~2026-16944-25: /* Grundzustand */

2026-03-17T08:33:46Z

Grundzustand

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Das '''Heisenberg-Modell''' (nach [[Werner Heisenberg]]) in der [[quantenmechanisch]]en Formulierung ist ein in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] viel benutztes [[mathematisches Modell]] zur Beschreibung von [[Ferromagnetismus]] (sowie [[Antiferromagnetismus]] und [[Ferrimagnetismus]]) in [[Festkörper]]n. Ziel der Betrachtung ist es, experimentell beobachtete Effekte wie die spontane Magnetisierung und die [[kritische Exponenten|kritischen Exponenten]] an den [[Phasenübergang|Phasenübergängen]] zu modellieren.

Das Modell dient zur qualitativen Beschreibung von Ferromagnetismus in [[Nichtleiter|Isolatoren]], für [[Metall]]e ist das [[Hubbard-Modell]] prinzipiell geeignet.

== Formulierung ==
1928 haben Werner Heisenberg<ref>{{Literatur |Autor=W. Heisenberg |Titel=Zur Theorie des Ferromagnetismus |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=49 |Nummer=9 |Datum=1928 |Seiten=619–636 |DOI=10.1007/BF01328601}}</ref> und [[Paul Dirac]] erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen [[Effektive Theorie|effektiven]] [[Hamiltonoperator]] <math>H_{\text{Heis}}</math> beschrieben werden kann, der die [[Austauschwechselwirkung]] zwischen den [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierten]] Elektronen auf dem [[Kristallgitter]] modellhaft als Wechselwirkung zwischen den [[Elektronenspin]]s beschreibt. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf ''benachbarte'' Spins ''(Nächste-Nachbar-Wechselwirkung).'' Im Gegensatz zum [[klassische Physik|klassischen]] Heisenberg-Modell werden die Spins durch [[Vektoroperator]]en ausgedrückt und gehorchen den Regeln der Quantenmechanik:

:<math>H_{\text{Heis}} = - J\sum_{\langle i,j \rangle}\vec{S_i} \cdot \vec{S_j} \qquad \text{mit } i,j \, \mathrm{n\ddot achste\ Nachbarn}</math>

Dabei
* sind <math>\vec S_i</math> und <math>\vec S_j</math> die quantenmechanischen [[Drehimpulsoperator #Spinoperator|Spinoperatoren]] zu gegebener [[Quantenzahl #Spinquantenzahl|Spinquantenzahl]] <math>s</math> (<math>s \in \{\tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, 2, \ldots\}</math>)
* beziehen sich die Indizes <math>i</math> und <math>j</math> auf die Gitterpositionen, wobei das Gitter eine Kette (eindimensionales Heisenberg-Modell), ein zweidimensionales Gitter (z. B. ein [[hexagonal]]es Gitter) oder eine dreidimensionale Anordnung (z. B. ein [[kubisches Gitter]]) sein kann. Der Spin hingegen ist beim Heisenberg-Modell immer dreidimensional, weshalb es auch als Spezialfall des [[n-Vektor-Modell]]s mit <math>n = 3</math> bezeichnet wird.
* wird die [[Austauschwechselwirkung]] zwischen den lokalisierten Spins durch die [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Abstoßung]] und das [[Pauli-Prinzip]] verursacht und bei Beschränkung auf Nächste-Nachbar-Wechselwirkung und [[Isotropie]] (s. u.) mit einer einzigen Kopplungskonstante <math>J</math> ausgedrückt, der ''Austauschenergie''.

Das Modell kann durch eine Verallgemeinerung der [[Heitler-London-Näherung]] für die Bildung zweiatomiger Moleküle begründet werden (siehe [[Magnetismus #Erklärung des Phänomens|das einschlägige Unterkapitel in Magnetismus]]). Für eindimensionale Systeme kann es exakt gelöst werden (s. u.); in zwei und drei Dimensionen gibt es dagegen nur genäherte Lösungen, z. B. mit [[Monte-Carlo-Simulation#Anwendungen|Quanten-Monte-Carlo-Methoden]].

== Erläuterungen ==
Obwohl die Auswirkungen der Austauschwechselwirkung magnetischer Natur sind (d. h. Magnetismus beschreiben), ist ihre Ursache eben nicht magnetischer Natur, sondern liegt in der elektrischen Abstoßung und dem Pauli-Prinzip begründet. Im Allgemeinen ist die direkte magnetische Wechselwirkung zwischen den magnetische Momenten eines Elektronenpaares um Größenordnungen kleiner als die Austauschwechselwirkung.

