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2025-06-11T12:15:52Z

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[[Datei:Hausdorff space.svg|mini|Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.]]
Ein '''Hausdorff-Raum''' (auch '''hausdorffscher Raum''' oder '''Hausdorffraum'''; nach [[Felix Hausdorff]]) oder ''separierter Raum'' ist ein [[topologischer Raum]] <math>M</math>, in dem das [[Trennungsaxiom]] <math>T_2</math> (auch '''Hausdorffeigenschaft''' oder '''hausdorffsches Trennungsaxiom''' genannt) gilt.

== Definition ==

Ein [[topologischer Raum]] <math>M</math> hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle <math>x,y \in M</math> mit <math>x \neq y</math> [[disjunkt]]e offene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] <math>U_x</math> und <math>V_y</math> existieren.

Mit anderen Worten: Alle paarweise verschiedenen Punkte <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> werden ''durch Umgebungen getrennt''. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

== Eigenschaften ==

Ein Hausdorff-Raum <math>M</math> lässt sich durch jede der folgenden zur Hausdorffeigenschaft äquivalenten Eigenschaften charakterisieren:
* Jeder [[Filter (Mathematik)|Filter]] auf <math>M</math> [[Filterkonvergenz|konvergiert]] gegen höchstens einen Punkt <math>x \in M</math>.
* Jede Einpunktmenge <math>\{x\}</math> ist der Durchschnitt ihrer [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] Umgebungen.
* Die Diagonale <math>\Delta := \{(x,x) \;|\; x \in M\}</math> ist abgeschlossen bezüglich der [[Produkttopologie]].

Insbesondere sind in Hausdorff-Räumen Grenzwerte von [[Folge (Mathematik)|Folgen]] – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig. Dabei konvergiere eine Folge <math>x_n</math> in einem topologischen Raum <math>X</math> gegen einen Punkt <math>x</math>, wenn zu jeder Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> ein <math>N \in \mathbb{N}</math> existiert, sodass <math>x_n \in U</math> für alle <math>n \geq N</math> gilt.

[[Teilraumtopologie|Unterräume]] von Hausdorff-Räumen bilden wiederum Hausdorff-Räume.
Ebenso überträgt sich die Hausdorffeigenschaft auf beliebige Produkte von Hausdorff-Räumen.

== Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume ==
=== Vergleich mit schwächeren Trennungseigenschaften ===
Nach Definition besitzt jeder Hausdorff-Raum die [[T1-Raum|T1-Trennungseigenschaft]] und ist damit auch ein [[T0-Raum|T0-Raum]].

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er [[Präregulärer Raum|präregulär]] ([[Trennungsaxiom|R1]]) ist:
: alle paarweise ''topologisch unterscheidbaren'' Punkte <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> werden durch Umgebungen getrennt,
und die [[Kolmogoroff-Raum|Kolmogoroff-Eigenschaft]] ([[Trennungsaxiom|T0]]) besitzt:
: alle paarweise verschiedenen Punkte <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> sind ''topologisch unterscheidbar''.

''Topologisch unterscheidbar'' heißen zwei Punkte <math>x</math> und <math>y</math> genau dann, wenn es eine [[offene Menge]] gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht. "Durch Umgebungen getrennt" werden die Punkte <math>x,y</math> per definitionem dann, wenn es [[offene Umgebung]]en <math>x\in U_x, y\in V_y</math> mit <math>U_x\cap V_y=\emptyset</math> gibt.

Beweis:
* Wenn R1 und T0 gegeben sind, folgt unmittelbar T2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was ''topologisch unterscheidbar'' überhaupt heißt.
* Der umgekehrte Schluss von T2 auf R1 und T0 geht so:
** Aus der Definition von T2 folgt für verschiedene <math>x</math>, <math>y</math> die Existenz der Menge <math>U_x</math>, die <math>x</math>, aber nicht <math>y</math> enthält, ergo gilt T0.
** Seien <math>x</math>, <math>y</math> zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist <math>x\neq y</math>. Dann folgt mit T2, dass <math>x</math> und <math>y</math> durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R1.

Eine weitere Abschwächung, die zwischen <math>T_1</math> und Hausdorff-Raum liegt, ist der [[Schwacher Hausdorffraum|schwache Hausdorff-Raum]].

=== Verschärfungen der Hausdorffeigenschaft ===
* Kann man in obiger Definition die offenen Mengen sogar so wählen, dass deren Abschlüsse auch noch disjunkt sind, so spricht man von einem [[Urysohn-Raum]].
* Gibt es zu je zwei verschiedenen Punkten eine [[stetige Funktion]] des Raums in die reellen Zahlen <math>\R</math>, die auf diesen Punkten verschiedene Werte annimmt, so nennt man den Raum einen [[Vollständiger Hausdorff-Raum|vollständigen Hausdorff-Raum]].
* Weitergehende Verschärfungen dieses Begriffs finden sich im Artikel "[[Trennungsaxiom]]".

== Beispiele ==

So gut wie alle in der [[Analysis]] betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume.
Insbesondere ist jeder [[Metrischer Raum|metrische Raum]] ein Hausdorff-Raum.

Im Gegensatz zur Filterkonvergenz ist die Eindeutigkeit von Folgengrenzwerten nur eine notwendige Bedingung für die Hausdorffeigenschaft. Stattet man z. B. eine überabzählbare Menge wie die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit der [[Koabzählbare Topologie|koabzählbaren Topologie]] aus, so erhält man einen nicht-hausdorffschen Raum, in dem konvergente Folgen genau einen Grenzwert besitzen.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren [[Ordinalzahlen]] mit der gewöhnlichen [[Ordnungstopologie]].

Wird das [[Spektrum eines Ringes]] mit der [[Zariski-Topologie]] versehen, erhält man einen [[Nüchterner Raum|nüchternen topologischen Raum]], der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Viele Beispiele nicht-hausdorffscher Räume erhält man als [[Quotiententopologie|Quotientenräume]] von [[Mannigfaltigkeit]]en bzgl. mancher [[Gruppenwirkung]]en oder allgemeinerer [[Äquivalenzrelation]]en. Zum Beispiel ist der Blattraum der [[Reeb-Blätterung]] (also der Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation: zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie zum selben Blatt gehören) nicht hausdorffsch.

Lokaleuklidische Räume müssen nicht hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien von <math>\R^1</math> durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal homöomorph zum <math>\R^1</math>, aber nicht hausdorffsch.

== Anmerkung ==
* Der Begriff des separierten Raums (= ''Hausdorff-Raums'') steht in keiner Beziehung zum Begriff des [[Separabler Raum|separablen Raumes]].<ref name="HS">Horst Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 58.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg Verlag
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3}}
* {{Literatur
|Autor=Jürgen Heine
|Titel=Topologie und Funktionalanalysis
|TitelErg=Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen
|Auflage=2., verbesserte
|Verlag=[[Oldenbourg Verlag]]
|Ort=München
|Datum=2011
|ISBN=978-3-486-70530-0}}
* {{Literatur
|Autor=Horst Schubert
|Titel=Topologie
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
* {{Literatur
|Autor=Stephen Willard
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts u. a.
|Datum=1970
|Seiten=224 ff
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]}}
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Felix Hausdorff]]
[[Kategorie:Trennbarkeit]]

Hausdorff-Raum - Versionsgeschichte

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