math> abhängigen Funktion <math>U</math> und einer nur von der [[Zeit]] abhängigen Funktion <math>T</math> eingesetzt.

Bei der Diffusionsgleichung ergibt sich aus dem Ansatz

:<math>\Delta U\cdot T=\frac1{h^2}U\cdot\dot{T}
\;\rightarrow\;\frac{\Delta U}U=\frac1{h^2}\frac{\dot T}T</math>

wobei der aufgesetzte Punkt die [[Zeitableitung]] symbolisiert. Weil die linke Seite nur vom Ort und die rechte Seite nur von der Zeit abhängt, müssen auf beiden Seiten Konstanten stehen:

:<math>\frac{\Delta U}U:=-\kappa^2\;\rightarrow\;\Delta U+\kappa^2U=0
\,,\;\dot T+\kappa^2h^2T=0</math>

Somit ist die Diffusionsgleichung überführt in die Helmholtz-Gleichung für <math>U</math> und eine Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit für <math>T</math>.

In gleicher Weise entsteht aus der ungedämpften Wellengleichung

:<math>\Delta U+\kappa^2U=0\,,\;\ddot T+\kappa^2c^2T=0</math>,

und aus der gedämpften

:<math>\Delta U+\kappa^2U=0\,,\;\ddot T+Rc^2\dot T+\kappa^2c^2T=0</math>.

Bei der Leitungsgleichung kommt noch der Term <math>S\phi=SUT</math> hinzu mit dem Ergebnis

:<math>\Delta U+\kappa^2U=0\,,\;\ddot T+Rc^2\dot T+(S+\kappa^2)c^2T=0</math>.

Die Lösung der Helmholtz-Gleichung <math>\Delta U+\kappa^2U=0</math> hängt vom Ort und den [[Randbedingung]]en ab, wohingegen die Differentialgleichung für <math>T </math> bei jedem Aufgabentyp immer dieselbe ist.

Die Lösung der Diffusionsgleichung ist immer von der Form

:<math>\phi=U(\vec r){\rm e}^{-\kappa^2h^2 t}</math>,

wo <math>e^x </math> die [[e-Funktion]] ist, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit abnimmt. Die ungedämpfte Wellengleichung setzt sich immer aus dem [[Sinus und Cosinus]] zusammen, beispielsweise:

:<math>\phi=U(\vec r)\sin(\kappa c t)</math>.

So ergibt sich die Schwingung eines geraden Stabes, siehe [[Navier-Cauchy-Gleichungen#Beispiel|Navier-Cauchy-Gleichungen]]. Bei der gedämpften Schwingung lautet die Lösung

:<math>\phi=U(\vec r){\rm e}^{-\alpha t\pm\sqrt{\alpha^2-\kappa^2c^2}t}</math> mit <math>\alpha=\frac R2c^2</math>,

wobei drei Fälle zu unterscheiden sind:
* Bei überkritischer Dämpfung mit <math>\alpha>\kappa c</math> hat die Lösung die gleiche Gestalt wie beim Diffusionsproblem, sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit gegen null geht.
* Bei unterkritischer Dämpfung ist <math>\alpha<\kappa c</math>, die Lösung eine exponentiell mit der Zeit abklingende Welle, und die lässt sich mit Konstanten <math>A </math> und <math>B </math> beschreiben mit
::<math>\phi=U(\vec r)[A{\rm e}^{-\alpha t}\cos(\omega t)
+B{\rm e}^{-\alpha t}\sin(\omega t)]</math> und <math>\omega=\sqrt{\kappa^2c^2-\alpha^2}</math>
* Bei kritischer Dämpfung wird <math>\alpha=\kappa c</math>, sodass die Lösung
::<math>\phi=U(\vec r)(A+Bt){\rm e}^{-\alpha t}</math>
: lautet, deren Auslenkung schnell mit der Zeit abnimmt.