== Verallgemeinerungen {{Anker|XXZ-Modell}} ==

Das Heisenberg-Modell kann verallgemeinert werden, indem man die Kopplungskonstante richtungsabhängig macht (d. h. indem man von ''isotropen'' zu ''anisotropen'' Systemen übergeht).

:<math>
\begin{align}
H_{\text{verallg. Heis}}&=-\sum_{\langle i,j \rangle}\left( J^x S^x_iS^x_j+J^y S^y_iS^y_j+J^z S^z_iS^z_j \right) \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste}\text{ Nachbarn}
\end{align}
</math>

Ein Spezialfall des verallgemeinerten Heisenberg-Modells ist das '''XXZ-Modell''', das seinen Namen daher hat, dass die Kopplungskonstante in zwei Richtungen übereinstimmt (d. h. <math>J_x=J_y=J</math>) und in ''z''-Richtung davon abweicht (<math>J_z=\Delta</math>):

:<math>
\begin{align}
H_{\text{XXZ}}&=-\sum_{\langle i,j \rangle}\left[ J\left( S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j \right)+\Delta S^z_iS^z_j \right] \qquad \text{mit } i,j\; \mathrm{n\ddot achste} \text{ Nachbarn}\\
&=-\sum_{\langle i,j \rangle}\left[\frac{J}{2}\left(S^+_iS^-_j+S^-_iS^+_j\right)+\Delta S^z_iS^z_j\right]
\end{align}
</math>

Das Heisenberg-Modell und seine Spezialfälle werden oft im Zusammenhang mit einem angelegten Magnetfeld <math>h=g_J\mu_{\mathrm B} B_0</math> in z-Richtung betrachtet. Der Hamiltonian lautet dann:

:<math>
\begin{align}
H_{\text{verallg. Heis,h}}&=-\sum_{\langle i,j \rangle}\left( J^xS^x_iS^x_j+J^yS^y_iS^y_j+J^zS^z_iS^z_j\right) - h \sum_i S^z_i
\end{align}
</math>

Eine weitere Verallgemeinerung beinhaltet die Einbeziehung von Kopplungen ''nicht nur'' zwischen nächsten Nachbarn sowie von ''Inhomogenitäten,'' <math>J\rightarrow J_{ij}</math>:

:<math>
\begin{align}
H_{\text{verallg. Heis, inhom.}}&=-\sum_{\langle i,j \rangle}\left( J_{ij}^xS^x_iS^x_j+J_{ij}^yS^y_iS^y_j+J_{ij}^zS^z_iS^z_j\right) \quad \text{mit } i,j\;\mathrm{ Gitterpl\ddot atze}
\end{align}
</math>

Die Übergänge zum [[XY-Modell]] und zum [[Ising-Modell]] lassen sich am besten im [[n-Vektor-Modell]] darstellen.

== Modell im k-Raum ==

Zur Analyse des Modells und zur Betrachtung der Anregungen ist es sinnvoll, das Modell im [[Reziproker Raum|k-Raum]] zu betrachten. Die Transformation ([[diskrete Fouriertransformation]]) für die Spinoperatoren <math>a \in \{x,y,z,+,-\}</math> lautet:

:<math>S^a(\vec{k})=\sum_i e^{i\vec{k}\cdot \vec{R}_i}S^a_i</math>

Das verallgemeinerte Heisenbergmodell im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit <math>(J^x_{ij}=J^y_{ij}=J^z_{ij})</math> mit <math>J_{ij}=J_{ji}</math> und <math>J_{ii}=0</math> lässt sich dann schreiben als

:<math>
\begin{align}
H_{\text{heis,k}}&=-\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}J(\vec{k})\left( S^+(\vec{k})S^-(-\vec{k})+S^z(\vec{k})S^z(-\vec{k})\right)-hS^z(0)
\end{align}
,</math>

wobei auch die Austauschintegrale von der [[Wellenzahl#Betrag des Wellenvektors|Kreiswellenzahl]] <math>\vec{k}</math> abhängen:

:<math>J(\vec{k}) = \frac{1}{N} \sum_{ij} J_{ij} e^{i\vec{k} \cdot (\vec{R}_i - \vec{R}_j)}</math>

== Grundzustand ==
In diesem Abschnitt wird der [[Grundzustand]] des verallgemeinerten Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Der Grundzustand ist der [[Eigenzustand]] des Systems mit der geringsten Energie. Dieser ist stark abhängig von den [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Kopplungskonstanten:

