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2026-04-16T19:45:32Z

Bot: Auflösung doppelter toter Links nach https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Bots/Anfragen&oldid=266185123#Aufl%C3%B6sung_der_doppelten_Toten_Links

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Die '''Hauptachsentransformation''' ''(HAT)'' ist in der euklidischen Geometrie ein Verfahren, mit dem man die Gleichungen von [[Quadrik]]en ([[Ellipse]], [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], …; [[Ellipsoid]], [[Hyperboloid]], …) durch eine geeignete [[Koordinatentransformation]] auf die jeweilige [[Quadrik#Normalformen|Normalform]] bringt und damit ihren Typ und ihre geometrischen Eigenschaften (Mittelpunkt, Scheitel, Halbachsen) bestimmen kann. Damit Längen und Winkel bei der Transformation nicht verändert werden, muss man ''orthogonale'' Koordinatentransformationen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen) verwenden (s. u.). Das wesentliche Hilfsmittel dieses Verfahrens ist die [[Diagonalisierbare Matrix|Diagonalisierung]] einer symmetrischen Matrix mit Hilfe einer orthogonalen Matrix.
[[Datei:HAT-ellipse0.svg|mini|Hauptachsentransformation einer Ellipse mit Hilfe einer Drehung des Koordinatensystems]]

Neben der rein mathematisch-geometrischen Bedeutung der Hauptachsentransformation zur Bestimmung des Typs von Quadriken wird sie in zahlreichen Disziplinen der theoretischen Physik sowie in der Informatik und den Geowissenschaften eingesetzt (s. Abschnitt ''Anwendung'').

== Einfache Beispiele und Motivation des Verfahrens ==
=== Beispiel 1 ===
Dass die Gleichung
:<math>x^2+y^2-4x+2y-4=0</math>
den ''Kreis'' mit Mittelpunkt <math>(2,-1)</math> und Radius <math>3</math> beschreibt, erkennt man, indem man die Gleichung durch [[quadratische Ergänzung]] auf die Form <math>(x-2)^2+(y+1)^2=9</math> bringt.
[[Datei:HAT-ellipse1.svg|250px|mini|Ellipse mit achsenparallelen Hauptachsen]]

=== Beispiel 2 ===
Auch die Gleichung
:<math>4x^2+9y^2-8x+36y+4=0</math>
lässt sich durch quadratische Ergänzung auf die Form
<math>\tfrac{(x-1)^2}{9}+\tfrac{(y+2)^2}{4}=1</math>
bringen und man erkennt, dass es sich um eine ''Ellipse'' mit Mittelpunkt <math>(1,-2)</math> und den Halbachsen <math>a=3, b=2</math> handelt.

=== Beispiel 3 ===
Deutlich schwieriger ist es, der Gleichung
:<math>5x^2-2\sqrt{3}{\color{red}xy}+7y^2-16=0</math>
anzusehen, dass es sich um eine Ellipse mit den Halbachsen <math>a=\sqrt{2}, b=2</math> handelt. Das Problem rührt von dem „gemischten“ Term <math>\dots\color{red}xy</math> her. Er ist ein Zeichen dafür, dass die zueinander senkrechten Hauptachsen in diesem Fall nicht parallel zu den Koordinatenachsen sind. Dies lässt sich durch Anwendung einer geeigneten Drehung des Koordinatensystems (um den Nullpunkt) ändern. Der Drehwinkel ergibt sich aus den Koeffizienten bei <math>x^2,y^2,xy</math> (s. [[Kegelschnitt#Allgemeine Kegelschnittgleichung|Kegelschnitte]]). Dieses anschauliche Verfahren wird aber bei der Untersuchung von Quadriken im euklidischen Raum sehr unübersichtlich. Die [[Lineare Algebra]] stellt ein Verfahren zur Verfügung, das in jeder Dimension anwendbar ist: die ''Diagonalisierung symmetrischer Matrizen.'' Hierzu schreibt man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer ''symmetrischen'' Matrix: Auf der Diagonalen der Matrix stehen die Koeffizienten von <math>x^2,y^2</math>, auf der ''Nebendiagonale'' jeweils die Hälfte des Koeffizienten von <math>\color{red}xy</math>.
:<math>5x^2-2\sqrt{3}{\color{red}xy}+7y^2-16=
\begin{pmatrix}
x&y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5&{\color{red}-\sqrt{3}}\\ {\color{red}-\sqrt{3}}&7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} - 16
=\vec x^\mathsf{T}A\vec x -16=0
</math>
Nun diagonalisiert man die Matrix <math>A</math> durch Anwendung einer ''orthogonalen'' Koordinatentransformation (Drehung oder Drehspiegelung im <math>\R^2</math>). Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation werden Längen nicht verändert, sodass man nach der Transformation und einer eventuell nötigen quadratischen Ergänzung (s. oben) die Längen der Halbachsen und Lagen von Mittelpunkt und Scheitel ablesen kann.

=== Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix (Hauptachsentheorem) ===
Zu einer symmetrischen <math>\left(n \times n\right)</math>-Matrix <math>A</math> gibt es immer eine [[orthogonale Matrix]] <math>S</math>, sodass
:<math>D_A = S^\mathsf{T}AS</math>
eine Diagonalmatrix ist. Die Hauptdiagonale der Diagonalmatrix <math>D_A</math> besteht aus den Eigenwerten <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> der Matrix <math>A</math>. Eine symmetrische <math>\left(n \times n\right)</math>-Matrix besitzt immer <math>n</math> reelle Eigenwerte unter Beachtung der jeweiligen Vielfachheit. Für die Matrix <math>S</math> wählt man als Spaltenvektoren <math>n</math> orthonormierte Eigenvektoren <math>\vec e_1,\ldots,\vec e_n</math> der Matrix. (Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal. Falls ein Eigenraum eine Dimension größer als 1 hat, muss man beispielsweise mit Hilfe des [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens]] eine [[Orthonormalbasis]] des Eigenraums bestimmen.) Die Determinante von <math>S</math> ist <math>\pm 1</math>. Damit im ebenen Fall <math>S</math> eine ''Drehmatrix'' ist, muss man die Orientierungen der benutzten Eigenvektoren so wählen, dass <math>\det S =1</math> ist.

Interpretiert man die Matrix <math>A</math> als [[lineare Abbildung]] im <math>\R^n</math>, so kann man die Matrix <math>S</math> als eine Transformation auf die neue Basis <math>\vec e_1,\ldots,\vec e_n</math> auffassen. Zwischen den alten und neuen Koordinaten besteht die Beziehung <math>\vec x=S\vec \xi</math>. Die Wirkung der Matrix <math>A</math> im neuen Koordinatensystem übernimmt die Diagonalmatrix <math>D_A</math>. Eine wichtige Eigenschaft der (orthogonalen!) Matrix <math>S</math> ist <math>S^{-1}=S^\mathsf{T}</math>. Damit lassen sich auch leicht alte Koordinaten in neue umrechnen: <math>\vec \xi =S^{-1}\vec x=S^\mathsf{T}\vec x</math>.

Die Gleichung einer Quadrik
:<math>\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + 2\,\sum_{i=1}^n b_i x_i + c = 0</math>
hat einen quadratischen Anteil <math>\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j</math>, der durch eine ([[o.B.d.A.]] symmetrische) Matrix <math>\left(a_{ij}\right)</math> beschrieben werden kann. Mit dem Hauptachsentheorem wird dieser quadratische Anteil in die „Diagonalgestalt“ <math>\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i^2</math> transformiert. Es kommen danach also keine gemischten Terme <math>\xi_i\xi_j</math> mit <math>i\not= j</math> mehr vor.

== Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts ==
=== Beschreibung der Methode ===
Ein Kegelschnitt im <math>\R^2</math> genügt einer Gleichung
:<math>{\color{blue}a} x^2 + {\color{red} b}x y + {\color{blue}c} y^2 + dx + e y + f = 0</math>.
Diese Gleichung lässt sich in Matrizenform so schreiben:
:<math>\begin{pmatrix}x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b/2\\b/2 & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+dx+ey+f=0.</math>
; 1. Schritt: Setze <math>A=\begin{pmatrix}{\color{blue}a} & {\color{red}b}/2\\{\color{red}b}/2 & {\color{blue}c}\end{pmatrix} </math>.
; 2. Schritt: Bestimme die Eigenwerte der Matrix <math>A</math> als Lösungen der Eigenwertgleichung
:<math>\det\left(A - \lambda E\right) = 0</math>. Die Eigenwerte seien <math>\lambda_1,\lambda_2</math>.
; 3. Schritt: Bestimme normierte Eigenvektoren aus den 2 Gleichungssystemen:
:<math>\left(A - \lambda_1 E\right) \cdot \vec x = 0\quad \rightarrow \quad \vec e_1</math>
:<math>\left(A - \lambda_2 E\right) \cdot \vec x = 0 \quad \rightarrow \quad \vec e_2</math>
; 4. Schritt: Setze <math>S=(\vec e_1 \; \vec e_2)</math> und ersetze <math>x,y</math> durch <math>\xi,\eta</math> mit Hilfe von <math>\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix}</math>.
; 5. Schritt: Es ergibt sich die Gleichung des Kegelschnitts in den neuen Koordinaten:
:<math> \lambda_1 \xi^2 +\lambda_2 \eta ^2 +\varepsilon \xi + \delta \eta + \omega =0</math>
: Da der quadratische Teil in dieser Gleichung durch die Eigenwerte als Koeffizienten und das Verschwinden des gemischten Teils festliegt, müssen nur im linearen Teil <math>dx+ey</math> die alten Koordinaten x und y ersetzt werden.
; 6. Schritt: Durch quadratische Ergänzung erhält man die Mittelpunkts- bzw. Scheitelform des Kegelschnitts und kann Mittelpunkt (bei Ellipse, Hyperbel, …) bzw. Scheitel (bei Parabel) und eventuell Halbachsen ablesen.
; 7. Schritt: Mit Hilfe der Beziehung <math>\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix}</math> lassen sich schließlich die <math>{\color{red}x}</math>-<math>{\color{red}y}</math>-Koordinaten von Mittelpunkt und Scheitel berechnen.

