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2025-04-29T11:22:49Z

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In der [[Algebra]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], bezeichnet man [[Integritätsring]]e als '''Hauptidealringe''' oder '''Hauptidealbereiche''', wenn jedes [[Ideal (Mathematik)|Ideal]] ein [[Hauptideal]] ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der [[Ganze Zahl|Ring der ganzen Zahlen]] sowie [[Polynomring]]e in einer Unbestimmten über einem [[Körper (Algebra)|Körper]]. Der Begriff des Hauptidealrings erlaubt es, Aussagen über diese beiden Spezialfälle einheitlich zu formulieren. Beispiele für Anwendungen der allgemeinen Theorie sind die [[Jordansche Normalform]], die [[Partialbruchzerlegung]] oder die [[Endlich erzeugte abelsche Gruppe#Klassifikation|Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen]].

== Definition ==

Ein [[Integritätsring]] <math>A</math> (d. h. ein [[nullteiler]]freier [[kommutativer Ring]] mit <math>1\ne0</math>) heißt '''Hauptidealring''', wenn jedes [[Ideal (Mathematik)|Ideal]] <math>I\subseteq A</math> ein [[Hauptideal]] ist, d. h. es gibt ein <math>x\in A</math>, so dass <math>I=A\cdot x=\left\{a\cdot x\mid a\in A\right\}</math>.

Im Folgenden sei <math>A</math> ein Hauptidealring und <math>K</math> sein [[Quotientenkörper]]. Außerdem sei <math>P\subset A</math> eine Menge, die für jedes irreduzible <math>p\in A</math> genau ein zu <math>p</math> [[Assoziierte Elemente|assoziiertes Element]] enthält. Im Fall <math>A=\Z</math> ist die Menge der (positiven) [[Primzahl]]en ein solches <math>P</math>, im Fall <math>A=k[T]</math> für einen Körper <math>k</math> die Menge der irreduziblen Polynome mit Leitkoeffizient 1.

== Beispiele, Folgerungen und Gegenbeispiele ==

Die folgenden Ringe sind Hauptidealringe:
* [[Körper (Algebra)|Körper]]
* <math>\Z</math> (der Ring der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]])
* <math>\Z[i]</math> (der Ring der [[Gaußsche Zahl|ganzen gaußschen Zahlen]])
* [[Polynomring]]e <math>k[T]</math> in einer Unbestimmten über einem Körper <math>k</math>
* [[formale Potenzreihe]]nringe <math>k[[T]]</math> in einer Unbestimmten über einem Körper <math>k</math>
* [[Diskreter Bewertungsring|diskrete Bewertungsringe]]
* [[Euklidischer Ring|euklidische Ringe]] (diese Klasse umfasst zwar alle vorstehenden Beispiele, aber nicht jeder Hauptidealring ist euklidisch)
* [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]]en von Hauptidealringen sind wieder Hauptidealringe.
* Der [[Ganzheitsring]] des Körpers <math>\Q(\sqrt{-3})</math>, d. h. der Ring der [[Eisenstein-Zahl]]en ist ein Hauptidealring. Es gilt sogar die folgende Aussage: Der Ganzheitsring eines quadratischen Zahlkörpers <math>K=\Q(\sqrt{d})</math> mit negativem, quadratfreiem <math>d\in\Z</math> ist genau dann ein Hauptidealring, wenn <math>d \in \lbrace-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 \rbrace</math> (siehe: [[Heegner-Zahl]]). Der Beweis beruht auf der Untersuchung der [[Idealklassengruppe]], welche bei Zahlkörpern als Maß dafür gesehen werden kann, wie weit ein Ring davon entfernt ist, ein Hauptidealring zu sein.