Die Laplace-Gleichung ist der Spezialfall <math>\lambda=0</math>. Die [[Poisson-Gleichung]] <math>\Delta\phi=f</math> kann durch [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] auf die Laplace und Helmholtz-Gleichung zurückgeführt werden, wenn <math>f=\phi+\Omega</math> gefunden wird, sodass <math>\Delta\Omega=0</math> ist.<ref name="Spencer"/>

== Separation der Helmholtz-Gleichung ==
Die Wahl eines [[Orthogonale Koordinaten|orthogonalen Koordinatensystems]], in dem die Randbedingungen eine einfache Form annehmen, erleichtert die Lösung der Helmholtz-Gleichung.<ref name="Spencer" details="1 "/> Die Lösung wird weiter erleichtert, wenn eine [[Trennung der Variablen]] gelingt, was in Koordinatensystemen, deren [[Koordinatenfläche]]n [[konfokale Quadriken]] oder deren degenerierte Formen sind, immer möglich ist<ref name="Spencer" details="7 "/><ref name="Morse" details="511 "/>

=== Stäckel-Matrix ===
Das allgemeine Vorgehen zur Trennung der Variablen hängt von den Eigenschaften der '''Stäckel-Matrix''' ab, die mit den [[Koordinaten]] <math>u^{1,2,3}</math> assoziiert ist:<ref name="Morse" details="509 "/>

:<math>\mathbf{S}:=\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(u^1)&\Phi_{12}(u^1)&\Phi_{13}(u^1)\\
\Phi_{21}(u^2)&\Phi_{22}(u^2)&\Phi_{23}(u^2)\\
\Phi_{31}(u^3)&\Phi_{32}(u^3)&\Phi_{33}(u^3)
\end{pmatrix}</math>

In jeder ihrer Zeilen stehen Ansatzfunktionen nur einer Variablen oder Konstanten. Die ''Stäckel-Determinante'' ist die [[Determinante]]

:<math>S:=\mathrm{det}(\mathbf{S})=\begin{vmatrix}
\Phi_{11}(u^1)&\Phi_{12}(u^1)&\Phi_{13}(u^1)\\
\Phi_{21}(u^2)&\Phi_{22}(u^2)&\Phi_{23}(u^2)\\
\Phi_{31}(u^3)&\Phi_{32}(u^3)&\Phi_{33}(u^3)
\end{vmatrix}</math>

mit den [[Minor (Lineare Algebra)|Minoren]]

:<math>M_{11}(u^2,u^3)=\begin{vmatrix}
\Phi_{22}&\Phi_{23}\\
\Phi_{32}&\Phi_{33}
\end{vmatrix}\,,\;
M_{21}(u^1,u^3)=-\begin{vmatrix}
\Phi_{12}&\Phi_{13}\\
\Phi_{32}&\Phi_{33}
\end{vmatrix}\,,\;
M_{31}(u^1,u^2)=\begin{vmatrix}
\Phi_{12}&\Phi_{13}\\
\Phi_{22}&\Phi_{23}\\
\end{vmatrix}
</math>

Weil nur die Minoren der ersten Spalte benötigt werden, wird der zweite Index Eins im Folgenden weggelassen. Die [[notwendige und hinreichende Bedingung]] für eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz-Gleichung ist{{Anker|Bedingungen}}

:<math>g_{ii}=\frac{S}{M_i},\,i=1,2,3,\;
\frac{\sqrt{g}}S=f_1(u^1)\cdot f_2(u^2)\cdot f_3(u^3)</math>

Darin sind
* <math>g_{ii}=\vec g_i\cdot\vec g_i</math> [[Orthogonale Koordinaten#Metrische Faktoren und Metrikkoeffizienten|Metrikkoeffizienten]], die das [[Betragsquadrat]] der kovarianten Basisvektoren <math>\vec g_i:=\tfrac{\partial\vec r}{\partial u^i}</math> des Koordinatensystems sind,
* <math>g=g_{11}\cdot g_{22}\cdot g_{33}</math>, und
* <math>f_{1,2,3}</math> irgendwelche Funktionen nur einer Koordinate.

