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2024-09-20T16:42:01Z

Ausgewählte Veröffentlichungen: +lit

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'''Heinrich August Rothe''' (* [[3. September]] [[1773]] in [[Dresden]]; † [[1842]] in [[Erlangen]]) war ein deutscher [[Mathematiker]], der sich mit [[Kombinatorik]] beschäftigte. Er war ein Schüler von [[Carl Friedrich Hindenburg]] und lehrte als Professor an den Universitäten in [[Universität Leipzig|Leipzig]] und [[Universität Erlangen|Erlangen]].<ref>{{Literatur |Autor=Bernd Bekemeier |Titel=Martin Ohm, 1792–1872: Universitäts- und Schulmathematik in der neuhumanistischen Bildungsreform |Reihe=Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik |BandReihe=4 |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Datum=1987 |ISBN=3-525-40311-9 |Seiten=83}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Hans Niels Jahnke |Titel=Mathematik und Bildung in der Humboldtschen Reform |Reihe=Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik |BandReihe=8 |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Datum=1990 |ISBN=3-525-40315-1 |Seiten=175}}</ref> Nach ihm sind die [[Rothe-Hagen-Identität]] und das [[Rothe-Diagramm]] benannt.

== Leben ==
Rothe wurde am 3. September 1773 in [[Dresden]] geboren und besuchte ab 1785 die [[Kreuzschule]]. Er immatrikulierte sich 1789 an der [[Universität Leipzig]] im Fach Rechtswissenschaften, wechselte jedoch bald zur Mathematik. 1792 erwarb er die Magisterwürde unter der Leitung von [[Carl Friedrich Hindenburg]] und wurde 1793 promoviert.<ref>{{MathGenealogyProject|id=179359}}</ref> Im selben Jahr wurde er dort zum Dozenten und 1796 zum außerordentlichen Professor ernannt. 1800 wurde er zum korrespondierenden Mitglied der Göttinger [[Akademie der Wissenschaften zu Göttingen|Akademie der Wissenschaften]] gewählt.<ref>Holger Krahnke: ''Die Mitglieder der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen 1751–2001'' (= ''Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Philologisch-Historische Klasse.'' Folge 3, Bd. 246 = ''Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse.'' Folge 3, Bd. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1, S. 206.</ref> 1804 ging er als ordentlicher Professor an die [[Universität Erlangen]], wo er den Lehrstuhl von [[Karl Christian von Langsdorf]] übernahm. Im Jahr 1818 wurde er in die [[Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina]] aufgenommen. Er ging 1823 im Alter von 50 Jahren in den Ruhestand und starb im Jahr 1842. Sein Lehrstuhl wurde von [[Johann Wilhelm Pfaff]], dem jüngeren Bruder von [[Johann Friedrich Pfaff]] übernommen.<ref>{{Literatur |Autor=Karl Immanuel Gerhardt |Titel=Geschichte der Mathematik in Deutschland |Reihe=Geschichte der Wissenschaften in Deutschland: Neuere Zeit |BandReihe=17 |Verlag=R. Oldenbourg |Datum=1877 |Seiten=204}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=David E. Rowe |Hrsg=Dominique Flament |Titel=In search of Steiner's Ghosts: Imaginary elements in the nineteenth-century geometry |Sammelwerk=Le Nombre: une Hydre à ''n'' visages, Entre nombres complexes et vecteurs |Verlag=[[Fondation Maison des Sciences de l’Homme]] |Datum=1997 |Seiten=193–208}}</ref><ref>{{ADB|29|349|350|Rothe, Heinrich August|[[Moritz Cantor]]|ADB:Rothe, Heinrich August}}</ref>

== Forschung ==
In seiner Dissertation aus dem Jahr 1793 entwickelte er die [[Rothe-Hagen-Identität]], eine Summenformel für [[Binomialkoeffizient]]en, die nach ihm und [[Johann Georg Hagen]] benannt wurde.<ref>{{Literatur |Autor=H. W. Gould |Titel=Some generalizations of Vandermonde's convolution |Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]] |Band=63 |Datum=1956 |Seiten=84–91}}</ref> Die Arbeit enthält auch eine Formel zur Berechnung der [[Taylor-Reihe]] der [[Inverse Funktion|Inversen einer Funktion]] aus der Taylor-Reihe der Funktion selbst, die mit dem [[Lagrangescher Inversionssatz|Lagrangeschen Inversionssatz]] verwandt ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ronald Calinger |Titel=Vita Mathematica: Historical Research and Integration With Teaching |Reihe=Mathematical Association of America Notes |BandReihe=40 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1996 |ISBN=0-88385-097-4 |Seiten=146–147}}</ref>

