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{{Dieser Artikel|behandelt den Mathematiker Heinz (Heinrich) Hopf. Zum Chemiker und Hochschullehrer siehe [[Heinrich Hopff]].}}
[[Datei:ETH-BIB-Hopf, Heinz (1894-1971)-Portr 07480.jpg|mini|Heinz Hopf (1954)]]

'''Heinz Hopf''', eigentlich ''Heinrich Hopf'' (* [[19. November]] [[1894]] in [[Stadion Oporowska#Geographische Lage|Gräbschen]] bei [[Breslau]]; † [[3. Juni]] [[1971]] in [[Zollikon]]), war ein [[Deutschland|deutsch]]-[[Schweiz|schweizerischer]] [[Mathematiker]] und ein Pionier der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]].

== Herkunft und Ausbildung ==
Hopf wurde in Gräbschen in [[Schlesien]] als Sohn des jüdischen Brauereibesitzers Wilhelm Hopf und dessen Ehefrau Elisabeth Kirchner geboren. Seine Mutter stammte aus einer evangelischen Familie und der Vater konvertierte zum Protestantismus<ref name="biography">Robert A. Nowlan: {{Webarchiv |url=http://www.robertnowlan.com/pdfs/Hopf,%20Heinz.pdf |text=Heinz Hopf: Biografie |wayback=20170320045210}} (engl.; 74 kB)</ref>. Nach dem Besuch der Privatschule für Knaben von [[Karl Mittelhaus]] und des [[König-Wilhelms-Gymnasium zu Breslau|König-Wilhelms-Gymnasiums]] zu [[Breslau]] studierte er ab 1913 an der schlesischen [[Universität Breslau|Friedrich-Wilhelms-Universität]] zu Breslau [[Mathematik]]. In Breslau lehrten damals [[Adolf Kneser]], [[Max Dehn]], [[Ernst Steinitz]], [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] und [[Rudolf Sturm (Mathematiker)|Rudolf Sturm]].

== Werdegang ==
[[Datei:Heinz Hopf, Hellmuth Kneser.jpeg|mini|Heinz Hopf (rechts) in [[Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach|Oberwolfach]], zusammen mit [[Hellmuth Kneser]]]]

Sein Studium wurde durch den [[Erster Weltkrieg|Ersten Weltkrieg]] unterbrochen. Er meldete sich 1914 freiwillig und verbrachte den ganzen Krieg als Leutnant an der [[Deutsche Westfront (Erster Weltkrieg)|Westfront]]. Bei [[Verdun]] wurde er schwer verwundet ([[Eisernes Kreuz]] 1918). Während der Erholungszeit 1917 konnte er in Breslau bei [[Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] Kurse besuchen, und die Beschäftigung mit den von Schmidt gestellten Problemen waren in seiner restlichen Soldatenzeit nach seinen eigenen Worten ein Lichtblick. Nach dem Krieg studierte er in [[Heidelberg]] (bei [[Paul Stäckel]] und [[Oskar Perron]]) und [[Berlin]], bei [[Issai Schur]], [[Ludwig Bieberbach]] und Erhard Schmidt. 1925 wurde er bei Erhard Schmidt in Berlin mit einer Arbeit über den Zusammenhang von Krümmung in der [[Differentialgeometrie]] und Topologie<ref>''Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem'', Math. Annalen, Band 95, 1926, S. 313–393.</ref><ref>Hopf, ''Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen'', Mathematische Annalen, Band 95, 1926, S. 340–367.</ref> promoviert. Darin wurden auch die dreidimensionalen einfach zusammenhängenden vollständigen [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]] konstanter Krümmung klassifiziert bezüglich globaler Isometrie ([[Clifford-Klein-Raumform|Clifford-Klein-Raumproblem]], 3 Fälle [[Hyperbolische Mannigfaltigkeit|hyperbolisch]], [[Flache Mannigfaltigkeit|euklidisch]], [[Elliptische Mannigfaltigkeit|sphärisch]]). Außerdem gab er eine Formel für die Totalkrümmung (curvatura integra) geschlossener Hyperflächen M im euklidischen Raum als Abbildungsgrad der Gaußschen Normalenabbildung von M in die Einheitssphäre und stellte eine Verbindung zur Summe der Indizes von Tangentialvektorfeldern auf M her (mit Ankündigung des Beweises des [[Satz von Poincaré-Hopf|Satzes von Poincaré-Hopf]], siehe unten). Unter Schmidt studierte er auch intensiv die frühen topologischen Arbeiten von [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]] und [[Henri Poincaré]]. Insbesondere begründete er die bei Brouwer und Poincaré angelegte Theorie des Abbildungsgrades (der Abbildung geschlossener orientierter Mannigfaltigkeiten) neu, wobei er den Grad als korrekte Zählung der Urbilder eines Punktes definierte, und zeigte dessen Homotopieinvarianz: zwei Abbildungen einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit in die n-Sphäre sind homotop, falls die Abbildungsgrade übereinstimmen (von Brouwer zuvor für n=2 bewiesen).<ref>Samelson: Zum wissenschaftlichen Werk von Heinz Hopf, Jahresbericht DMV, Band 78, 1976, S. 127.</ref> Der Abbildungsgrad bestimmt danach die Homotopieklasse. Es lässt sich auch ein Zusammenhang mit Vektorfeldern auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit herstellen: die isolierten Singularitäten (Nullstellen) definieren jeweils eine Abbildung der (n-1)-Sphäre in sich, deren Abbildungsgrad gleich dem Index der Singularität ist.<ref>Hirzebruch, In memoriam Heinz Hopf, 1972, S. 3.</ref>