=== Beispiel 3 (Fortsetzung) ===
[[Datei:HAT-ellipse2.svg|250px|mini|Hauptachsentransformation: Ellipse mit NICHT achsenparallelen Hauptachsen]]
:<math>5x^2-2\sqrt{3}{\color{red}xy}+7y^2-16=0</math>
; 1. Schritt:
:<math>A=\begin{pmatrix} 5&{\color{red}-\sqrt{3}}\\ {\color{red}-\sqrt{3}}&7\end{pmatrix}</math>
; 2. Schritt: <math>\det\left(A - \lambda E\right) = \begin{vmatrix} 5-\lambda & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 7-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2 -12 \lambda +32=(\lambda-8)(\lambda-4)=0</math>
:<math>\lambda_1 = 8, \ \lambda_2=4</math>
; 3. Schritt:
: Ein normierter Eigenvektor zu <math>\lambda_1=8</math> ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem
:<math>\begin{matrix} -3x-\sqrt{3}y&=&0\\ -\sqrt{3}x-y&=&0 \end{matrix}</math> zu <math> \vec e_1=\begin{pmatrix}1/2\\-\sqrt{3}/2 \end{pmatrix}</math>.
: Ein normierter Eigenvektor zu <math>\lambda_2=4</math> ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem
:<math>\begin{matrix} x-\sqrt{3}y&=&0\\ -\sqrt{3}x+3y&=&0 \end{matrix}</math> zu <math>\vec e_2=\begin{pmatrix}\sqrt{3}/2\\ 1/2 \end{pmatrix}</math>.
; 4. Schritt:
:<math>S=\begin{pmatrix}1/2&\sqrt{3}/2\\-\sqrt{3}/2& 1/2 \end{pmatrix}</math> und aus <math>\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix}</math> ergibt sich: <math>\begin{matrix}x&=&\tfrac{1}{2}\; \xi +\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\;\eta\\ y&=&-\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\;\xi + \tfrac{1}{2}\;\eta \end{matrix}</math>
: Wegen <math>\det S=1</math> ist die Transformation eine Drehung und zwar um den Winkel <math>\varphi=-60^\circ</math>. Letzteres folgt aus <math>\cos\varphi=1/2, \ \sin\varphi=-\sqrt{3}/2</math> (s. [[Drehmatrix]]).
; 5. Schritt:
:<math>8\xi^2 + 4\eta^2 =16 \quad \rightarrow \quad \frac{\xi^2}{2}+ \frac{\eta^2}{4} =1</math>
; 6. Schritt: Da in der letzten Gleichung weder <math>\xi</math> noch <math>\eta</math> linear vorkommen, ist keine quadratische Ergänzung nötig.
: Ergebnis: Der Kegelschnitt ist eine ''Ellipse'' mit Mittelpunkt im Nullpunkt und den Halbachsen <math>a=\sqrt{2}, b=2</math>. Die Scheitel sind in <math>\xi</math>-<math>\eta</math>-Koordinaten: <math>(\pm\sqrt{2},0)_{\xi\eta},\ (0,\pm 2)_{\xi\eta}</math>
; 7. Schritt:
: Die <math>x</math>-<math>y</math>-Koordinaten der Scheitel sind (s. 4. Schritt):
:<math>(\tfrac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{\tfrac{3}{2}}),\ (-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\tfrac{3}{2}}),\ (\sqrt{3},1),\ (-\sqrt{3},-1) </math>

''Bemerkung:'' Das neue Koordinatensystem und die Matrix S sind nicht eindeutig bestimmt. Beide hängen von der Reihenfolge der Eigenwerte und der Orientierung der gewählten Eigenvektoren ab. Die Lage des Kegelschnitts (Mittelpunkt, Scheitel) im x-y-Koordinatensystem ist aber durch die gegebene Kegelschnittgleichung eindeutig bestimmt.

=== Beispiel 4: Hyperbel ===
[[Datei:HAT-hyperbel.svg|300px|mini|Hauptachsentransformation einer Hyperbel]]
Der Kegelschnitt hat die Gleichung:
:<math>3x^2 - 6xy - 5y^2 + \frac{48}{\sqrt{10}}x + \frac{64}{\sqrt{10}}y - 19 = 0</math>

; 1. Schritt:
:<math>A=\begin{pmatrix} 3&{\color{red}-3}\\ {\color{red}-3}&-5 \end{pmatrix}</math>
; 2. Schritt: <math>\det\left(A - \lambda E\right) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -3 \\ -3 & -5-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2 +2 \lambda -24=0</math>
:<math>\rightarrow \quad \lambda_1 = -6, \ \lambda_2=4</math>
; 3. Schritt:
:<math>\vec e_1=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\ 3 \end{pmatrix}, \quad\vec e_2=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}-3\\ 1 \end{pmatrix}</math>
; 4. Schritt:
:<math> S=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{10}} & \tfrac{-3}{\sqrt{10}}\\
\tfrac{3}{\sqrt{10}} & \tfrac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{matrix}x&=&\tfrac{1}{\sqrt{10}}\; \xi +\tfrac{-3}{\sqrt{10}}\;\eta\\
y&=& \tfrac{3}{\sqrt{10}}\; \xi +\tfrac{1}{\sqrt{10}}\;\eta \end{matrix}</math>
; 5. Schritt:
:<math>-6\xi^2+4\eta^2+24\xi-8\eta-19=0</math>
; 6. Schritt:
:<math>6(\xi-2)^2-4(\eta-1)^2=1</math>
: Der Kegelschnitt ist eine ''Hyperbel'' mit dem Mittelpunkt <math>(2,1)_{\xi\eta}</math> und den Halbachsen <math>a=\tfrac{1}{\sqrt{6}},\ b=\tfrac{1}{2}</math>.
; 7. Schritt:
Die x-y-Koordinaten des Mittelpunktes sind <math>(\tfrac{-1}{\sqrt{10}},\tfrac{7}{\sqrt{10}})</math> (s. 4. Schritt).