Hauptidealringe gehören zu den folgenden allgemeineren Klassen von Ringen:
* [[Faktorieller Ring|faktorielle Ringe]].<ref>Lang, Theorem II.5.2, S. 112</ref> Insbesondere gelten:
:* Ein Element <math>a\in A\setminus\{0\}</math> ist genau dann [[Primelement|prim]], wenn es [[Irreduzibles Element|irreduzibel]] ist.
:* Jedes Element ungleich null des [[Quotientenkörper]]s von <math>A</math> lässt sich auf eindeutige Weise in der Form
::: <math>u\cdot\prod_{p\in P} p^{e_p}</math>
:: mit ganzen Zahlen <math>e_p</math> und einer [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] <math>u\in A^\times</math> schreiben.
:* Das [[Lemma von Gauß]]: Jedes irreduzible Element in <math>A[X]</math> ist entweder ein irreduzibles Element von <math>A</math> (aufgefasst als konstantes Polynom) oder ein in <math>K[X]</math> [[irreduzibles Polynom]], dessen Koeffizienten teilerfremd sind.<ref>Lang, Theorem IV.2.3, S. 182</ref>
* Hauptidealringe sind trivialerweise noethersche Ringe, da jedes Ideal endlich erzeugt ist (von einem Element).
* Hauptidealringe sind stets [[Dedekind-Ring]]e (siehe auch [[#Hauptidealringe als Dedekind-Ringe|unten]])

Keine Hauptidealringe sind:
* Der Polynomring <math>\Z[X]</math> über den ganzen Zahlen ist kein Hauptidealring, da das von <math>2</math> und <math>X</math> erzeugte Ideal nicht durch ein einzelnes Polynom erzeugt werden kann. Dieser Ring ist aber nach dem erwähnten Lemma von Gauß faktoriell, da er ein Polynomring über einem faktoriellen Ring ist.
* Der Ring <math>k[x,y]</math> ist kein Hauptidealring, da das Ideal <math>(x,y)</math> kein Hauptideal ist.
* Der Ring <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math> ist kein Hauptidealring, da er kein Integritätsring ist. Aber jedes Ideal in diesem Ring ist ein Hauptideal.

== Teilbarkeit ==

* Der (bis auf [[Assoziierte Elemente|Assoziiertheit]] eindeutige) [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]] von Elementen <math>x_1,\dots,x_m</math> ist der (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Erzeuger des Ideals <math>(x_1,\dots,x_m)</math>. Insbesondere gilt das ''[[Lemma von Bézout]]'': Es existieren <math>a_1,\dots,a_m\in A</math> mit
:: <math>\operatorname{ggT}(x_1,\dots,x_m)=a_1 x_1+\dots+a_m x_m.</math>
: Spezialfall: <math>x_1,\dots,x_k</math> sind genau dann teilerfremd, wenn es <math>a_1,\dots,a_m</math> gibt mit
:: <math>1=a_1 x_1+\dots+a_m x_m.</math>
* Das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]] von <math>x_1,\ldots,x_m</math> ist der Erzeuger des Ideals <math>(x_1)\cap\ldots\cap(x_m)</math>.
* [[Chinesischer Restsatz]]: Sind <math>x_1,\dots,x_m</math> paarweise teilerfremd, so ist der kanonische Ringhomomorphismus
:: <math>A/(x_1\cdots x_m)\to\prod_{i=1}^m A/(x_i)</math>
: ein Isomorphismus.<ref>Lang, Corollary II.2.2, S. 95</ref>
* Eine Verschärfung des chinesischen Restsatzes ist der ''Approximationssatz'': Gegeben seien <math>x_1,\dots,x_m\in K</math>, paarweise verschiedene <math>p_1,\dots,p_m\in P</math> sowie Zahlen <math>n_1,\dots,n_m\in\N</math>. Dann gibt es ein <math>x\in K</math>, das <math>x_i</math> bezüglich <math>p_i</math> in <math>n_i</math>-ter Ordnung approximiert und ansonsten regulär ist, d. h.
:: <math>v_{p_i}(x-x_i)\geq n_i</math> für <math>i=1,\dots,m</math>
: und
:: <math>v_p(x)\geq0</math> für <math>p\in P\setminus\{p_1,\dots,p_m\}</math>.
: Dabei bezeichnet <math>v_p(x)\in\Z</math> den Exponenten von <math>p</math> in der Primfaktorzerlegung von <math>x</math>.<ref>Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2.4, Proposition 2</ref>
* Für <math>p\in A\setminus\{0\}</math> sind äquivalent:
** <math>p</math> ist irreduzibel
** <math>p</math> ist ein Primelement
** <math>(p)</math> ist ein [[Primideal]]
** <math>(p)</math> ist ein [[maximales Ideal]]
: Das [[Nullideal]] ist ebenfalls ein Primideal, jedoch nur dann maximal, wenn <math>A</math> ein Körper ist.