Von 1925 bis 1926 lebte er in [[Göttingen]], wo er bei [[Emmy Noether]] hörte und den russischen Topologen [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]] kennenlernte, mit dem ihn eine lebenslange Freundschaft verband. Insbesondere von Emmy Noether lernten beide, die [[Homologie (Mathematik)|Homologietheorie]] gruppentheoretisch zu behandeln. In seiner Göttinger [[Habilitation]] von 1926 untersuchte er [[Homotopie]]klassen von Abbildungen n-dimensionaler [[Mannigfaltigkeit]]en in [[Topologische Sphäre|Sphären]] und [[Vektorfeld]]ern auf Mannigfaltigkeiten und er gab einen Beweis von [[Solomon Lefschetz]]’ Indextheorem für Vektorfelder auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten (Summe der Indizes gibt [[Euler-Charakteristik]], also eine fundamentale [[topologische Invariante]], heute bekannt als Satz von Poincaré-Hopf).<ref>Hopf, ''Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten'', [[Mathematische Annalen]], Band 96, 1926, S. 209–223.</ref><ref>Hopf, ''Vektorfelder n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten'', Math. Annalen, Band 96, 1926, S. 225–250.</ref> 1928 entwickelte er diese Ideen von Lefschetz weiter und gab einen Beweis des [[Solomon Lefschetz|Lefschetz-Fixpunktsatzes]], in dem erstmals [[Homologie (Mathematik)|Homologiegruppen]] auftauchten.<ref>Hopf, ''A new proof of the Lefschetz Formula for invariant points'', Proc. Nat. Acad. Sciences Band 14, 1928 ([http://www.pnas.org/content/14/2/149.full.pdf Online]; PDF; 421 kB), verbessert in ''Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel'', Nachrichten der Göttinger Akademie der Wissenschaften, 1928, S. 127–136, ([https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1928 Online])</ref> Gleichzeitig definierte er für die Zyklen in Mannigfaltigkeiten über die [[Schnittzahl]] ein Produkt, das sich später als frühes [[Kohomologie]]-Konzept erwies. 1927–1928 war er mit Alexandroff als Rockefeller-Stipendiat in [[Princeton (New Jersey)|Princeton]], wo sie mit [[Oswald Veblen]], [[James Alexander (Mathematiker)|James Alexander]] und Lefschetz zusammenarbeiteten. Im Oktober 1928 heiratete er Anja von Mickwitz (1891–1967). Hopf hatte ab 1931 eine [[Professur]] an der [[ETH Zürich]] als Nachfolger des nach Göttingen gewechselten [[Hermann Weyl]], u. a. auf Empfehlung von Schur, dem er selbst später auf dessen Flucht vor den Nationalsozialisten 1936 an der ETH vorübergehend Unterschlupf verschaffen konnte. In Zürich nahm Hopf 1943 auch die Schweizer Staatsbürgerschaft an.<ref name="biography" />