Die erste Bedingung bedeutet, dass es möglich sein muss, eine Stäckel-Determinante zu bilden, die in der angegebenen Weise mit den Metrikkoeffizienten zusammenhängt. Die zweite Bedingung ist die ''Robertson Bedingung'',<ref name="Morse" details="510 "/> die besagt, dass <math>\tfrac{\sqrt{g}}S</math> ein separierbares Produkt ist. Wenn das gewährleistet ist, dann bestimmen sich die Faktoren <math>U^i(u^i)</math> für die Lösungsfunktion <math>\phi(u^1,u^2,u^3)=U^1(u^1)U^2(u^2)U^3(u^3)</math> und die Trennungskonstanten <math>\alpha_j</math> aus{{Anker|Differentialgleichungen}}

:<math>\frac1{f_i}\frac{\partial}{\partial u^i}
\left(f_i\frac{\partial U^i}{\partial u^i}\right)
+U^i\sum_{j=1}^3\alpha_j\Phi_{ij}=0,\; i=1,2,3</math>

Bei der Helmholtz-Gleichung ist <math>\alpha_1=-\lambda</math> und bei der Laplace-Gleichung ist entsprechend <math>\alpha_1=0</math>.<ref name="Spencer" details="6 "/> In zylindrischen Koordinatensystemen ist die Zylinderachse als 3- oder z-Koordinate zu nehmen, wodurch im separierbaren Fall immer eine Stäckel-Matrix in der Form

:<math>\mathbf{S}:=\begin{pmatrix}
0&\Phi_{12}(u^1)&\Phi_{13}(u^1)\\
0&\Phi_{22}(u^2)&\Phi_{23}(u^2)\\
1&0&1
\end{pmatrix}</math>

gefunden werden kann. In [[Achsensymmetrie|axialsymmetrischen]] Koordinatensystemen ist die Symmetrieachse die z/3-Achse und der Drehwinkel um sie ist <math>\psi</math>. Dort ist immer eine Matrix der Form

:<math>\mathbf{S}:=\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(u^1)&\Phi_{12}(u^1)&\Phi_{13}(u^1)\\
\Phi_{21}(u^2)&\Phi_{22}(u^2)&\Phi_{23}(u^2)\\
0&0&1
\end{pmatrix}</math>

ermittelbar.<ref name="Spencer" details="7 "/>

=== Beispiel ===
[[Datei:Parabolic coordinates 3D.png|mini|[[Koordinatenfläche]]n der parabolischen Koordinaten. Das rote [[Paraboloid]] entspricht μ=2, das blaue ν=1 und die gelbe Halbebene ψ=−60°.]]

Als Beispiel diene die Helmholtz-Gleichung in [[Parabolische Koordinaten|parabolischen Koordinaten]]<ref name="Spencer" details="6 "/> <math>(\mu,\nu,\psi),</math> mit

:<math>\begin{align}
\vec r(\mu,\nu,\psi)=&\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\mu\nu\cos\psi\\
\mu\nu\sin\psi\\
\frac12(\mu^2-\nu^2)\end{pmatrix},
\\
\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\\ \psi\end{pmatrix}
=&\begin{pmatrix}\sqrt{r+z}\\
\sqrt{r-z}\\
{\rm atan2}(y,x)\end{pmatrix},
\\
r=&|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
\end{align}</math>

siehe Bild. Darin ist [[atan2]] eine [[Umkehrfunktion]] des Tangens. Die kovarianten Basisvektoren sind

:<math>
g_1=\frac{\partial\vec r}{\partial\mu}
=\begin{pmatrix}\nu\cos(\psi)\\ \nu\sin(\psi)\\ \mu\end{pmatrix},\;
g_2=\frac{\partial\vec r}{\partial\nu}
=\begin{pmatrix}\mu\cos(\psi)\\ \mu\sin(\psi)\\ -\nu\end{pmatrix},\;
g_3=\frac{\partial\vec r}{\partial\psi}
=\begin{pmatrix}-\mu\nu\sin(\psi)\\ \mu\nu\cos(\psi)\\ 0\end{pmatrix}
</math>

aus denen sich die Metrik-Koeffizienten

:<math>g_{11}=g_{22}=\mu^2+\nu^2=2r, g_{33}=\mu^2\nu^2=x^2+y^2</math>

ergeben. Eine mögliche Stäckel-Matrix ist hier

:<math>\mathbf{S}=\begin{pmatrix}\mu^2&-1&-1/\mu^2\\ \nu^2&1&-1/\nu^2\\ 0&0&1
\end{pmatrix}</math>

mit der Determinante <math>S=\mu^2+\nu^2</math> und den Minoren

:<math>M_1=\begin{vmatrix}1&-1/\nu^2\\0&1\end{vmatrix}=1,\;
M_2=-\begin{vmatrix}-1&-1/\mu^2\\0&1\end{vmatrix}=1,\;
M_3=\begin{vmatrix}-1&-1/\mu^2\\1&-1/\nu^2\end{vmatrix}
=\frac{\mu^2+\nu^2}{\mu^2\nu^2}
</math>