:<math>
\begin{align}
\text{alle} \quad J_{ij}>0: & \qquad \text{Ferromagnet}\\
\text{alle} \quad J_{ij}<0: & \qquad \text{Anti-Ferromagnet/Ferrimagnet}
\end{align}
</math>

=== Ferromagnetischer Grundzustand ===
Für <math>J>0</math> ist es für die Spins energetisch günstiger, sich in dieselbe Richtung auszurichten, und man spricht von einem ferromagnetischen Grundzustand <math>|F\rangle</math>. Unter Drehung aller Spinvektoren ändert sich das Heisenberg-Modell nicht, es ist also invariant unter einer [[Koordinatentransformation #Drehung (Rotation)|Rotation]]. Aufgrund der Rotationsinvarianz ist keine Richtung ausgezeichnet, daher wird die Ausrichtung in z-Richtung angenommen. Die Richtung im Festkörper wird durch [[Anisotropie]]n oder durch ein schwaches angelegtes [[Magnetismus|Magnetfeld]] bestimmt. Spezialisiert man noch

:<math>J_0 = \sum_{i}J_{ij} = \sum_{j}J_{ij},</math>

dann kann die Energie des Grundzustands angegeben werden als:

:<math>
\begin{align}
H |F\rangle = &E_0|F\rangle \\
\text{mit} \qquad &E_0 = -NJ_0 \hbar^2S^2 - NhS
\end{align}
</math>

Dabei wurde der [[Eigenwert]] des <math>S^z_i</math>-Operators als <math>S^z_i|F\rangle = \hbar S|F\rangle</math> benutzt. Für das Spin-1/2-Heisenberg-Modell ist <math>S = 1/2</math>.

=== Ferri- bzw. antiferromagnetischer Grundzustand ===
Für <math>J<0</math> ist es energetisch günstiger, wenn benachbarte Spins in unterschiedliche Richtungen zeigen. Der Grundzustand ist daher stark vom unterliegenden Kristallgitter abhängig, er kann u. a. [[antiferromagnetisch]] oder [[ferrimagnet]]isch sein. Für spezielle Kristallgitter kann es zu magnetischer Frustration kommen, siehe [[geometrische Frustration]] und [[Spin-Glas]].

== Magnonen und Spinwellen ==
In diesem Abschnitt werden die Anregungen aus dem ferromagnetischen Grundzustand des verallgemeinerten Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Die [[Anregungszustand|Anregungszustände]] werden dem [[Quasiteilchen]] ''[[Magnon]]'' zugeordnet. Es handelt sich dabei um kollektive Anregungen des gesamten Kristallgitters, die demnach auch als ''Spinwellen'' bezeichnet werden.

Die einmalige Anwendung des <math>S^-(\vec{k})</math>-Operators auf den ferromagnetischen Grundzustand gibt einen angeregten Eigenzustand des Heisenberg-Modells und wird (normierter) ''Ein-Magnonenzustand'' genannt:

:<math>|\vec{k}\rangle = \frac{1}{\hbar\sqrt{2SN}}S^ - (\vec{k})|F\rangle</math>

Die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

:<math>E(\vec{k}) = E_0 + \hbar \omega(\vec{k}) \qquad \text{mit} \qquad \hbar \omega(\vec{k}) = \hbar h + 2S\hbar^2(J_0 - J(\vec{k}))</math>

Die Anregungsenergie <math>\hbar \omega(\vec{k})</math> wird dem Magnon-Quasiteilchen zugeschrieben. Betrachtet man den [[Erwartungswert]] des <math>S^z_i</math>-Operators auf diesen Zustand, so erhält man:

:<math>\langle \vec{k}|S^z_i|\vec{k} \rangle = \hbar \left( S - \frac 1{N} \right)</math>

Dabei ist die linke Seite der Gleichung nicht mehr vom Platz ''i'' abhängig. Anschaulich bedeutet dies, dass die Anregung aus dem Grundzustand (Ein-Magnonenzustand) nicht durch das einfache Umklappen eines Spins auf einem Gitterplatz erzeugt wird, sondern dass der Ein-Magnonenzustand über das Gitter gleichmäßig verteilt ist. Daher wird der Zustand <math>|\vec{k}\rangle</math> als ''kollektive Anregung'' angesehen und als ''Spinwelle'' bezeichnet.