1931 definierte er die [[Hopf-Invariante]] als topologische Invariante von Abbildungen zwischen Sphären gewisser (unterschiedlicher) Dimensionen und zeigte, dass es unendliche viele Homotopieklassen bei den Abbildungen von <math>S^3 \to S^2</math> gibt.<ref>Hopf, ''Über die Abbildung der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugeloberfläche'', Mathematische Annalen Band 104, 1931.</ref> Nimmt man an, dass die Abbildungen f von <math>S^3</math> nach <math>S^2</math> regulär sind (das heisst simplizial oder differenzierbar), dann sind die Urbilder fast aller Punkte von <math>S^2</math> eindimensionale (eine oder mehrere Kreislinien). Dann ist die Hopf-Invariante die Verschlingungszahl (in <math>S^3</math>) der Urbilder zweier verschiedener Punkte von <math>S^2</math>.<ref>Samelson, Zum wissenschaftlichen Werk von Heinz Hopf, Jahresbericht DMV, Band 78, 1976, S. 130.</ref> 1935 veröffentlichte er mit Alexandroff das bekannte Lehrbuch ''Topologie'' in der Grundlehren-Reihe des Springer Verlages, das als eines der ersten Lehrbücher dieses Gebietes gilt und großen Einfluss hatte (von den geplanten drei Bänden erschien nur der erste). 1939 behandelte er die Topologie [[Kompakte Gruppe|kompakter]] [[Lie-Gruppe|Liegruppen]], wobei er die [[Hopf-Algebra|Hopf-Algebren]] einführt, die später in der Theorie der [[Quantengruppe]]n von fundamentaler Bedeutung wurden.<ref>''Über den Rang geschlossener Liescher Gruppen'', Comm.Math.Helv. Band 13, 1941/2</ref>

Eine Arbeit von 1941 ''Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe''<ref>Comm.Math.Helvetici Band 14, 1941/2</ref> wird als eine der ersten Arbeiten zur [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] angesehen, die kurze Zeit später besonders von [[Samuel Eilenberg]] und [[Norman Steenrod]] entwickelt wurde.

1940 bewies er mit topologischen Hilfsmitteln, dass reelle [[Kommutativgesetz|kommutative]], aber nicht unbedingt [[Assoziativgesetz|assoziative]], [[Divisionsalgebra|Divisionsalgebren]] maximal die Dimension 2 über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] haben; gibt es ein Einselement, sind die komplexen Zahlen bis auf Isomorphie die einzige solche Algebra (in diesem Fall folgt dann also Assoziativität aus Kommutativität).<ref>Hopf, Systeme symmetrischer Bilinearformen und euklidische Modelle der projektiven Räume, Vierteljahreszeitschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zürich, Band 85, 1940, Beiblatt Nr. 32, Festschrift [[Rudolf Fueter]], nachgedruckt in Hopf, Selecta, Springer 1964.</ref><ref>M. Koecher, R. Remmert, Isomorphiesätze von Frobenius und Hopf, in: H.-D. Ebbinghaus u. a., Zahlen, Springer 1983, S. 156, 162ff.</ref>

1948 führte er unabhängig von [[Charles Ehresmann]] das Konzept [[Fastkomplexe Mannigfaltigkeit|fastkomplexer Mannigfaltigkeiten]] ein.<ref>Hopf, Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten, in: Essays presented to R. Courant on his 60th birthday, Interscience 1948, S. 167–185.</ref> Das geschah in Zusammenhang mit der Frage, ob jede orientierbare Mannigfaltigkeit geradzahliger Dimension eine komplexe Struktur erlaubt, was Hopf widerlegte (zum Beispiel zeigte er, dass es solche nicht in den Dimensionen n=4,8 gibt). Die offene Frage ob solche in n=6 existieren ist als Hopf-Problem bekannt.<ref>Ilka Agricola u. a., On the history of the Hopf problem, [[Differential Geometry and its Applications]], Band 57, April 2018, 1–9, [https://arxiv.org/abs/1708.01068 Arxiv]</ref>

Zu seinen Studenten in Zürich zählen [[Beno Eckmann]], [[Hans Samelson]], [[Eduard Stiefel]].

