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Eine '''Harshad-Zahl''' oder '''Niven-Zahl''' ist eine [[natürliche Zahl]], die durch ihre [[Quersumme]], das heißt die Summe ihrer Ziffern (im [[Dezimalsystem]] mit [[Stellenwertsystem#Grundbegriffe|Basis]] 10), teilbar ist.

Der Begriff ''Harshad-Zahl'' wurde vom indischen Mathematiker [[Dattathreya Ramachandra Kaprekar|D. R. Kaprekar]] eingeführt und ist vom [[Sanskrit]]-Wort ''harsha'' („Freude“) abgeleitet, während ''Niven-Zahl'' auf den Mathematiker [[Ivan M. Niven]] zurückgeht, der diese Zahlen auf einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb.<ref>{{Internetquelle |autor=[[József Sándor (Mathematiker)|József Sándor]], Borislav Crstici |url=ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.2%20(ISBN%201402025467)(Kluwer,%202004)(635s)_MT_.pdf#page=1&zoom=auto,-82,842 |titel=Handbook of Number Theory II |hrsg=Springer-Verlag |seiten=381 und 451 |format=PDF |sprache=en |offline=1 |abruf=2018-05-27}}</ref>

== Beispiele ==
777 ist durch seine Quersumme <math>7+7+7=21</math> teilbar und ist somit eine Harshad-Zahl: <math>777=21 \cdot 37</math>.

Die ersten Harshad-Zahlen (im Dezimalsystem) sind:
: <math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100,\ldots</math> ({{OEIS|A005349}})

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:
: <math>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3,\ldots</math> ({{OEIS|A144261}})
: d. h.: <math>\underline{1} \cdot 1=1, \underline{1} \cdot 2=2, \ldots, \underline{1} \cdot 10=10, \underline{10} \cdot 11=110, \underline{1} \cdot 12=12, \underline{9} \cdot 13=117, \ldots</math> sind Harshad-Zahlen

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> ''keine'' Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:
: <math>11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4,\ldots</math> ({{OEIS|A144262}})
: d. h.: <math>\underline{11} \cdot 1=11, \underline{7} \cdot 2=14, \underline{5} \cdot 3=15, \underline{4} \cdot 4=16, \underline{3} \cdot 5=15, \underline{11} \cdot 6=66, \ldots</math> sind keine Harshad-Zahlen

== n-Harshad-Zahlen ==
Harshad-Zahlen nennt man auch '''n-Harshad-Zahlen''' (oder '''n-Niven-Zahlen'''), wenn man sie in der Basis ''n'' betrachtet.

Die ersten n-Harshad-Zahlen in der Basis 12 sind (wobei mangels weiterer Ziffern <math>A</math> für 10 und <math>B</math> für 11 steht):
: <math> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100,</math>
:: <math>10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, \ldots</math>

'''Beispiel:'''
: <math>172</math> ist ''keine'' n-Harshad Zahl für die Basis 10:
: <math>N=172</math> hat die Quersumme <math>1+7+2=10</math>, es ist aber <math>10</math> kein Teiler von <math>172</math>.
: <math>172_{12}</math> ist aber eine n-Harshad Zahl für die Basis 12:
: <math>N=172_{12}</math> ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{7} \cdot 12^1+\underline{2} \cdot 12^0=230</math>. Die Quersumme von <math>N=172_{12}</math> ist <math>1+7+2=A_{12}</math> (im Dezimalsystem also <math>10</math>). Es ist <math>A_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=172_{12}=A_{12} \cdot 1B_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>230=10 \cdot 23</math>).

