imported>NeptunT: /* Bezug zur Fourier-Transformation */ aufrechte Schreibweise der imaginären Einheit i

2022-08-25T04:32:55Z

Bezug zur Fourier-Transformation: aufrechte Schreibweise der imaginären Einheit i

Neue Seite

Die '''Hartley-Transformation''', abgekürzt ''HT'', ist in der [[Funktionalanalysis]] – einem Teilgebiet der [[Mathematik]] – eine lineare [[Integraltransformation]] mit Bezug zur [[Fourier-Transformation]] und wie diese eine [[Frequenztransformation]]. Im Gegensatz zur [[Komplexe Zahl|komplexen]] Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine [[Reelle Zahl|reelle]] Transformation. Sie ist nach [[Ralph Hartley]] benannt, welcher sie 1942 vorstellte.<ref>{{Literatur |Autor=Ralph Hartley |Hrsg=[[Institute of Radio Engineers]] |Titel=A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems |Sammelwerk=Proceedings of the IRE |Band=30 |Nummer=3 |Datum=1942-03 |ISSN=0096-8390 |Seiten=144-150 |Sprache=en |Online=[https://ieeexplore.ieee.org/document/1694454/?arnumber=1694454 IEEE Xplore Digital Library] |Abruf=2010-08-25}}</ref>

Die Hartley-Transformation existiert auch in [[Diskretheit|diskreter]] Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] und der [[Bildverarbeitung]] Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.<ref>{{Literatur |Autor=R.N. Bracewell |Titel=Aspects of the Hartley transform |Sammelwerk=Proceedings of the IRE |Nummer=82 (3) |Datum=1994 |DOI=10.1109/5.272142}}</ref>

== Definition ==
Die Hartley-Transformation einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ''f''(''t'') ist definiert als:

: <math> H(\omega) = \mathcal{H}(f)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t </math>

mit der [[Kreisfrequenz]] ω und der Abkürzung:

: <math>\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+\pi /4) = \sqrt{2} \cos (t-\pi /4)</math>

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor <math>\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor <math>\tfrac{1}{2\pi}</math> auftritt.

== Inverse Transformation ==
Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine [[Involution (Mathematik)|involutive]] Transformation ist:

: <math>f = \mathcal{H}(\mathcal{H}(f))</math>

== Bezug zur Fourier-Transformation ==
Die [[Fourier-Transformation]]

: <math>F(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega)</math>

weicht durch ihren komplexen Kern:

:<math>\exp\left({-\mathrm{i}\omega t}\right) = \cos(\omega t) - \mathrm{i} \sin(\omega t)</math>

mit der [[Imaginäre Zahl|imaginären Einheit]] <math>\mathrm{i}</math> von dem rein reellen Kern <math>\operatorname{cas}(\omega t)</math> der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

: <math>F(\omega) = {\color{darkred} \sqrt{2 \pi}} \left( \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - \mathrm{i} \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2} \right)</math>
Der rote Korrekturfaktor <math>\sqrt{2 \pi}</math> verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne <math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math>

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die [[Gerade und ungerade Funktionen|geraden und ungeraden]] Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

== Beziehungen des Hartley-Kerns ==
Für den „Hartley-Kern“ <math>\mbox{cas}(t)</math> lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:

Das Additionstheorem:

: <math> 2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \, </math>

und

: <math>\mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,</math>

Die Ableitung ist gegeben als:

: <math>\frac{\mbox{d cas} (a)}{\mbox{d } a} = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Bernd Jähne]]
|Titel=Digitale Bildverarbeitung
|Auflage=6.
|Verlag=Springer
|Datum=2005
|ISBN=3-540-24999-0}}
* {{Literatur
|Autor=Ronald Newbold Bracewell
|Titel=The Hartley Transform
|Auflage=1.
|Verlag=Oxford University Press
|Datum=1986
|ISBN=0-19-503969-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Bildverarbeitung]]

Hartley-Transformation - Versionsgeschichte

imported>NeptunT: /* Bezug zur Fourier-Transformation */ aufrechte Schreibweise der imaginären Einheit i