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Der '''Hauptraum''' oder '''verallgemeinerter Eigenraum''' ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und eine Verallgemeinerung des [[Eigenraum]]s. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der [[Jordansche Normalform|jordanschen Normalform]] und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

== Definition des Hauptraums ==
Ist <math>F \colon V \to V</math> eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math> in sich selbst, <math>\lambda</math> ein [[Eigenwert]] von <math>F</math> und bezeichnet <math>r</math> die [[algebraische Vielfachheit]] des Eigenwertes <math>\lambda</math>, dann nennt man den [[Kern (Algebra)|Kern]] der <math>r</math>-fachen Hintereinanderausführung von <math>(F - \lambda\,\mathrm{id})</math> Hauptraum zum Eigenwert <math>\lambda</math>, d. h.
:<math>\operatorname{Hau} (F, \lambda) := \{v \in V \mid (F - \lambda\,\mathrm{id})^r (v) = 0 \text{ für ein } r \in \N \}</math>.
Dabei steht <math>\mathrm{id}</math> für die [[identische Abbildung]] auf <math>V</math>.
Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren <math>v</math> aufgespannt, für die <math>(F - \lambda\,\mathrm{id})^r (v) = 0</math> gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein [[Untervektorraum]] des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

== Hauptvektor ==
Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch '''Hauptvektoren''' genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei <math>F</math> ein [[Endomorphismus]] und <math>\lambda</math> ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor <math>v</math> heißt Hauptvektor der Stufe <math>p</math>, wenn
:<math>(F-\lambda\,\mathrm{id})^p(v) = 0</math>
aber
:<math>(F-\lambda\,\mathrm{id})^{p-1}(v) \neq 0 </math>
gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

== Satz über die Hauptraumzerlegung ==
Es sei <math>F</math> ein [[Endomorphismus]] und sein [[charakteristisches Polynom]]
:<math>\chi_F(t) = \pm \prod_{j=1}^k(t-\lambda_j)^{r_j}</math>
zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen <math>\lambda_1 \ldots \lambda_k \in K</math>.
Dann gilt:
# Der Hauptraum ist <math>F</math>-invariant, das heißt <math>F\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) \subset \operatorname{Hau}(F,\lambda_i) </math>.
# Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also <math>\dim\left(\operatorname{Hau}(F,\lambda_i)\right) = r_i</math>.
# Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung ([[direkte Summe#innere direkte Summe|innere direkte Summe]]) von <math>V</math>. Es gilt also <math>V = \operatorname{Hau}(F,\lambda_1) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Hau}(F,\lambda_k)</math>.
# Der Endomorphismus <math>F</math> besitzt eine Zerlegung <math>F = F_D + F_N</math>. Darin ist <math>F_D</math> [[Diagonalmatrix|diagonalisierbar]], <math>F_N</math> ist [[Nilpotenz|nilpotent]], und es gilt <math>F_D \circ F_N = F_N \circ F_D</math>.

== Beispiel ==

Sei eine Matrix <math>A\in\mathbb{R}^{6\times6}</math> gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:
:<math>\det\left(A-\lambda I\right)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-4)^{3}</math>.

Außerdem soll gelten:
:<math>\begin{align}
\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{2}=3\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{3}=3\\
\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =1\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=2\,,\quad\dim\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{3}=3\\
\end{align}</math>

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die [[Jordansche Normalform]] <math>J</math> konstruieren
:<math>J=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}</math>

über eine [[Ähnlichkeitstransformation]] mit der Transformationsmatrix <math>P</math>
:<math>P^{-1}AP=J\quad\Longleftrightarrow\quad AP=PJ</math>,
wobei die Spaltenvektoren von <math>P</math> den Hauptvektoren <math>p_i</math> entsprechen:
:<math>P=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5}& p_{6}\end{bmatrix}</math>

Die Transformation <math>AP=PJ</math> lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:
:<math>A\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} & p_{6}\end{bmatrix}J=\begin{bmatrix}2p_{1}&2p_{2} & 2p_{3}+p_{2} & 4p_{4} & 4p_{5}+p_{4} & 4p_{6}+p_{5}\end{bmatrix}</math>

Somit folgt:
:<math>\begin{align}
\left(A-2I\right)p_{1} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{2} & =0\\
\left(A-2I\right)p_{3} & =p_{2}\quad\Rightarrow\quad\left(A-2I\right)^{2}p_{3}=\left(A-2I\right)p_{2}=0\\
\left(A-4I\right)p_{4} & =0\\
\left(A-4I\right)p_{5} & =p_{4}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0\\
\left(A-4I\right)p_{6} & =p_{5}\quad\Rightarrow\quad\left(A-4I\right)^{3}p_{6}=\left(A-4I\right)^{2}p_{5}=\left(A-4I\right)p_{4}=0
\end{align}</math>

<math>p_1</math>, <math>p_2</math> und <math>p_4</math> sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren), <math>p_3</math> und <math>p_5</math> Hauptvektoren zweiter Stufe und <math>p_6</math> ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen <math>A-\lambda E</math> wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:
:<math>\begin{align}
\operatorname{Ker}\left(A-2I\right) & =\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)^{n}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 2 \,,\\
\operatorname{Ker}\left(A-4I\right) & =\left\langle p_{4}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{2}=\left\langle p_{4},p_{5}\right\rangle \,,\quad\operatorname{Ker}\left(A-4I\right)^{n}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle \ \text{mit}\ n\geq 3 \end{align}</math>

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Hau}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)^{2}=\left\langle p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,2) =\operatorname{Ker}(A-2I)=\left\langle p_{1},p_{2}\right\rangle \\
\operatorname{Hau}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)^{3}=\left\langle p_{4},p_{5},p_{6}\right\rangle & \supset \operatorname{E}(A,4) =\operatorname{Ker}(A-4I)=\left\langle p_{4}\right\rangle \end{align}
</math>

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also <math>\dim\left(\operatorname{Hau}(A,2)\right) = 3</math> und <math>\dim\left(\operatorname{Hau}(A,4)\right) = 3</math>.
Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von <math>V=\mathbb{R}^{6}</math>, d. h. <math>V = \operatorname{Hau}(A,2) \oplus \operatorname{Hau}(A,4)</math>.

Die Matrix <math>A</math> besitzt eine Zerlegung <math>A = A_{D}+A_{N}</math>, wobei <math>A_D</math> diagonalisierbar und <math>A_N</math> nilpotent ist: <math>P^{-1}(A_{D}+A_{N})P=J_{D}+J_{N}</math> mit
:<math>J_{D}=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{bmatrix}
\ ,\quad J_{N}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
</math>

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 26|Vorlesung über Haupträume}}

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Hauptraum - Versionsgeschichte

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