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2023-10-28T10:48:43Z

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Das '''Hauptideal''' ist ein Begriff aus der [[Ringtheorie]], einem Teilgebiet der [[Algebra]]. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

== Definition ==
Ein '''Hauptideal''' eines [[Ring (Algebra)|Ringes]] <math>R</math> ist ein von einem einzigen Element <math>a\in R</math> erzeugtes [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]].
:<math>(a) := \left(\left\{a\right\}\right).</math>

== Eigenschaften ==
Mit den [[Komplexprodukt]]en
:<math>Ra := \{ra \mid r\in R\},</math>
:<math>aR := \{ar \mid r\in R\}</math>
und
:<math>RaR := \{ras \mid r,s\in R\}</math>
gilt jeweils für das von <math>a\in R</math> erzeugte
* ''Haupt-Linksideal'':
*:<math>(a) = \{a_1+\ldots+a_n\;|\;n\in\mathbb{N}\mbox{ und }a_1,\ldots,a_n\in \{\pm a\} \cup Ra\},</math>
* ''Haupt-Rechtsideal'':
*:<math>(a) = \{a_1+\ldots+a_n\;|\;n\in\mathbb{N}\mbox{ und }a_1,\ldots,a_n\in\{\pm a\}\cup aR\},</math>
* ''(zweiseitige) Hauptideal'':
*:<math>(a) = \{a_1 + \dotsb + a_n \mid n \in \mathbb N\mbox{ und } a_i\in \{\pm a\}\cup Ra\cup aR\cup RaR\}.</math>
Falls der Ring <math>R</math> ein Einselement 1 besitzt, folgt für das
* ''Haupt-Linksideal'':
*:<math>\left(a\right) = Ra,</math>
* ''Haupt-Rechtsideal'':
*:<math>\left(a\right) = aR,</math>
* ''(zweiseitige) Hauptideal'':
*:<math>(a) = \{a_1 + \dotsb + a_n \mid n \in \mathbb N\mbox{ und } a_i\in RaR\}.</math>

=== Bemerkungen ===
* Es ist durchaus geläufig, mit <math>RaR</math> das von <math>a</math> erzeugte Hauptideal zu bezeichnen<ref>Principal ideal. Encyclopedia of Mathematics. URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Principal_ideal&oldid=35049, abgerufen am 12. April 2018.</ref><ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory.'' Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (''Pure and Applied Mathematics'' 127), Seite 21</ref> (und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt).
* In [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
* Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein. Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring <math>K[X, Y]</math> aller [[Polynom]]e in zwei Unbestimmten über einem Körper <math>K</math>. Das von den beiden Polynomen <math>X</math> und <math>Y</math> erzeugte Ideal <math>(X, Y)</math> besteht aus allen Polynomen aus <math>K[X, Y]</math>, deren Absolutglied gleich <math>0</math> ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom <math>P</math> ein Erzeuger von <math>(X, Y)</math>, dann müsste <math>P</math> ein Teiler sowohl von <math>X</math> als auch von <math>Y</math> sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich <math>0</math> zutrifft. Diese sind aber in <math>(X, Y)</math> nicht enthalten.

== Verwandter Begriff ==
Ein [[Integritätsring]], in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt [[Hauptidealring]].

== Literatur ==

* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra'', 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]].
* Jens Carsten Jantzen, [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra''. Springer 2005, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]].
* Bernhard Hornfeck: ''Algebra''. 3. Auflage. De Gruyter 1976, ISBN 3-11-006784-6
* {{Literatur
|Autor=[[Gisbert Wüstholz]]
|Titel=Algebra
|Verlag=Vieweg
|Datum=2004
|ISBN=3-528-07291-1
|DOI=10.1007/978-3-322-85035-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Hauptideal - Versionsgeschichte

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