== Hauptidealringe als Dedekind-Ringe ==
{{Hauptartikel|Dedekindring}}

Viele in [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischer Zahlentheorie]] und [[Algebraische Geometrie|algebraischer Geometrie]] natürlich auftretende Ringe sind keine Hauptidealringe, sondern gehören einer etwas allgemeineren Klasse von Ringen an, den Dedekind-Ringen. Sie sind die lokalisierte Version der Hauptidealringe, Ideale sind nicht mehr global, sondern nur noch lokal von einem Element erzeugt:
: Ist <math>A</math> ein [[Noetherscher Ring|noetherscher]] Integritätsbereich, für den der [[Lokaler Ring|lokale Ring]] <math>A_\mathfrak{p}</math> für jedes Primideal <math>\mathfrak{p}</math> ein Hauptidealring ist, so heißt <math>A</math> ''Dedekind-Ring''.<ref>Bourbaki, Commutative Algebra, Ch. VII, §2</ref>

Die folgenden Eigenschaften gelten für Hauptidealringe, aber auch allgemeiner für Dedekind-Ringe:
* Sie sind entweder [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[Dimension (kommutative Algebra)|eindimensional]], d. h. jedes [[Primideal]] ungleich <math>(0)</math> ist [[Maximales Ideal|maximal]].
* Sie sind [[Normalität (kommutative Algebra)|ganzabgeschlossen]] in ihrem Quotientenkörper.
* Sie sind [[Regulärer Ring|regulär]].
* Ihre [[Lokaler Ring|lokalen Ringe]] sind entweder Körper oder [[Diskreter Bewertungsring|diskrete Bewertungsringe]].
* der oben genannte Approximationssatz

Ist ein Dedekind-Ring [[Faktorieller Ring|faktoriell]] oder [[Semilokaler Ring|semilokal]], so ist er ein Hauptidealring.<ref>Stefan Müller-Stach, Jens Piontkowski: ''Elementare und algebraische Zahlentheorie''. Vieweg-Verlag, 2006, S. 188. (Satz 18.16)</ref>

== Moduln über Hauptidealringen ==

=== Allgemeines ===

* [[Untermodul]]n [[Freier Modul|freier]] [[Modul (Mathematik)|Moduln]] sind frei.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 2; Lang, Theorem III.7.1</ref>
* Ist <math>M</math> ein [[endlich erzeugt]]er Modul mit [[Torsion (Algebra)|Torsionsuntermodul]] <math>T</math>, so gibt es einen freien Untermodul <math>F\subseteq M</math>, so dass <math>M=F\oplus T</math>. Torsionsfreie, endlich erzeugte Moduln sind frei.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Corollary 1 und 2; Lang, Theorem III.7.3</ref>
* [[Projektiver Modul|Projektive Moduln]] sind frei.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 3, Corollary 3</ref>
* Ein Modul ist [[Injektiver Modul|injektiv]] genau dann, wenn er [[dividierbar]] ist. Quotienten injektiver Moduln sind injektiv, jeder Modul hat eine injektive Auflösung der Länge 1. Eine explizite injektive Auflösung von <math>A</math> ist<ref>Bourbaki, Algèbre, Ch. X, § 1, No. 7, Corollaire 2</ref>
:: <math>0\to A\to K\to K/A\to 0.</math>

=== Endlich erzeugte Moduln: Elementarteilersatz ===

Der Elementarteilersatz beschreibt die Struktur einer Zerlegung eines endlich erzeugten Moduls in unzerlegbare Moduln. (Ein Modul <math>M</math> heißt unzerlegbar, wenn es keine Moduln <math>M_1,M_2\ne0</math> gibt mit <math>M\cong M_1\oplus M_2</math>.)