=== Beispiel 5: Parabel ===
[[Datei:HAT-parabel.svg|250px|mini|Hauptachsentransformation einer Parabel]]
Der Kegelschnitt hat die Gleichung:
:<math>x^2-2\sqrt{3}xy+3y^2-4\sqrt{3}x-4y+24=0</math>
Es ist
:<math>A=\begin{pmatrix} 1&-\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}&3 \end{pmatrix}</math>.
Die zugehörigen Eigenwerte sind <math>\lambda_1={\color{red}0},\ \lambda_2=4</math> und die Transformationsmatrix ist <math>S=\begin{pmatrix}\sqrt{3}/2&-1/2\\1/2&\sqrt{3}/2\end{pmatrix}</math>. In <math>\xi</math>-<math>\eta</math>-Koordinaten genügt der Kegelschnitt der Gleichung:
:<math>4\eta^2-8\xi+24=0 \quad \rightarrow \quad \xi=\tfrac{1}{2}\eta^2+3</math>
Also ist der Kegelschnitt eine ''Parabel'' mit dem Scheitel <math>(3,0)_{\xi\eta}</math> bzw. in x-y-Koordinaten <math>(\tfrac{3}{2}\sqrt{3},\tfrac{3}{2})</math>. Die Matrix <math>S</math> beschreibt eine Drehung um den Winkel <math>30^\circ</math>.

== Hauptachsentransformation von Flächen ==
Die Hauptachsentransformation für Quadriken im Raum läuft nach der gleichen Methode ab wie im ebenen Fall für Kegelschnitte. Allerdings sind die Rechnungen deutlich umfangreicher.