Die [[#Bedingungen]]

:<math>
g_{11}=\frac{S}{M_1}=\mu^2+\nu^2,\;
g_{22}=\frac{S}{M_2}=\mu^2+\nu^2,\;
g_{33}=\frac{S}{M_3}=\mu^2\nu^2
</math>

sind erfüllt und

:<math>
\frac{\sqrt{g}}S=\frac{\mu\nu(\mu^2+\nu^2)}{\mu^2+\nu^2}=\mu\nu
=f_1(\mu)\cdot f_2(\nu)\cdot f_3(\psi)
</math>

stimmt mit <math>f_1=\mu,f_2=\nu,f_3=1</math>. Die Funktionen, die <math>U(\mu,\nu,\psi)=M(\mu)\cdot N(\nu)\cdot\Psi(\psi)</math> ergeben, berechnen sich aus den [[#Differentialgleichungen]]

:<math>\begin{align}
\frac1{\mu}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu}
\left(\mu\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}\mu}\right)
+M\left(\alpha_1\mu^2-\alpha_2-\frac{\alpha_3}{\mu^2}\right)
=&0
\\
\frac1{\nu}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\nu}
\left(\nu\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\nu}\right)
+N\left(\alpha_1\nu^2+\alpha_2-\frac{\alpha_3}{\nu^2}\right)
=&0
\\
\frac{\mathrm{d}^2\Psi}{\mathrm{d}\psi^2}+\Psi\alpha_3=&0
\end{align}</math>

=== Herleitung ===
Die [[Orthogonale Koordinaten#Differentialoperatoren in drei Dimensionen|Laplace Ableitung in orthogonalen Koordinaten]] schreibt sich:

:<math>\Delta\psi=\sum_{i=1}^3\frac1{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u^i}
\left(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\frac{\partial\psi}{\partial u^i}\right)</math>

Darin sind <math>h_i:=\sqrt{g_{ii}}</math> die [[Orthogonale Koordinaten#Metrische Faktoren und Metrikkoeffizienten|metrischen Faktoren]], die gleich den Beträgen der kovarianten Basisvektoren im orthogonalen Koordinatensystem sind.

Multiplikation der [[#Differentialgleichungen]] mit <math>\tfrac{M_1U^2U^3}{S}, \tfrac{M_2U^1U^3}{S}</math> bzw. <math>\tfrac{M_3U^1U^2}{S}</math> mit den Minoren <math>M_{1,2,3}</math> und der Determinante <math>S</math> einer Stäckel-Matrix liefert summiert

:<math>\begin{align}
0=&
\frac{M_1U^2U^3}{Sf_1}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1\frac{\partial U^1}{\partial u^1}\right)
+\frac{M_1U^2U^3}SU^1
(\alpha_1\Phi_{11}+\alpha_2\Phi_{12}+\alpha_3\Phi_{13})
\\&
+\frac{M_2U^1U^3}{Sf_2}\frac{\partial}{\partial u^2}
\left(f_2\frac{\partial U^2}{\partial u^2}\right)
+\frac{M_2U^1U^3}{S}U^2(\alpha_1\Phi_{21}+\alpha_2\Phi_{22}+\alpha_3\Phi_{23})
\\&
+\frac{M_3U^1U^2}{Sf_3}\frac{\partial}{\partial u^3}
\left(f_3\frac{\partial U^3}{\partial u^3}\right)
+\frac{M_3U^1U^2}{S}U^3
(\alpha_1\Phi_{31}+\alpha_2\Phi_{32}+\alpha_3\Phi_{33})
\end{align}</math>

Weil <math>U^2(u^2)U^3(u^3)</math> nicht von <math>u^1</math> abhängt ist mit dem [[Separationsansatz]] <math>\psi=U^1U^2U^3</math>