Es sei <math>P</math> wie oben ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente (bis auf Assoziiertheit). Zu jedem endlich erzeugten Modul <math>M</math> gibt es eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahlen <math>m_0</math> und <math>m_{p,i}</math> für <math>p\in P,i\in\N_{\geq1}</math>, von denen fast alle null sind, so dass
: <math>M\cong A^{m_0}\oplus\bigoplus_{p\in P}\bigoplus_{i\geq1} (A/(p^i))^{m_{p,i}}.</math>
Die Zahlen <math>m_0,m_{p,i}</math> sind durch <math>M</math> eindeutig festgelegt, und die einzelnen Faktoren <math>A</math> bzw. <math>A/(p^k)</math> sind unzerlegbar. Die Ideale <math>(p^i)</math>, für die <math>m_{p,i}\ne0</math> gilt, heißen ''Elementarteiler'' von <math>M</math>.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 8, Proposition 9; Lang, Theorem III.7.5</ref>

=== Endlich erzeugte Moduln: Invariante Faktoren ===

Zu jedem endlich erzeugten Modul <math>M</math> gibt es eine endliche Folge <math>x_1,x_2,\dots,x_m</math> von Elementen von <math>A</math>, die nicht notwendigerweise von null verschieden sind, so dass
* <math>x_i\mid x_{i+1}</math> für <math>i=1,2,\dots,m-1</math>
* <math>M\cong\bigoplus_{i=1}^m A/(x_i).</math>
Die Ideale <math>(x_i)</math> sind durch <math>M</math> eindeutig bestimmt und heißen die ''invarianten Faktoren'' von <math>M</math>. Die Elemente <math>x_i</math> sind folglich bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 4, Theorem 2; Lang, Theorem III.7.7</ref>

Zu dieser Aussage über Moduln gibt es zwei konkurrierende Sichtweisen:
* Zu einem Modul <math>M</math> kann man Erzeuger <math>w_1,\dots,w_m</math> wählen und den Kern <math>U\subseteq A^m</math> des zugehörigen Homomorphismus <math>A^m\to M</math> betrachten.
* Zu einem Untermodul <math>U\subseteq A^m</math> kann man Erzeuger <math>u_1,\dots,u_n</math> wählen und die <math>m\times n</math>-Matrix <math>X</math> mit Einträgen in <math>A</math> betrachten, die den Homomorphismus <math>A^n\to A^m</math> mit Bild <math>U</math> beschreibt.
Umgekehrt ist das Bild einer <math>m\times n</math>-Matrix mit Einträgen in <math>A</math> ein Untermodul <math>U\subseteq A^m</math>, und der [[Quotientenmodul]] <math>M=A^m/U</math> (der [[Kokern]] des durch <math>X</math> gegebenen Homomorphismus <math>A^n\to A^m</math>) ist ein endlich erzeugter <math>A</math>-Modul.