=== Beispiel: Hyperboloid ===
Mit Hilfe der Hauptachsentransformation soll festgestellt werden, welche Fläche durch die folgende Gleichung beschrieben wird:
:<math>-x^2+3y^2-z^2+6xz=1</math>
; 1. Schritt:
:<math>A=\begin{pmatrix} -1&0&3\\0&3&0\\3&0&-1 \end{pmatrix}</math>
; 2. Schritt:
:<math>\det\left(A - \lambda E\right)
= \begin{vmatrix} -1-\lambda &0& 3 \\
0& 3-\lambda & 0\\
3&0&-1-\lambda\end{vmatrix}= (3-\lambda)(\lambda^2 +2 \lambda -8)=0</math>
: Die Eigenwerte sind: <math>\lambda_1=3, \ \lambda_2=2, \ \lambda_3=-4</math>
; 3. Schritt:
Bestimmung der Eigenvektoren:
: zu <math>\lambda_1=3 \ : \qquad \begin{matrix}-4x& & 3z&=&0\\&&0&=&0\\3x&&-4z&=&0\end{matrix} \quad \rightarrow \quad
\vec e_1=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>
: zu <math>\lambda_2=2 \ :\quad \rightarrow \quad
\vec e_2=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>
: und zu <math>\lambda_3=-4 \ :\quad \rightarrow \quad
\vec e_3=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}</math>
[[Datei:HAT-hyperboloid123.svg|350px|mini|Hauptachsentransformation: einschaliges Hyperboloid in <math>\xi</math>-<math>\eta</math>-<math>\zeta</math>-Koordinaten mit 2 Scheiteln und einem Nebenscheitel]]
; 4. Schritt:
:<math>S=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}&\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\
1&0&0\\ 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}&-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{matrix} x&=& \tfrac{1}{\sqrt{2}}\eta +\tfrac{1}{\sqrt{2}}\zeta\\
y&=&\xi\\
z&=& \tfrac{1}{\sqrt{2}}\eta -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\zeta\end{matrix}</math>
; 5. Schritt:
:<math>3\xi^2+2\eta^2-4\zeta^2=1</math>
; 6. Schritt:
Die Quadrik ist ein einschaliges [[Hyperboloid]] (s. Liste der [[Quadrik]]en) mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt, den Halbachsen <math>a= \tfrac{1}{\sqrt{3}}, \ b=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \ c=\tfrac{1}{2}</math>, den Scheiteln <math>(\pm a,0,0), (0,\pm b,0)</math> und den Nebenscheiteln <math>(0,0,\pm c)</math>.
; 7. Schritt:
Mit den Beziehungen in Schritt 4 erhält man die Scheitel bzw. Nebenscheitel in x-y-z-Koordinaten: <math>(0,\pm a,0), \; (\tfrac{\pm b}{\sqrt{2}},0,\tfrac{\pm b}{\sqrt{2}}), \; (\tfrac{\pm c}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{\pm c}{\sqrt{2}})</math> (der Mittelpunkt ist der Nullpunkt).

=== Beispiel: Kegel ===
Gegeben sei die Gleichung
:<math>x^2-2xy+y^2-2yz+z^2-2xz+2x+2y+2z-3=0.</math>
Mittels Hauptachsentransformation soll diese Gleichung nun in eine Normalform überführt werden und der Typ der durch die Gleichung dargestellten Quadrik bestimmt werden.

; 1. Schritt:
:<math>A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}</math>
; 2. Schritt: Die Eigenwerte der Matrix <math>A</math> sind <math>{\color{red}\lambda_1 =\lambda_2}=2, \quad \lambda_3=-1</math>.
; 3. Schritt:
Der Eigenraum zu <math>\lambda_{1,2}=2 </math> ist Lösung der (einen!) Gleichung <math>-x-y-z=0</math>. Es müssen zwei zueinander orthogonale Lösungsvektoren bestimmt werden. Eine Lösung ist <math>\vec v_1=(-1,1,0)^\mathsf{T}</math>. Ein dazu orthogonaler Lösungsvektor muss zusätzlich die Gleichung <math>-x+y=0</math> erfüllen. Offensichtlich erfüllt der Vektor <math>(1,1,-2)^\mathsf{T}</math> beide Gleichungen. Nun müssen beide Vektoren noch normiert werden:
:<math>\vec e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
Ein normierter Eigenvektor zu <math>\lambda_3=-1</math> ist <math>:\quad \vec e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.</math>
; 4. Schritt:
:<math>S=\begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}\quad \rightarrow \quad
\begin{matrix} x&=&-\frac{1}{\sqrt{2}}\xi &-& \frac{1}{\sqrt{6}}\eta &+& \frac{1}{\sqrt{3}}\zeta\\
y&=& \frac{1}{\sqrt{2}}\xi &-&\frac{1}{\sqrt{6}}\eta &+& \frac{1}{\sqrt{3}}\zeta\\
z&=& && \frac{2}{\sqrt{6}}\eta &+& \frac{1}{\sqrt{3}}\zeta \end{matrix}</math>
[[Datei:HAT-kegel.svg|250px|mini|Hauptachsentransformation eines Kegels (Die Spitze ist der Punkt (1,1,1), der Mittelpunkt des dargestellten Basiskreises ist der Nullpunkt)]]
; 5. Schritt:
:<math>2\xi^2+2\eta^2-\zeta^2+2\sqrt{3}\zeta-3=0</math>
; 6. Schritt:
Quadratische Ergänzung liefert
:<math>\xi^2+\eta^2-\frac{(\zeta-\sqrt{3})^2}{2}=0</math>.
: Die Quadrik ist ein senkrechter Kreiskegel mit der Spitze im Punkt <math>(0,0,\sqrt{3})</math> und der <math>\zeta</math>-Achse als Rotationsachse.
; 7. Schritt:
Die Spitze ist in x-y-z-Koordinaten der Punkt <math>(1,1,1)</math>. Die Kegelachse hat die Richtung <math>(1,1,1)^\mathsf{T}</math>.