:<math>
U^2U^3\frac{\partial}{\partial u^1}\left(f_1\frac{\partial U^1}{\partial u^1}\right)
=\frac{\partial}{\partial u^1}\left(f_1\frac{\partial U^1}{\partial u^1}U^2U^3\right)
=\frac{\partial}{\partial u^1}\left(f_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
</math>

und entsprechend für die anderen Summanden, sodass umgestellt

:<math>\begin{align}
0=&
\frac{M_1}{Sf_1}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
+\frac{M_2}{Sf_2}\frac{\partial}{\partial u^2}
\left(f_2\frac{\partial\psi}{\partial u^2}\right)
+\frac{M_3}{Sf_3}\frac{\partial}{\partial u^3}
\left(f_3\frac{\partial\psi}{\partial u^3}\right)
\\&
+\alpha_1\psi\frac{M_1\Phi_{11}+M_2\Phi_{21}+M_3\Phi_{31}}S
+\alpha_2\psi\frac{M_1\Phi_{12}+M_2\Phi_{22}+M_3\Phi_{32}}S
\\&
+\alpha_3\psi\frac{M_1\Phi_{13}+M_2\Phi_{23}+M_3\Phi_{33}}S
\end{align}</math>

entsteht. Die Minoren der ersten Spalte und die Determinante der Stäckel-Matrix haben die Eigenschaften

:<math>\begin{align}
\frac{M_1}S\Phi_{11}+\frac{M_2}S\Phi_{21}+\frac{M_3}S\Phi_{31}=1
\\
\frac{M_1}S\Phi_{12}+\frac{M_2}S\Phi_{22}+\frac{M_3}S\Phi_{32}=0
\\
\frac{M_1}S\Phi_{13}+\frac{M_2}S\Phi_{23}+\frac{M_3}S\Phi_{33}=0
\end{align}</math>

was allgemein auf alle 3×3-Matrizen mit Determinante ungleich null übertragbar ist, also keine spezielle Eigenschaft der Stäckel-Matrix ist. Deswegen verschwinden die letzten beiden Summanden in obiger Summe und der drittletzte reduziert sich zu <math>\alpha_1\psi</math>, sodass mit den [[#Bedingungen]] <math>h_i^2=\frac{S}{M_i},\,i=1,2,3</math> aus der Summe

:<math>\frac1{h_1^2f_1} \frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
+\frac1{h_2^2f_2} \frac{\partial}{\partial u^2}
\left(f_2\frac{\partial\psi}{\partial u^2}\right)
+\frac1{h_3^2f_3} \frac{\partial}{\partial u^3}
\left(f_3\frac{\partial\psi}{\partial u^3}\right)
+\alpha_1\psi=0
</math>

wird. Für Separierbarkeit der Helmholtz-Gleichung muss es Funktionen <math>p_i(u^j,u^k)</math> geben, sodass

:<math>f_i(u^i)p_i(u^j,u^k)=\frac{h_1h_2h_3}{h_i^2}</math>

mit zyklischen <math>(i,j,k)\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}</math> gilt. Das liefert für den ersten Summanden beispielsweise

:<math>\begin{align}
\frac1{h_1^2f_1}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
=&
\frac{p_1}{h_1^2f_1p_1}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
=
\frac{h_1^2}{h_1^2(h_1h_2h_3)}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(f_1p_1\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
\\=&
\frac1{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(\frac{h_1h_2h_3}{h_1^2}\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
=
\frac1{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u^1}
\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial\psi}{\partial u^1}\right)
\end{align}</math>

und für die anderen Summanden entsprechendes, sodass die Helmholtz-Gleichung entsteht. Die [[#Bedingungen|Robertson Bedingung]] <math>\tfrac{h_1h_2h_3}{S}=f_1f_2f_3</math> folgt aus den Bedingungen <math>f_ip_i=\tfrac{h_1h_2h_3}{h_i^2}</math> und <math>h_i^2=\tfrac S{M_i}</math>.<ref name="Morse" details="510 "/>