Für Untermoduln freier Moduln lautet die Aussage:
* Ist <math>F</math> ein freier <math>A</math>-Modul und <math>U</math> ein (ebenfalls freier) Untermodul von <math>F</math> vom Rang <math>r</math>, so gibt es <math>n</math> Elemente <math>e_1,\dots,e_r\in F</math>, die Teil einer Basis von <math>F</math> sind, sowie Elemente <math>x_1,\dots,x_r\in A</math> mit <math>x_1\mid x_2\mid\dots\mid x_r</math>, so dass <math>x_1 e_1,\dots,x_r e_r</math> eine Basis von <math>U</math> ist. Der von den <math>e_k</math> aufgespannte Teil <math>F'\subseteq F</math> lässt sich invariant als das Urbild des Torsionsuntermoduls von <math>F/U</math> beschreiben. Die Ideale <math>(x_k)</math> sind die Invarianten (wie oben) des Moduls <math>F'/U</math>, evtl. ergänzt um <math>x_{k+1}=\dots=x_m=0</math>.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 3, Theorem 1; Lang, Theorem III.7.8</ref>

Für Matrizen ([[Smith-Normalform]]):
* Ist <math>X</math> eine <math>m\times n</math>-Matrix von Rang <math>r</math> mit Einträgen in <math>A</math>, so gibt es invertierbare Matrizen <math>P\in\operatorname{GL}(m,A),Q\in\operatorname{GL}(n,A)</math>, so dass <math>PXQ</math> folgende Gestalt hat:
:: <math>\begin{pmatrix}x_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & x_2 & \ddots & \vdots & \vdots && \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots && \vdots \\
0 &\cdots & 0 & x_r & 0 & \cdots & 0 \\
0 &\cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots &&& \vdots & \vdots && \vdots \\
0 &\cdots & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}</math>
: Dabei sind <math>x_1\mid x_2\mid\dots\mid x_r</math> wieder die Invarianten wie oben.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 4, No. 6, Corollary 1; Lang, Theorem III.7.9</ref>

=== Torsionsmoduln ===

Es sei <math>M</math> ein (nicht notwendigerweise endlich erzeugter) [[Torsion (Algebra)|Torsionsmodul]] über <math>A</math>, d. h. für jedes <math>m\in M</math> existiert ein <math>a\in A\setminus\{0\}</math> mit <math>am=0</math>. Wieder sei <math>P\subset A</math> ein Vertretersystem der irreduziblen Elemente. Dann gilt:<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Theorem 1</ref> <math>M</math> ist die [[direkte Summe]] der <math>p</math>-primären Untermoduln <math>M_{(p)}</math>, d. h.
: <math>M=\bigoplus_{p\in P}M_{(p)}</math>
mit
: <math>M_{(p)}=\left\{m\in M\mid p^i m=0\ \text{für ein} \ i\in\N\right\}.</math>
Als [[Korollar]] ergibt sich, dass <math>M</math> genau dann [[halbeinfach]] ist, wenn <math>p\cdot M_{(p)}=0</math> für alle <math>p\in P</math>.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 2, Corollary 4</ref>

Anwendungsbeispiele:
* Ist <math>A=\Z</math> und <math>M=K/A=\Q/\Z</math>, so lautet die Aussage: Jede rationale Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung
:: <math>a+\sum_{p\ \text{prim}}\sum_{i=1}^{o_p}d_{p,i} p^{-i}</math>
: mit <math>a\in\Z</math>, <math>o_p\geq0</math> (und fast alle <math>o_p=0</math>) sowie <math>d_{p,i}\in\{0,1,\dots,p-1\}</math> und <math>d_{p,o_p}\ne0</math>.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, I</ref>
* Ist <math>A=k[T]</math> (<math>k</math> ein Körper) und <math>M=K/A=k(T)/k[T]</math>, so entspricht <math>M_{(p)}</math> den rationalen Funktionen, deren Nenner eine Potenz von <math>p</math> ist. Der Satz liefert also den ersten Schritt der [[Partialbruchzerlegung]], d. h. der eindeutigen Darstellung einer rationalen Funktion als
:: <math>a+\sum_p\sum_{i=1}^{o_p} d_{p,i} p^{-i}.</math>
: Dabei durchläuft <math>p</math> die irreduziblen normierten Polynome in <math>k[T]</math>, die weiteren Komponenten sind der reguläre Anteil <math>a\in k[T]</math>, die Ordnungen <math>o_p\geq0</math> (fast alle <math>o_p=0</math>) und geeignete Polynome <math>d_{p,i}</math> für <math>i=1,2,\dots,o_p</math> mit <math>\deg(d_{p,i})<\deg(p)</math>. Ist insbesondere <math>p</math> linear, so sind die <math>d_{p,i}</math> Konstanten.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 2, No. 3, II</ref>
* Ist <math>A=k[T]</math> und <math>M</math> ein endlichdimensionaler <math>k</math>-Vektorraum zusammen mit einem Endomorphismus <math>f</math> (mit der <math>A</math>-Modulstruktur <math>Tv=f(v)</math>), so ist die obige Zerlegung die Aufspaltung in die [[Hauptraum|Haupträume]]. Das Korollar besagt in diesem Fall, dass <math>f</math> genau dann halbeinfach ist, wenn das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] von <math>f</math> keine mehrfachen Faktoren enthält.<ref>Bourbaki, Algebra, Ch. VII, § 5, No. 8, Proposition 14</ref>