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):
: <math> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16 \ldots</math>

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> ''keine'' n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):
: <math> 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4 \ldots</math>

== Eigenschaften ==
Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:
* Jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math>, wobei <math>n</math> eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist im Dezimalsystem eine Harshad-Zahl (lässt sich also durch ihre Quersumme teilen).
:: Der '''Beweis''' ergibt sich aus folgender Überlegung:
::: <math>\begin{align}
nnn & = n \cdot 10^2+n \cdot 10^1+n \cdot 10^0\\
& = n \cdot (100+10+1)\\
& = n \cdot 111 \\
& = n \cdot (3 \cdot 37) \\
& = (n \cdot 3) \cdot 37 \\
\end{align}</math>
::: Nun ist aber die Quersumme von <math>nnn\colon~ n+n+n = n\cdot3</math>.
::: Somit ist jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math> das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. [[Quod erat demonstrandum|q. e. d.]]
* Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis ''n'' sind ''n''-Harshad-Zahlen.
* Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad-Zahlen.<ref>{{Internetquelle |autor=Curtis Cooper, Robert E. Kennedy |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf |titel=On consecutive Niven numbers |werk=[[Fibonacci Quarterly]] |seiten=146–151 |format=PDF |sprache=en |abruf=2018-05-28}}</ref><ref name="Sandor">{{Internetquelle |autor=[[József Sándor (Mathematiker)|József Sándor]], Borislav Crstici |url=ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.2%20(ISBN%201402025467)(Kluwer,%202004)(635s)_MT_.pdf#page=1&zoom=auto,-82,842 |titel=Handbook of Number Theory II |hrsg=Springer-Verlag |seiten=382 |format=PDF |sprache=en |offline=1 |abruf=2018-05-28}}</ref>
* Im Dezimalsystem gibt es unendlich viele 20 aufeinander folgende Harshad-Zahlen. Die kleinste davon ist größer als <math>10^{44363342786}</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Curtis Cooper, Robert E. Kennedy |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf |titel=On consecutive Niven numbers |werk=[[Fibonacci Quarterly]] |seiten=148 |format=PDF |sprache=en |abruf=2018-05-28}}</ref>
{{Klappleiste/Anfang|style-kopf=text-align:left|TITEL=''erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen''}}
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!n
!erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen ({{OEIS|A060159}})<ref>{{Internetquelle |autor=primepuzzles.net |url=https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_129.htm |titel=Problems & Puzzles: Puzzle 129 |sprache=en |abruf=2018-05-30}}</ref>
|-
|<math>1</math>
|<math>12</math>
|-
|<math>2</math>
|<math>20</math>
|-
|<math>3</math>
|<math>110</math>
|-
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|-
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|<math>131.052</math>
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|<math>12.751.220</math>
|-
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|<math>10.000.095</math>
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|-
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|-
|<math>10</math>
|<math>1</math>
|-
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|-
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|-
|<math>13</math>
|<math>121.003.242.000.074.550.107.423.034 \cdot 10^{20}-10</math>
|-
|<math>14</math>
|<math>420.142.032.871.116.091.607.294 \cdot 10^{40}-4</math>
|-
|<math>15</math>
|''unbekannt''
|-
|<math>16</math>
|<math>50.757.686.696.033.684.694.106.416.498.959.861.492 \cdot 10^{280}-9</math>
|-
|<math>17</math>
|<math>14.107.593.985.876.801.556.467.795.907.102.490.773.681 \cdot 10^{280}-10</math>
|-
|<math>18</math>
|''unbekannt''
|-
|<math>19</math>
|''unbekannt''
|-
|<math>20</math>
|''unbekannt''
|}
{{Klappleiste/Ende}}
* Mit Basis ''n'' gibt es keine ''2n+1'' aufeinander folgende n-Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman">{{Internetquelle |autor=Helen G. Grundman |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf |titel=Sequences of consecutive ''n''-Niven numbers |werk=[[Fibonacci Quarterly]] |seiten=174–175 |format=PDF |sprache=en |abruf=2018-05-28}}</ref>
* Mit Basis ''n'' gibt es unendlich viele ''2n'' aufeinander folgende Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman" /><ref>{{Internetquelle |autor=Brad Wilson |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/35-2/wilson.pdf |titel=Construction of 2''n'' consecutive ''n''-Niven numbers |werk=[[Fibonacci Quarterly]] |seiten=122–128 |format=PDF |sprache=en |abruf=2018-05-28}}</ref>
* Sei <math>N(x)</math> die Anzahl der Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> und sei <math>\varepsilon >0</math>. Dann gilt:<ref name="Koninck">{{Internetquelle |autor=Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/41-5/dekoninck.pdf |titel=On the number of Niven numbers up to x |werk=[[Fibonacci Quarterly]] |seiten=431–440 |format=PDF |sprache=en |abruf=2018-05-30}}</ref>
:: <math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>
: '''Beispiel:'''
:: Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad-Zahlen. Somit ist <math>x=100000</math> und <math>N(x)=11872</math>. Und tatsächlich gilt <math> x^{1-\varepsilon}=100000^{1-\varepsilon} \ll 100000^{1-0,185095}\approx N(x)=11872 \ll 21223,7 \approx \frac{100000 \cdot \log \log 100000}{\log 100000} = \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