== Ebene Wellen in viskositätsfreien Fluiden ==
[[Datei:Helmholtz Streamlines.svg|mini|Strömungsbild mit Wirbeln. Rotgelbe Gebiete werden gegen den Uhrzeigersinn, grünblaue im Uhrzeigersinn umströmt]]
Die Helmholtz-Gleichung wird in der [[xy-Ebene]] von Wellenfunktionen der Form <math>\psi(x,y)=A\cos(\vec k\cdot\vec r)</math> mit beliebigem [[Wellenvektor]] <math>\vec k\,,\;\vec r=(x, y)</math> und beliebiger Amplitude <math>A</math> gelöst.<ref name="Bestehorn"/> Diese Lösung hat im Fall der [[Stromfunktion]] die Bedeutung eines verwirbelten ebenen [[Strömungsfeld]]s: Eine Überlagerung von <math>N</math> solchen Wellen mit <math>\vec k_n=c(\cos\alpha_n,\sin\alpha_n)</math>, beliebiger Konstante c und <math>\alpha_n=\pi(n-1)/N</math> sowie gleichen Amplituden <math>A</math> ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei <math>N>3</math> kompliziertere Strukturen, die eine <math>2N</math>-zählige Rotationssymmetrie aufweisen. Erhält jede der summierten Wellen eine eigene, zufällig gewählte Amplitude <math>A</math>, dann können sich unregelmäßige Wirbelstrukturen ergeben, siehe Bild.

Die Funktionen „sin“ und „cos“ berechnen den [[Sinus und Cosinus]]. Die allgemeine Struktur dieser Lösung ist

:<math>\psi(\vec r)=C_1\cdot{\rm e}^{{\rm i}\vec k\cdot\vec r}
+C_2\cdot{\rm e}^{-{\rm i}\vec k\cdot\vec r}</math>

mit
* der [[e-Funktion]] ex,
* der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] i und
* Konstanten <math>C_{1,2}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Bessel-Strahl]]

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/HelmholtzDifferentialEquation.html Helmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld] (englisch)

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor=Richard Courant, David Hilbert| Titel=Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen| Band=Band XII)| Verlag=Julius Springer| Ort=Berlin| Datum=1924| Umfang=450| Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN380672502 online]}} Siehe Kapitel V ''Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik'' ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift ''Die schwingende Membran'' ab S. 245 behandelt. Der Name ''Helmholtz-Gleichung'' tritt nicht auf.
* {{Literatur| Autor=Richard Courant, David Hilbert| Titel=Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete| Band=Band XLVIII)| Verlag=Julius Springer| Ort=Berlin| Datum=1937| Umfang=549| Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN380673029 online]}} In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII ''Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der [[Variationsrechnung]]'' ab S. 471 verwiesen.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Spencer">
{{Literatur
| Autor=P. Moon, D.E. Spencer
| Titel=Field Theory Handbook
| TitelErg=Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg, New York
| Auflage=2. Aufl.
| Jahr=1971
| ISBN=3-540-02732-7
| Seiten=3 ff.
}}</ref>
<ref name="Bestehorn">
{{Literatur
| Autor=M. Bestehorn
| Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin, Heidelberg u. a.
| Jahr=2006
| Seiten=74f.
| ISBN=978-3-540-33796-6
}}</ref>
<ref name="Helmholtz">
{{Literatur
| Autor=[[Hermann von Helmholtz]]
| Titel=Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden
| Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
| Band=57
| Nummer=1
| Jahr=1860
| Seiten=1–72
| Online=https://www.deutschestextarchiv.de/book/view/helmholtz_luftschwingungen_1860?p=25
}}</ref>
<ref name="Spektrum">
{{Literatur
| Sammelwerk=Lexikon der Mathematik
| Titel=Helmholtz-Gleichung
| Datum=2017
| Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
| Ort=Heidelberg
| Online=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/helmholtz-gleichung/3890
}}</ref>
<ref name="Morse">
{{Literatur
| Autor=P. M. Morse, H. Feshbach
| Datum=1953
| Titel=Methods of Theoretical Physics, Part I
| Online=https://archive.org/compress/morse_feshbach1/formats=TEXT%20PDF,IMAGE%20CONTAINER%20PDF&file=/morse_feshbach1.zip
| Verlag=McGraw-Hill
| Ort=New York
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Helmholtz-Gleichung - Versionsgeschichte

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