== Verallgemeinerung auf nicht-kommutative Ringe ==

Die Definitionen lassen sich auf [[Ringtheorie#nicht-kommutativer Ring|nicht-kommutative]] Ringe verallgemeinern. Ein Rechts-Hauptideal <math>I</math> ist Rechts-Vielfaches <math>gA</math> eines einzelnen Elements <math>g \in A</math>; <math>Ag</math> ist ein Links-Hauptideal. Wie im kommutativen Fall sind <math>\{0\} = 0A = A0</math> und <math>A=1A = A1</math> die trivialen (und zweiseitigen) Hauptideale.

Die [[Hurwitzquaternion]]en sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner [[Quaternion#Norm und Betrag|Norm]] als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch und damit sowohl rechts- wie linksseitig ein Hauptidealring ist.

== Verwandte Begriffe ==

* Wird nur gefordert, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist, gelangt man zum Begriff des [[Noetherscher Ring|noetherschen Rings]].
* Umgekehrt kann man an einen Integritätsbereich die Bedingung stellen, dass alle endlich erzeugten Ideale Hauptideale sind: Dies sind die sogenannten [[Bézout-Ring]]e. Hauptidealringe sind also genau die noetherschen Bézoutringe.
* Manchmal werden auch nicht nullteilerfreie Ringe in der Definition des Begriffes „Hauptidealring“ erlaubt, es wird also nur gefordert, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist und <math>1\ne0</math>.<ref>Lang, II, §1, S. 86</ref> Im Englischen wird hierzu sprachlich zwischen ''principal ideal ring'' und ''principal ideal domain'' (''domain'' = Integritätsbereich) unterschieden. Die entsprechende Unterscheidung der Begriffe Hauptideal''ring'' und Hauptideal''bereich'' ist im Deutschen jedoch unüblich.<ref name="books-EsluBAAAQBAJ-34">Rainer Schulze-Pillot: ''Einführung in Algebra und Zahlentheorie.'' Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-642-55216-8, S. 34 ({{Google Buch |BuchID=EsluBAAAQBAJ |Seite=34}}).</ref>

== Literatur ==

* [[Serge Lang]]: ''Algebra.'' Revised 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X (''Graduate Texts in Mathematics'' 211).
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Algebra II. Chapters 4–7.'' Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-19375-8 (''Elements of Mathematics'').
* Nicolas Bourbaki: ''Eléments de mathématique. Algèbre Commutative.'' Band 10: ''Chapitre 10.'' Réimpression de l’édition de 1998. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-34394-3.
* Nicolas Bourbaki: ''Commutative Algebra. Chapters 1–7.'' 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-19371-5 (''Elements of Mathematics'').
* [[Stefan Müller-Stach]], Jens Piontkowski: ''Elementare und algebraische Zahlentheorie. Ein moderner Zugang zu klassischen Themen.'' Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0211-5 (''Vieweg Studium'').

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Hauptidealring - Versionsgeschichte

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