== Würdigungen ==
Nach ihm benannt sind auf mathematischem Gebiet die [[Hopf-Faserung]]en, [[H-Raum|H-Räume]], [[H-Gruppe]]n, [[Hopf-Invariante]], [[Hopf-Algebra|Hopf-Algebren]], die [[Hopf-Verschlingung]], der [[Satz von Hopf-Rinow]] über die geodätische Vollständigkeit riemannscher Mannigfaltigkeiten.<ref>Hopf, Rinow ''Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche'', Comm.Math.Helv. Band 3, 1931, S. 209.</ref>

Hopf war sechsfacher Ehrendoktor (u. a. Sorbonne, Princeton), erhielt den Moskauer [[Lobatschewski-Medaille|Lobatschewski-Preis]], war Mitglied der [[Accademia Nazionale dei Lincei]], der [[National Academy of Sciences]] der USA und von 1954 bis 1958 Präsident der [[Internationale Mathematische Union|Internationalen Mathematischen Union]]. 1950 hielt er einen Plenarvortrag auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematikerkongress]] in [[Cambridge (Massachusetts)]] (''Die n-dimensionalen Sphären und die projektiven Räume in der Topologie''). Im Jahr 1958 wurde er zum Mitglied der [[Leopoldina]] gewählt, 1961 in die [[American Academy of Arts and Sciences]] und 1962 in die [[American Philosophical Society]]<ref>{{Internetquelle |url=https://search.amphilsoc.org/memhist/search?creator=Heinz+Hopf&title=&subject=&subdiv=&mem=&year=&year-max=&dead=&keyword=&smode=advanced |titel=Member History: Heinz Hopf |hrsg=American Philosophical Society |abruf=2018-10-03}}</ref> aufgenommen. Seit 1949 war er korrespondierendes Mitglied der [[Heidelberger Akademie der Wissenschaften]]<ref>{{Internetquelle| url=https://www.hadw-bw.de/mitglieder?id=734| titel=Mitglieder: Heinz Hopf| hrsg=Heidelberger Akademie der Wissenschaften| abruf=2025-10-24}}</ref> und seit 1966 korrespondierendes Mitglied der [[Akademie der Wissenschaften zu Göttingen|Göttinger Akademie der Wissenschaften]].<ref>Holger Krahnke: ''Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001'' (= ''Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse.'' Folge 3, Band 246 = ''Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse.'' Folge 3, Band 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 118.</ref>

2001 wurde außerdem der [[Asteroid]] [[(25142) Hopf]] nach ihm benannt.<ref>[https://www.minorplanetcenter.net/iau/ECS/MPCArchive/2001/MPC_20010804.pdf Minor Planet Circ. 43192]</ref>

== Heinz-Hopf-Preis ==
Die [[ETH Zürich]] vergibt alle zwei Jahre den [[Heinz-Hopf-Preis]] für ''hervorragende wissenschaftliche Leistungen im Gebiet der reinen Mathematik''. Die Preisübergabe erfolgt jeweils anlässlich der Heinz-Hopf-Vorlesungen, die vom Preisträger gehalten werden.

== Schriften ==
* Hopf: ''Collected Papers.'' Springer 2001 (Hrsg. Beno Eckmann)
* Hopf: ''Selecta Heinz Hopf.'' Springer 1964
* Hopf: ''Differential geometry in the large. Seminar Lectures New York University 1946 and Stanford University 1956''. (Lecture Notes in Mathematics; 1000). Berlin/Heidelberg: Springer 1989
* {{Internetquelle
|autor=Alexandroff, Hopf
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN379157292?origin=/id/PPN379156768&collection=mathematica
|titel=Topologie
|datum=1935
|abruf=2020-03-22}}
* {{Internetquelle
|autor=Hopf
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1928?tify={%22pages%22:[137],%22view%22:%22info%22}
|titel=Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel
|werk=Nachr.Akad.Wiss.Göttingen
|seiten=127–136
|datum=1928
|abruf=2020-03-22}}
* {{Internetquelle
|autor=Hopf
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0104?tify={%22pages%22:[641],%22view%22:%22info%22}
|titel=Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugeloberfläche
|werk=Mathematische Annalen
|seiten=637–665
|datum=1931
|abruf=2020-03-22}} (Hopf-Faserung, Hopf-Invariante)
* {{Literatur
|Autor=Heinz Hopf
|Titel=Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe
|Sammelwerk=[[Commentarii Mathematici Helvetici]]
|Band=14. 1941/42
|Seiten=257–309
|DOI=10.5169/seals-14307
|Typ=wl}}
* {{Internetquelle
|autor=Hopf
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0056?tify={%22pages%22:[63],%22view%22:%22info%22}
|titel=Vom Bolzanoschen Nullstellensatz zur algebraischen Homotopietheorie der Sphären
|werk=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
|seiten=59–76
|datum=1953
|abruf=2020-03-22}}
* Hopf: ''Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension''. Fundamenta Mathematicae, Band 25, 1935, S. 427–440, [http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv25i1p35bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1935-25-1;36&qt=CHILDREN-STATELESS Digitalisat].

