imported>Filomusa: /* Mittelwerteigenschaft */ Kosmetik eines Links.

2023-02-19T22:51:11Z

Mittelwerteigenschaft: Kosmetik eines Links.

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[[Datei:Laplace's equation on an annulus.svg|mini|Eine harmonische Funktion definiert auf einem [[Kreisring]].]]
In der [[Analysis]] heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion '''harmonisch''', wenn die Anwendung des [[Laplace-Operator]]s auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der [[Laplace-Gleichung]] ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf [[Distribution (Mathematik)#Harmonische Distributionen|Distributionen]] und [[Cartan-Ableitung#Hodge-Laplace-Operator|Differentialformen]] übertragen.

== Definition ==
Sei <math>U \subseteq \mathbb{R}^n</math> eine offene Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt harmonisch in <math>U</math>, falls sie zweimal [[stetig]] [[differenzierbar]] ist und für alle <math>x \in U</math>

:<math>\Delta f(x) = 0</math>

gilt. Dabei bezeichnet <math>\Delta = \tfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \tfrac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \tfrac{\partial^2}{\partial x_n^2}</math> den [[Laplace-Operator]].

== Mittelwerteigenschaft ==
Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die ''[[Mittelwerteigenschaft]]'', welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{R}</math> ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn
:<math>f(x) = \frac{1}{r^{n-1} \omega_{n-1}} \int_{\partial B(x, r)} f(y) \mathrm{d} \sigma(y)</math>
für alle Kugeln <math>\ B(x, r)</math> mit <math>\overline{B}(x, r) \subset U</math>. Hierbei bezeichnet <math>\omega_{n-1}</math> den Flächeninhalt der <math>(n-1)</math>-dimensionalen [[Einheitssphäre]] (siehe [[Sphäre (Mathematik)#Inhalt und Volumen|Inhalt und Volumen der Einheitssphäre]]).

== Weitere Eigenschaften ==
Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.
* [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]: Im Innern eines [[zusammenhängend]]en Definitionsgebietes <math>U</math> nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss <math>\overline{U}</math>, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand <math>\partial U</math> angenommen.
* [[Glattheit]]: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
* Abschätzung der Ableitungen: Sei <math>f</math> harmonisch in <math>U</math>. Dann gilt für die Ableitungen<br /><math style="margin-left:2em">\left| D^\alpha f(x)\right| \leq \frac{\left(2^{n+1} n |\alpha|\right)^{|\alpha|}}{v_n} \left\|f\right\|_{L^1(B(x,r))},</math><br />wobei <math>v_n</math> das Volumen der <math>n</math>-dimensionalen [[Einheitskugel]] bezeichnet.
* [[Analytische Funktion|Analytizität]]: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente [[Taylorreihe]] entwickelt werden kann.
* [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]]: Eine beschränkte harmonische Funktion <math>f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> ist konstant.
* [[Harnack-Ungleichung]]: Für jede zusammenhängende, offene und [[relativ kompakt]]e Teilmenge <math>V \subset\subset U</math> gibt es eine Konstante <math>C \geq 0</math>, die nur von dem Gebiet <math>V</math> abhängt, so dass für jede in <math>U</math> harmonische und nichtnegative Funktion <math>f</math><br /><math style="margin-left:2em">\sup_V f \leq C \inf_V f</math><br />gilt.
* Im Sonderfall <math>n = 2</math> für ein einfach zusammenhängendes Gebiet <math>U \subset \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C}</math> können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
* Jede harmonische Funktion ist auch eine [[biharmonische Funktion]].

== Beispiel ==
Die Grundlösung
: <math>S(x) := \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi}\ln|x|\ ,&n=2\ ,\\
\frac{1}{(n-2)\omega_n}\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\ ,&n \geq 3\ ,\\\end{array}\right.</math>
ist eine auf <math>\mathbb{R}^n\setminus\{0\}</math> harmonische Funktion, worin <math>\omega_n</math> das Maß der [[Einheitssphäre]] im <math>\mathbb{R}^n</math> bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur [[Poisson-Gleichung]].
== Verallgemeinerungen ==
Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:
:<math>{\Delta}^m f =0</math>
Für <math>m=2</math> ([[Biharmonische Funktion]]) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf ([[Gustav Robert Kirchhoff|Gustav Kirchhoff]]).

== Literatur ==
* [[Lawrence C. Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (''Graduate studies in mathematics'' 19).

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]

Harmonische Funktion - Versionsgeschichte

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