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2026-02-13T20:16:00Z

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Die '''Heaviside-Funktion''', auch ''Theta-'', ''[[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppen-]]'', ''Schwellenwert-'', ''Stufen-'', ''Sprung-'' oder ''Einheitssprungfunktion'' genannt, ist eine in der [[Mathematik]] und [[Physik]] oft verwendete [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker [[Oliver Heaviside]] (1850–1925) benannt.

== Allgemeines ==
Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert [[null]], andernfalls den Wert [[eins]]. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle <math>x=0</math> überall [[Stetige Funktion|stetig]]. In Formeln geschrieben heißt das:

[[Datei:Heaviside.svg|mini|hochkant=1.5|Heaviside-Funktion]]
: <math>\begin{align}
\Theta \colon \; & \R \to \{0,1\} \\
\ & x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}
\end{align}</math>

Sie ist also die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] des [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] <math>[0,+\infty)</math> der [[Positive und negative Zahlen|nichtnegativen reellen Zahlen]].

In der Fachliteratur sind statt <math>\Theta(x)</math> auch davon abweichende Notationen geläufig:

* <math>H(x)</math>, welche sich am Namen von Oliver '''H'''eaviside orientiert.
* <math>s(x)</math> und <math>\sigma(x)</math> nach der Bezeichnung '''S'''prungfunktion.
* <math>u(x)</math> nach der Bezeichnung {{enS|'''''u'''nit step function''}}.
* Auch <math>\epsilon(x)</math> wird häufig verwendet.
* In der [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)|Systemtheorie]] verwendet man auch das Symbol <math>1(x)</math>.

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der [[Nachrichtentechnik]] oder als mathematisches Filter: [[Multiplikation|Multipliziert]] man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von <math>x=0</math> den Wert Null hat ([[deterministisch]]e Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

== Alternative Darstellungen ==
Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle <math>x=0</math> kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

: <math>\begin{align}
\Theta_c\colon \; & \R \to \mathbb{K} \\
\,& x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
c : & x = 0\\
1 : & x > 0
\end{cases}
\end{align}</math>
mit <math>0,1,c\in\mathbb{K}</math>. Es kann <math>\mathbb{K}</math> also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch <math>\mathbb{K} = [0,1] \subset \R</math> verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann <math>\Theta_c(0) = c</math> ist.

Durch die Wahl <math>c := \tfrac{1}{2}</math> und folglich <math>\Theta_\frac{1}{2}(0) = \textstyle\frac{1}{2}</math> erreicht man, dass die Gleichungen

: <math>\Theta_\frac{1}{2}(x) = \tfrac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1)</math> und damit auch
: <math>\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)</math>

für alle reellen <math>x</math> gültig sind.

Eine [[Integralrepräsentation]] der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

: <math>\Theta(x)=-\lim_{ \varepsilon \to 0} {1\over 2\pi \mathrm i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm i\varepsilon} \mathrm e^{-\mathrm i x \tau} \, \mathrm d \tau </math>

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

: <math>\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]</math>

== Eigenschaften ==
=== Differenzierbarkeit ===
Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie [[Schwache Ableitung|schwach differenzierbar]]. Dennoch kann man über die Theorie der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] eine Ableitung definieren. Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche [[Delta-Distribution]], die in der Physik zur Beschreibung von [[Punktquelle|punktförmigen Quellen]] von Feldern Verwendung findet.
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)</math>

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man <math>\Theta (x)</math> und <math> \delta (x) </math> geeignet approximiert, z. B. durch
: <math>
\Theta_\varepsilon (x) :=
\begin{cases}
0 & x< (-\varepsilon)
\\
\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\varepsilon}\right)
& |x|\le\varepsilon
\\
1
& x>\varepsilon
\,,
\end{cases}
</math>
sowie
: <math>
\delta_\varepsilon (x):=
\begin{cases}
0
& |x| >\varepsilon
\\
\frac{1}{2\varepsilon}
& |x|\le\varepsilon \,,
\end{cases}
</math>
wobei jeweils der Grenzwert <math>\textstyle \lim_{\varepsilon \searrow 0} </math> betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare [[Approximation #Funktionen|Annäherung]] an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte [[Sigmoidfunktion]] erreicht werden.

=== Integration ===
Eine [[Stammfunktion]] der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen <math>x < 0</math> und <math>x \geq 0</math> aus der Fallunterscheidung in der Definition:
* Für <math>x > 0</math> gilt
*: <math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^0 0\,\mathrm{d}t + \int_0^x 1\,\mathrm{d}t = \int_0^x 1\,\mathrm{d}t = \Big[t\Big]_0^x = x</math>.
* Für <math>x \leq 0</math> tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
*: <math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^x 0\,\mathrm{d}t = 0</math>.
Zusammengenommen gilt also
: <math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \left\{\begin{alignedat}{2} 0 & \text{,} & \quad & \text{falls }x \leq 0 \\ x & \text{,} && \text{falls }x > 0 \end{alignedat}\right.</math>
beziehungsweise
: <math>\int_{-\infty}^x \Theta\!\left(t\right)\,\mathrm{d}t = \max\left\{0, x\right\} = x \cdot \Theta(x)</math>.
Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit
: <math>\int \Theta\!\left(x\right)\,\mathrm{d}x = \max\left\{0, x\right\} + C = x \cdot \Theta(x) + C</math>.

== Siehe auch ==
* [[Sprungantwort]]
* [[Schwellenwert (Elektronik)]], [[Schwellenwertverfahren]]
* [[Rechteckfunktion]]
* [[Föppl-Klammer]]
* [[Vorzeichenfunktion]]
* [[Fermi-Dirac-Statistik|Fermi-Verteilung]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=HeavisideStepFunction |title=Heaviside Step Function}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Heaviside-Funktion - Versionsgeschichte

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