{{Klappleiste/Anfang|style-kopf=text-align:left|TITEL=''Anzahl <math>N(x)</math> der Harshad-Zahlen unter einer Zahl <math>x</math>''<ref name="Koninck" />}}
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|-
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>x</math>
! Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
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|<math>10</math>
|<math>10</math>
|-
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|
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! <math>x</math>
! Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
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{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
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! <math>x</math>
! Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
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|-
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|<math>6954793</math>
|-
|<math>10^9</math>
|<math>61574510</math>
|}
|}
{{Klappleiste/Ende}}

== Nivenmorphe Zahlen ==
Eine '''nivenmorphe Zahl''' (oder '''harshadmorphe Zahl''') für eine Basis ''n'' ist eine ganze Zahl ''t'', so dass eine Harshad-Zahl ''N'' existiert, dessen Quersumme ''t'' ist, und ''t'', geschrieben in dieser Basis ''n'', die Zahl ''N'' in dieser Basis ''n'' beschreibt.

'''Beispiel 1: '''
: <math>18</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 10:
: <math>N=16218</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=10). Die Quersumme von <math>16218</math> ist <math>1+6+2+1+8=18</math>. Es ist <math>18</math> tatsächlich ein Teiler von <math>16218=18 \cdot 901</math>.

'''Beispiel 2:'''
: <math>18_{12}</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 12:
: <math> N=1A0_{12}</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=12) und ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{10} \cdot 12^1+\underline{0} \cdot 12^0=264</math>. Die Quersumme von <math>N=1A0_{12}</math> ist <math>1+A+0=B_{12}</math> (im Dezimalsystem also 11). Es ist <math>B_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=1A0_{12}=B_{12} \cdot 20_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>264=11 \cdot 24</math>).

Die nächste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl (im Dezimalsystem) an, deren Quersumme ''n'' ist und die durch ''n'' teilbar ist (falls es keine solche Zahl gibt, wird 0 angegeben):
: <math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928,</math>
:: <math>78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945,</math>
:: <math>4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, \ldots </math> ({{OEIS|A187924}})
: Zum Beispiel hat <math>289835</math> die Quersumme <math>2+8+9+8+3+5=35</math> und tatsächlich ist <math>35</math> ein Teiler von <math>289835=35 \cdot 8281</math>. Somit ist <math>35</math> eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10.

Eigenschaften:
* Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen, außer der Zahl 11.<ref>{{Literatur |Autor=Sandro Boscaro |Titel=Nivenmorphic integers |Sammelwerk=[[Journal of Recreational Mathematics]] |Band=28 |Nummer=3 |Datum=1996 |Seiten=201–205}}</ref>
* Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis ''n''>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis ''n'', außer ''n+1''.
* Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis ''n''>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis ''n''.