Viele Aufsätze von Hopf z. B. aus den Mathematischen Annalen, Comm.Math.Helvetici sind hier online: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/ (gdz.sub.uni-goettingen.de)]
Einige Aufsätze aus den Proc.Nat.Acad. sind hier online: [http://pnas.org/ pnas.org]

== Literatur ==
* {{NDB|9|607||Hopf, Heinz|[[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|Johann Jakob Burckhardt]]|118707000}}
* Hans Samelson: ''Zum wissenschaftlichen Werk von Heinz Hopf.'' In: ''Jahresbericht DMV'', Band 78, 1976, S. 126.
* Frei, Stammbach: ''Heinz Hopf.'' in I. James (Hrsg.): ''History of topology'', Amsterdam 1999
* [[Hans Freudenthal]]: ''Hopf, Heinz.'' In: ''Dictionary of Scientific Biography'', Band 6, S. 496–497.
* [[Friedrich Hirzebruch]]: ''In memoriam Heinz Hopf'', Mathematische Annalen, Band 186, 1972, S. 1–7.

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|118707000}}
* {{MacTutor|id=Hopf}}
* {{HLS|31397|Hopf, Heinz|Autor=Urs Stammbach}}
* Gabriele Dörflinger: [http://histmath-heidelberg.de/homo-heid/hopf.htm Heinz Hopf]. Eine Materialsammlung aus [http://histmath-heidelberg.de/ Historia Mathematica Heidelbergensis].
* [http://www.math.ethz.ch/hopf Offizielle Website des Heinz Hopf-Preises] (englisch)
* Beno Eckmann: {{Internetquelle |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN378850199_0049?tify={%22pages%22:[137]} |titel=Zum 100 Geburtstag von Heinz Hopf |werk=Elemente der Mathematik |seiten=133–136 |datum=1994 |abruf=2020-03-22}}
* [[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Hirzebruch]]: {{Internetquelle |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0196?tify={%22pages%22:[7]} |titel=In memoriam Heinz Hopf |werk=Mathematische Annalen |seiten=1–7 |datum=1972 |abruf=2020-03-22}}
* {{Internetquelle
|autor=P. Alexandrow
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0078?tify={%22pages%22:[119],%22view%22:%22info%22}
|titel=Einige Erinnerungen an Heinz Hopf
|werk=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1976/77
|seiten=113–125
|abruf=2020-03-22}}
* {{Internetquelle
|autor=Konrad Voss
|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN378850199_0028?tify={%22pages%22:[85],%22view%22:%22info%22}
|titel=In memoriam Heinz Hopf
|werk=Elemente der Mathematik
|seiten=81–83
|datum=1973
|abruf=2020-03-22}}
* [https://zbmath.org/authors/hopf.heinz Heinz Hopf] in der Datenbank [[zbMATH]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118707000|LCCN=n83209456|VIAF=46823147}}

{{SORTIERUNG:Hopf, Heinz}}
[[Kategorie:Topologe (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (ETH Zürich)]]
[[Kategorie:Mitglied der Accademia dei Lincei]]
[[Kategorie:Mitglied der National Academy of Sciences]]
[[Kategorie:Mitglied der Leopoldina (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Mitglied der Heidelberger Akademie der Wissenschaften]]
[[Kategorie:Mitglied der American Academy of Arts and Sciences]]
[[Kategorie:Mitglied der American Philosophical Society]]
[[Kategorie:Mitglied der Niedersächsischen Akademie der Wissenschaften zu Göttingen]]
[[Kategorie:Person als Namensgeber für einen Asteroiden]]
[[Kategorie:Ehrendoktor der Princeton University]]
[[Kategorie:Ehrendoktor der Sorbonne]]
[[Kategorie:Deutscher Emigrant in der Schweiz]]
[[Kategorie:Absolvent der Humboldt-Universität zu Berlin]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Schweizer]]
[[Kategorie:Geboren 1894]]
[[Kategorie:Gestorben 1971]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Hopf, Heinz
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=schweizerischer Mathematiker
|GEBURTSDATUM=19. November 1894
|GEBURTSORT=[[Gräbschen]], [[Schweiz]]
|STERBEDATUM=3. Juni 1971
|STERBEORT=[[Zollikon]], [[Schweiz]]
}}

Heinz Hopf - Versionsgeschichte

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