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2025-12-16T14:18:49Z

Geschichte des Problems

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Die '''Heegner-Zahlen''' sind die neun Zahlen 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 und 163. Sie sind nach [[Kurt Heegner]] benannt.

== Bedeutung der Heegner-Zahlen ==

In den [[gaußsche Zahlen|gaußschen Zahlen]] und in den [[Eisenstein-Zahlen]] ist die Primfaktorzerlegung im Wesentlichen eindeutig. Man kann nun fragen, für welche anderen Erweiterungen der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] dies ebenfalls der Fall ist. Schränkt man sich dabei auf [[Ganzheitsring]]e von [[Körpererweiterung|Erweiterungen]] <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math> der rationalen Zahlen durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] der Quadratwurzel aus einer quadratfreien negativen ganzen Zahl <math>d</math> ein, so stellt sich heraus, dass die Primfaktorzerlegung genau dann eindeutig ist, wenn <math>-d</math> eine Heegner-Zahl ist. Die gaußschen Zahlen und die Eisensteinzahlen entsprechen dabei den Fällen <math>d=-1</math> bzw. <math>d=-3</math>.

Auch die Tatsache, dass

: <math>N\left(\frac{2X \pm 1 + \sqrt{-163}}{2}\right) = \left(\frac{2X \pm 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{163}}{2}\right)^2 = X^2 \pm X + \frac{1+163}{4} = X^2 \pm X + 41</math>

für <math>X = 0, 1, \ldots, \frac{1+163}{4}-2 = 39</math> nur Primzahlen als Werte hat, folgt unmittelbar aus dem Zerlegungsgesetz für [[quadratischer Zahlkörper|quadratische Zahlkörper]], da <math>\mathbb{Q}\left(\sqrt{-163}\right)</math> [[Klassenzahl]] <math>1</math> hat.

== Fast ganze Zahlen ==

Folgende Ausdrücke stellen fast ganze Zahlen dar.
Insbesondere die letzte <span style="font-size:90%"><math> 262537412640768743{,}99999\,99999\,99250\,07 \ldots\, </math></span>, auch bekannt als Ramanujan's Konstante, spielt bei der schnellen Berechnung von <math>\pi</math> die entscheidende Rolle.

:<math>
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &= 12^3\left((3 \cdot \phantom{0}1)^2-1\right)^3 + 744 - 0{,}22231 \ldots \\
e^{\pi \sqrt{43}} &= 12^3\left((3 \cdot \phantom{0}3)^2-1\right)^3 + 744 - 0{,}00022\,253 \ldots \\
e^{\pi \sqrt{67}} &= 12^3\left((3 \cdot \phantom{0}7)^2-1\right)^3 + 744 - 0{,}00000\,13375 \ldots \\
e^{\pi \sqrt{163}} &= 12^3\left((3 \cdot 77)^2-1\right)^3 + 744 - 0{,}00000\,00000\,00749\,92 \ldots
\end{align}
</math>

== Geschichte des Problems ==

Die Lösung des Problems ist schon von [[Carl Friedrich Gauß]] vermutet worden. Es war vor 1952 bekannt, dass es höchstens zehn solche Zahlen geben kann. Kurt Heegner fand schließlich, dass die neun oben erwähnten Zahlen tatsächlich alle Lösungen sind.

== Weitere Bezüge ==

* Heegner-Zahlen generieren Fast-Ganzzahlen ''(Almost Integer)'', z. B. die Ramanujankonstante <math>e^{\pi\sqrt{163}}</math>.<ref name="mw_raman" />
* Die Heegner-Zahlen sind mit der [[j-Funktion]] verknüpft und generieren über diese Kubikzahlen.<ref name="mw_jfkt" />

== Weblinks ==

* {{MathWorld|HeegnerNumber|Heegner-Zahl}}
* {{OEIS|A003173}} mit weiteren Referenzierungen
* [[Dorian Goldfeld]]: ''[https://www.ams.org/journals/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields.]'' (detaillierte Historie im Bulletin der American Mathematical Society, 1985) (PDF; 1,1 MB, 16 S.)

== Einzelnachweise ==

<references>

<ref name="mw_raman">
{{MathWorld|RamanujanConstant|Ramanujan Constant}} vgl. auch [[:en:Almost integer]]
</ref>

<ref name="mw_jfkt">
{{MathWorld|j-Function|j-Function}}
</ref>

</references>

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Heegner-Zahl - Versionsgeschichte

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