== 1D-Heisenberg-Modell ==
Im eindimensionalen Heisenberg-Modell sind die Spins aufgereiht auf einer Kette. Bei [[Periodische Randbedingung|periodischen Randbedingungen]] ist die Kette zu einem Ring geschlossen. Die Eigenzustände und Eigenenergien für das eindimensionale Heisenberg-Modell wurden 1931 von [[Hans Bethe]]<ref>H. Bethe: ''Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette.'' (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift für Physik A, Vol. '''71,''' S. 205–226 (1931). [[doi:10.1007/BF01341708]].</ref> mit dem [[Bethe-Ansatz]] exakt bestimmt.

=== Eigenvektoren und Eigenzustände ===
Da der <math>S_z^\text{tot}</math>-Operator mit dem Hamiltonoperator kommutiert, zerfällt der ganze [[Hilbertraum]] in verschiedene Unterräume, die einzeln diagonalisiert werden können.

:<math>[S_z^\text{tot},H]=\sum^N_{i=1}[S^z_i,H]=0</math>

Die verschiedenen Unterräume können durch ihre <math>S_z^\text{tot}=-N \dots N</math> Quantenzahlen beschrieben werden. Das heißt, dass die Eigenvektoren Superpositionen aus Basiszuständen mit derselben <math>S_z^\text{tot}</math> Quantenzahl sind. Im Bethe-Ansatz werden diese Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins (also <math> S^\text{tot}_z=N-2</math>) an den Gitterplätzen <math>n_1</math> und <math>n_2</math> angegeben als:

:<math>
|n_1n_2\rangle = |\uparrow\uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_1}\uparrow \dots \uparrow\underbrace{\downarrow}_{n_2} \uparrow \dots \uparrow\rangle
</math>

Die Eigenvektoren in einem Unterraum mit einer <math>S_z</math> Quantenzahl <math>S_z=N-r</math> sind Superpositionen aus allen möglichen Zuständen <math>|n_1, n_2, \dots, n_{N-r}\rangle:</math>

:<math>
|\Psi\rangle = \sum^N_{n1 < n2 < \dots < n_r}a(n_1, n_2, \dots, n_r)|n_1, n_2, \dots, n_r\rangle
</math>

Die Koeffizienten sind ebene Wellen und durch den Bethe-Ansatz gegeben:

:<math>
a(n_1, \dots, n_r) = \sum_{P\in S_r}\exp\left(i\sum^r_{j=1}k_{P_j}n_j+i\sum_{i<j}\theta_{P_iP_j} \right)
</math>

Die Parameter können über die Gleichungen des ''Bethe-Ansatzes'' bestimmt werden:

:<math>
\begin{alignat}{2}
2 \cot \frac{\theta_{ij}}{2}&=\cot\frac{k_i}{2}-\cot\frac{k_j}{2} &\qquad \text{mit}\quad& i,j = 1, \dots, r \\
Nk_i&=2\pi\lambda_i+\sum_{j \neq i}\theta_{ij}&&\lambda_i = {1, \dots, N-1}
\end{alignat}
</math>

Die Eigenvektoren sind gegeben durch alle Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen <math>(\lambda_1, \dots,\lambda_r)</math>, die die Gleichungen des ''Bethe-Ansatzes'' erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

:<math>
(E-E_0)=J\sum^r_{j=1}(1-\cos k_j)
</math>

=== Jordan-Wigner-Transformation ===

Das 1D-Heisenberg-Modell kann bei periodischen Randbedingungen mittels einer [[Jordan-Wigner-Transformation]] auf spinlose [[Fermionen]] auf einer Kette mit lediglich nächster Nachbarwechselwirkung abgebildet werden. Der Hamiltonian <math>H_{\text{Heis}}</math> des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

:<math>
\begin{align}
H_{\text{Heis}}&=-J\sum^N_{n=1}\vec{S}_n\cdot \vec{S}_{n+1}=-J\sum^N_{n=1}\left[\frac{1}{2}(S_n^+S^-_{n+1} + S_n^-S^+_{n+1})+S^z_nS^z_{n+1} \right] \\
&= -J\sum^N_{i=1}\left[ \left(c^\dagger_i c_{i+1} +\text{h.c}\right) + \left( c^\dagger_i c_i - \frac{1}{2}\right)\left(c^\dagger_{i+1} c_{i+1} - \frac{1}{2}\right) \right]\\
&= H_0 + H_J
\end{align}
</math>

Die <math>c_i,c^\dagger_i</math> sind [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator]]en für spinlose Fermionen.

== Literatur ==

* Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik. Band 7 – Vielteilchen-Theorie.'' Springer Verlag.

== Weblinks ==

* B. Nachtergaele: [https://www.math.ucdavis.edu/~bxn/qs.html ''Bibliografie zum Heisenbergmodell.'']

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Heisenberg-Modell - Versionsgeschichte

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