== Hauptachsentransformation in beliebiger Dimension ==
Eine Quadrik <math>Q</math> im <math>\R^n</math> ist (analog zu n=2) die Lösungsmenge einer allgemeinen quadratischen Gleichung (s. [[Quadrik#Eigenschaften|Quadrik]]):
:<math>Q = \left\{ x \in \R^n \mid x^\mathsf{T} A x + 2 b^\mathsf{T} x + c = 0 \right\}</math>
wobei <math>A = (a_{ij}) \in \R^{n \times n}</math> eine [[symmetrische Matrix]] und <math>b = (b_i) \in \R^n</math> sowie <math>x = (x_i) \in \R^n</math> [[Spaltenvektor]]en sind.

Die Hauptachsentransformation in diesem allgemeinen Fall läuft nach dem gleichen Schema ab wie für Kegelschnitte (s. o.). Nach der Diagonalisierung wird allerdings oft noch eine Verschiebung des Nullpunktes in den Mittelpunkt oder Scheitel der Quadrik vorgenommen, so dass die Normalform der Quadrik entsteht, an der man die Art und Eigenschaften der Quadrik ablesen kann.
== Anwendung ==
In der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] wird die Hauptachsentransformation in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] zur Beschreibung der [[Kinematik]] [[starrer Körper]] verwendet: Hier können über eine Hauptachsentransformation des [[Trägheitstensor]]s, der die [[Trägheit]]en des Körpers bezüglich Drehungen um verschiedene Achsen angibt, eventuell vorhandene [[Deviationsmoment]]e – zum Beispiel bei einem [[Kreisel]] – zum Verschwinden gebracht werden.

Ein Deviationsmoment ist ein Maß für das Bestreben eines starren Körpers, seine Drehachse zu verändern. Deviationsmomente werden mit den [[Trägheitsmoment]]en in Trägheitstensoren zusammengefasst, wobei die Trägheitsmomente sich auf der Hauptdiagonalen des Tensors, die Deviationsmomente auf den [[Nebendiagonale]]n befinden. Wie oben gezeigt, kann der symmetrische Trägheitstensor auf eine Diagonalform gebracht werden. Die durch die Hauptachsentransformation festgelegten Achsen des neuen, angepassten Koordinatensystems bezeichnet man als ''[[Hauptträgheitsachse]]n,'' das neue Koordinatensystem als ''Hauptachsensystem.'' Die Diagonalelemente des transformierten Tensors werden konsequent ''Hauptträgheitsmomente'' genannt.

Auch in weiteren Teilgebieten der klassischen Mechanik wird die Hauptachsentransformation eingesetzt, so zum Beispiel in der [[Festigkeitslehre]] zur Berechnung der [[Hauptspannung]]en, die auf einen Körper einwirken. Häufig angewandt werden Hauptachsentransformationen weiterhin in der [[Relativistische Mechanik|relativistischen Mechanik]] zur Basisdarstellung der [[Raumzeit]] im vierdimensionalen [[Minkowski-Raum]] oder zum Beispiel in der [[Elektrostatik]] beim [[Quadrupolmoment]] und anderen höheren Multipolmomenten.