== Multiple Harshad-Zahlen ==
Eine '''multiple Harshad-Zahl''' ist eine Harshad-Zahl, welche, durch seine Quersumme dividiert, wieder eine (andere) Harshad-Zahl ergibt.<ref>{{Literatur |Autor=E. Bloem |Titel=Harshad numbers |Sammelwerk=Journal of Recreational Mathematics |Band=34 |Nummer=2 |Datum=2005 |Seiten=128}}</ref>

'''Beispiel 1:'''
<math>6804</math> ist eine multiple Harshad-Zahl, weil <math>6804/18=378</math>, <math>378/18=21</math>, <math>21/3=7</math> und <math>7/7=1</math> ebenfalls Harshad-Zahlen sind. Man bezeichnet diese Zahl <math>6804</math> auch als '''MHN-4''', man kann also vier (verschiedene) weitere Harshad-Zahlen daraus machen.

'''Beispiel 2:'''
<math>2016502858579884466176</math> ist eine '''MHN-12''', man kann also 12 verschiedene weitere Harshad-Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Quersummen (die erste Quersumme ist <math>108</math>) finden.

'''Beispiel 3:'''
<math>10080000000000=1008 \cdot 10^{10}</math> ist eine weitere, kleinere '''MHN-12'''.

'''Beispiel 4: '''
<math>1008 \cdot 10^n</math> ist eine '''MHN-(n+2)'''.

== Siehe auch ==
* [[Fröhliche Zahl]]
* [[Glückliche Zahl]]
* [[Selbstbeschreibende Zahl]]

== Literatur ==
* Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: ''On consecutive Niven numbers''. In: ''[[Fibonacci Quarterly]]'', 31, 2, 1993, S. 146–151
* Helen G. Grundmann: ''Sequences of consecutive Niven numbers''. In: ''Fibonacci Quarterly'', 32, 2, (1994), 174–175
* Brad Wilson: ''Construction of 2n consecutive n-Niven numbers''. In: ''Fibonacci Quarterly'', 35, 1997, S. 122–128
* Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: ''On the number of Niven numbers up to x''. In: ''Fibonacci Quarterly'', 41, 5, November 2003, S. 431–440
* Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, I. Katái: ''On the counting function for the Niven numbers''. In: ''[[Acta Arithmetica]]'', 106, 2003, S. 265–275
* Sandro Boscaro: ''Nivenmorphic Integers''. In: ''[[Journal of Recreational Mathematics]]'', 28, 3, 1996–1997, S. 201–205
* E. Bloem: ''Harshad numbers''. In: ''Journal of Recreational Mathematics'', 34, 2, 2005, S. 128

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=HarshadNumber |title=Harshad Number}}
* {{Internetquelle
|autor=[[József Sándor (Mathematiker)|József Sándor]], Borislav Crstici
|url=ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.2%20(ISBN%201402025467)(Kluwer,%202004)(635s)_MT_.pdf#page=1&zoom=auto,-82,842
|titel=Handbook of Number Theory II
|hrsg=Springer-Verlag
|seiten=381–383
|format=PDF
|sprache=en
|abruf=2018-05-27}}
* {{Internetquelle
|autor=Curtis Cooper, Robert E. Kennedy
|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf
|titel=On consecutive Niven numbers
|hrsg=[[Fibonacci Quarterly]]
|seiten=146–151
|format=PDF
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|abruf=2018-05-28}}
* {{Internetquelle
|autor=Helen G. Grundman
|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf
|titel=Sequences of consecutive ''n''-Niven numbers
|hrsg=Fibonacci Quarterly
|seiten=174–175
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|abruf=2018-05-28}}
* {{Internetquelle
|autor=Brad Wilson
|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/35-2/wilson.pdf
|titel=Construction of 2''n'' consecutive ''n''-Niven numbers
|hrsg=Fibonacci Quarterly
|seiten=122–128
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* {{Internetquelle
|autor=Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon
|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/41-5/dekoninck.pdf
|titel=On the number of Niven numbers up to x
|hrsg=Fibonacci Quarterly
|seiten=431–440
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|abruf=2018-05-30}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Harshad-Zahl - Versionsgeschichte

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