{| class="wikitable float-right" style="text-align:center"
|+ Rothe-Diagramm der<br />Permutation (2,4,1,3,5)
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In seiner Arbeit zu [[Permutation]]en aus dem Jahr 1800 definierte Rothe erstmals die [[Inverse Permutation|Inverse einer Permutation]]. Er entwickelte auch eine Technik zur Visualisierung von Permutationen, die heute als [[Rothe-Diagramm]] bekannt ist. Ein Rothe-Diagramm ist ein quadratisches Schema, das einen Punkt in einer Zelle <math>(i,j)</math> aufweist, wenn die Permutation das Element <math>i</math> auf das Element <math>j</math> abbildet und ein Kreuz in jeder Zelle <math>(i,j)</math>, für die ein Punkt später in gleichen Zeile sowie ein weiterer Punkt später in der gleichen Spalte steht. Die Kreuze markieren dann die [[Fehlstand|Fehlstände]] der Permutation. Nachdem das Rothe-Diagramm der inversen Permutation das transponierte Diagramm der Ausgangsposition ist, konnte er so zeigen, dass sich die Zahl der Fehlstände durch die Inversion nicht ändert. Damit konnte er weiter zeigen, dass die [[Determinante]] einer [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] gleich der der Ausgangsmatrix ist. Wird nämlich die Determinante in ein [[Polynom]] entwickelt, entspricht jeder Term einer Permutation, wobei das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Terms dem [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation entspricht, welches wiederum über die Fehlstandszahl bestimmt werden kann. Nachdem jeder Term der Determinante der transponierten Matrix einem Term der Ausgangsmatrix mit der entsprechend inversen Permutation entspricht und sich die Fehlstandszahl dabei nicht verändert, müssen die beiden Determinanten gleich sein.<ref>{{Literatur |Autor=Donald E. Knuth |Titel=[[The Art of Computer Programming]], Volume 3: Sorting and Searching |Verlag=Addison-Wesley |Ort=Reading, Mass. |Datum=1973 |Seiten=14–15}}</ref>

Weiter betrachtete Rothe in dieser Arbeit erstmals [[Selbstinverse Permutation|selbstinverse Permutationen]], also Permutationen, die gleich ihrer Inversen sind oder äquivalent dazu ein symmetrisches Rothe-Diagramm besitzen. Für die Anzahl dieser Permutationen fand er die [[Lineare Differenzengleichung|Rekurrenz]]

:<math>T(n) = T(n-1) + (n-1)T(n-2)</math>,

deren Lösung die Folge

:<math>1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, \ldots</math>    ({{OEIS|A000085}})

ist.<ref>{{Literatur |Autor=Donald E. Knuth |Titel=[[The Art of Computer Programming]], Volume 3: Sorting and Searching |Verlag=Addison-Wesley |Ort=Reading, Mass. |Datum=1973 |Seiten=48, 56}}</ref> Diese Folge zählt auch die Anzahl der möglichen [[Young-Tableau]]s und die Anzahl der [[Matching (Graphentheorie)|Matchings]] in einem [[Vollständiger Graph|vollständigen Graph]]. Rothe formulierte 1811 weiterhin die ''q''-Binomialformel, eine Verallgemeinerung des [[Binomischer Lehrsatz|Binomischen Lehrsatzes]].<ref>{{Literatur |Autor=D.M. Bressoud |Titel=Some identities for terminating ''q''-series |Sammelwerk=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |Band=89 |Nummer=2 |Datum=1981 |Seiten=211–223}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=H.B. Benaoum |Titel=''h''-analogue of Newton's binomial formula |Sammelwerk=Journal of Physics A: Mathematical and General |Band=31 |Nummer=46 |Datum= |Seiten=L751–L754}}</ref>

== Ausgewählte Veröffentlichungen ==
* [https://books.google.com/books/about/Formulae_De_Serierum_Reversione_Demonstr.html?hl=en Formulae De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica], Leipzig 1793.
* [https://astronomie-rara.ethbib.ethz.ch/zut/content/pageview/1341041 Ueber Permutationen, in Beziehung auf die Stellen ihrer Elemente. Anwendung der daraus abgeleiteten Satze auf das Eliminationsproblem]. In Carl Hindenburg (Hrsg.): ''Sammlung Combinatorisch-Analytischer Abhandlungen.'' Bey G. Fleischer dem jüngern, 1800, S. 263–305.
* ''Handbuch der reinen Mathematik / Systematisches Lehrbuch der Arithmetik.'' zwei Bände, Barth, Leipzig 1804 und 1811.
* ''Theorie der combinatorischen Integrale.'' Riegel und Wießner, Nürnberg 1820.

== Literatur ==
* {{ADB|29|349|350|Rothe, Heinrich August|[[Moritz Cantor]]|ADB:Rothe, Heinrich August}}

== Weblinks ==
* {{DDB|Person|116640251}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=116640251|LCCN=no/2001/45578|VIAF=59840716}}

{{SORTIERUNG:Rothe, Heinrich August}}
[[Kategorie:Mathematiker (18. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Mathematiker (19. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Universität Leipzig)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Standort Erlangen)]]
[[Kategorie:Mitglied der Leopoldina (19. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Mitglied der Niedersächsischen Akademie der Wissenschaften zu Göttingen]]
[[Kategorie:Absolvent der Universität Leipzig]]
[[Kategorie:Geboren 1773]]
[[Kategorie:Gestorben 1842]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Rothe, Heinrich August
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=deutscher Mathematiker
|GEBURTSDATUM=3. September 1773
|GEBURTSORT=[[Dresden]]
|STERBEDATUM=1842
|STERBEORT=[[Erlangen]]
}}

Heinrich August Rothe - Versionsgeschichte

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