Außerdem ist die Hauptachsentransformation in der [[Multivariate Verfahren|multivariaten Statistik]] ein Teil der [[Hauptkomponentenanalyse]], die vor allem in der [[Bildverarbeitung]] auch als ''[[Karhunen-Loève-Transformation]]'' bezeichnet wird. Manchmal werden die Begriffe synonym gebraucht, doch sind beide Transformationen nicht identisch.<ref name="Hannover">Vgl. Skript ''{{Toter Link |datum=2025-06 |url=ftp://ftp.tnt.uni-hannover.de/pub/edu/NVA-Labor/NVA_Mustererkennung.pdf |text=Mustererkennung. |archivebot=2025-06-20 02:31:10 InternetArchiveBot}}'' Kap. 5.2: Karhunen-Loeve-Transformation. (PDF) Laboratorium für Nachrichtenverarbeitung, Universität Hannover.</ref>

Praktisch wird die Hauptachsentransformation als Teil der Hauptkomponentenanalyse dazu verwendet, die Größe umfangreicher Datensätze ohne wesentlichen Datenverlust zu vermindern. Dabei werden vorhandene [[Korrelation|Beziehungen]] zwischen einzelnen statistischen Variablen durch Überführung in ein neues, [[linear unabhängig]]es problemangepasstes Koordinatensystem so weit wie möglich reduziert. Beispielsweise kann die Anzahl der benötigten Signalkanäle verringert werden, indem diese nach [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] geordnet und die Kanäle geringster Varianz gegebenenfalls ohne relevanten Datenverlust aus dem Datensatz entfernt werden. Dadurch können Effizienz und Ergebnis einer späteren Analyse der Daten verbessert werden.<ref>{{Webarchiv |url=http://grass-gis.de/lit_html/grasshandbuch_v12/node125.html |text=Gesellschaft für Datenanalyse und Fernerkundung Hannover. |wayback=20090710214625}}.</ref>

In der elektronischen Bildverarbeitung wird die Reduktion der Datensatzgröße durch Hauptkomponentenanalysen besonders in der [[Fernerkundung]] durch [[Satellitenbild]]er sowie den zugehörigen naturwissenschaftlichen Disziplinen der [[Geodäsie]], [[Geographie]], [[Kartografie]] und [[Klimatologie]] eingesetzt. Hier kann die Qualität der Satellitenaufnahmen durch Unterdrückung des [[Bildrauschen|Rauschens]] mittels Hauptkomponentenanalyse deutlich verbessert werden.<ref name="Erlangen">{{Webarchiv |url=http://www5-alt.informatik.uni-erlangen.de/habgor/paper/2001-DA.ps.gz |text=''Probabilistische Hauptachsentransformation zur generischen Objekterkennung.'' |wayback=20070718220629}} ([[Postscript]]). Diplomarbeit im Fach Informatik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg.</ref>

In der Informatik wird die Hauptachsentransformation vor allem bei der [[Mustererkennung]], zur Schaffung [[künstliches neuronales Netz|künstlicher neuronaler Netze]], einem Teilgebiet der [[Künstliche Intelligenz|künstlichen Intelligenz]], zur Datenreduktion angewandt (s. [[Hauptkomponentenanalyse]]).<ref name="Erlangen" />

== Literatur ==
* Burg & Haf & Wille: ''Höhere Mathematik für Ingenieure.'' Band II (Lineare Algebra), Teubner-Verlag, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22956-0, S. 214, 335.
* Meyberg, Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 341.
* W. Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik.'' 7. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21474-7.
* T. Fließbach: ''Mechanik.'' 2. Auflage. Spektrum, Heidelberg 1996, ISBN 3-86025-686-6.
* W. Greiner: ''Theoretische Physik. Band 2. Mechanik Teil 2.'' 5. Auflage. Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main, 1989, ISBN 3-8171-1136-3.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Transformation]]

Hauptachsentransformation - Versionsgeschichte

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