imported>Rigormath: /* Teilerverband */ Das zuvor gelöschte Symbol | steht doch für "teilt" (siehe neuen Link).

2024-10-12T08:31:09Z

Teilerverband: Das zuvor gelöschte Symbol | steht doch für "teilt" (siehe neuen Link).

Neue Seite

In der [[Mathematik]] ist ein '''Hasse-Diagramm''' (auch '''Ordnungs-''' oder einfach '''Liniendiagramm''' genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher [[Ordnungsrelation#Halbordnung|halbgeordneter Mengen]]. Solche Diagramme werden nach dem Mathematiker [[Helmut Hasse]] benannt.<ref>Helmut Hasse: ''Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper.'' Akademie-Verlag, Berlin 1952, S. 137, Fußnote 2.</ref>

Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung <math>(M, \leq)</math> ergibt sich als Darstellung eines [[gerichteter Graph|gerichteten Graphen]], wobei die Elemente von <math>M</math> die [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] bilden. Zwei Knoten <math>a</math> und <math>b</math> werden durch eine [[Kante (Graphentheorie)|Kante]] verbunden, wenn <math>a < b</math> gilt und es keinen Knoten <math>c</math> gibt mit <math>a<c<b</math>. (Hierbei ist <math>a < b</math> als <math>a \leq b</math> und <math>a \not= b</math> zu verstehen.) Die Einschränkung auf solche <math>a,b</math> nennt man [[Transitive Hülle (Relation)#Transitive Reduktion|transitive Reduktion]] der Halbordnung. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten <math>b</math> oberhalb von <math>a</math> befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. [[Schleife (Graphentheorie)|Schleifen]] bei [[reflexive Relation|Reflexivität]] werden weggelassen.

Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um [[Ordnungsrelation#Striktordnung|Striktordnungen]] (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen.

== Beispiele ==
=== Teilerverband ===

Die positiven [[Teilbarkeit|Teiler]] einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] lassen sich mittels eines Hasse-Diagramms darstellen, da sie bezüglich der [[Teilbarkeit#Definition|Teilt-Relation]] <math>\mid</math> eine halbgeordnete Menge, den [[Verband (Mathematik)|Teilerverband]], bilden. Das Diagramm heißt in diesem Falle auch [[Teilerbild]]. Das folgende Bild zeigt das Hasse-Diagramm der Teiler von 60.
[[Bild:Lattice of the divisibility of 60.svg|center]]

=== Partitionen ===
Die Menge der [[Partition (Mengenlehre) |Partitionen]] der Menge {1, 2, 3, 4} mit der Halbordnung „[[Partition (Mengenlehre)#Der Verband der Partitionen|ist feiner als]]“.
[[Bild:Lattice of partitions of an order 4 set.svg|center|350px]]

=== Potenzmenge===

Die <math>2^n</math>-elementige [[Potenzmenge]] <math>M</math> einer <math>n</math>-elementigen Menge mit der [[Mengeninklusion]] <math>\subseteq</math> lässt sich als Hasse-Diagramm darstellen. Dabei bilden die Elemente von <math>M</math> die Knoten. Das durch den untersten Knoten dargestellte Element <math>\emptyset</math> ([[leere Menge]]) ist eine Teilmenge aller Elemente von <math>M</math>; das durch den obersten Knoten dargestellte Element ist eine Obermenge aller Elemente von <math>M</math>.

Besonders übersichtlich und verbreitet ist die Anordnung der Mengen, die gleich viele Elemente enthalten, in derselben Ebene des Hasse-Diagramms. Ebenso ist es üblich und empfehlenswert, die Mengen in den Ebenen von links nach rechts [[Lexikographische Ordnung|lexikographisch]] zu ordnen.

Ein kleines Beispiel für ein Hasse-Diagramm einer Potenzmenge liefert die Menge <math>\{ x, y, z \}</math>:
[[Bild:Hasse diagram of powerset of 3.svg|center|300px|]]

Ein etwas aufwändigeres Diagramm erhält man mit der sechzehnelementigen Potenzmenge einer vierelementigen Menge. Sie ist von besonderer Bedeutung für [[Aussagenlogik]] und [[Mengenlehre]]. Ihre in der beschriebenen Weise nächstliegende Darstellung ist die linke der drei Grafiken, die den [[Rhombendodekaeder|rhombendodekaedrischen]] dreidimensionalen Schatten des [[Tesserakt|vierdimensionalen Würfels]] zeigt. Die beiden anderen Grafiken rechts der rhombendodekaedrischen zeigen ebenfalls mögliche Hasse-Diagramme der Potenzmenge einer vierelementigen Menge, die für manche Zwecke besser geeignet sein können als die Schichtung nach der Anzahl der Elemente. Graphische Darstellungen, die für alle Zwecke gleichermaßen ideal sind, gibt es nicht. So müssen geeignete Hasse-Diagramme in der Auseinandersetzung mit einem bestimmten Thema oft erst gefunden werden.

{| style="margin: 0 auto;"
|-
| [[Datei:Hypercubeorder binary.svg|215px|]] ||style="padding:0 2em 0 2em"| [[Datei:Hypercubecubes binary.svg|300px|]] || [[Datei:Hypercubestar binary.svg|229px|]]
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hasse diagrams}} 
*{{MathWorld| id =HasseDiagram | title =Hasse Diagram | author = Weisstein, Eric W. }}
* {{TIBAV |19863 |Linktext=Hassediagramme (Teil 1) |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19863}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Diagramm]]
[[Kategorie:Technische Zeichnung]]

Hasse-Diagramm - Versionsgeschichte

imported>Rigormath: /* Teilerverband */ Das zuvor gelöschte Symbol | steht doch für "teilt" (siehe neuen Link).