imported>Sokrates 399: Typografie, Kleinigkeiten.

2026-03-18T11:23:34Z

Typografie, Kleinigkeiten.

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{{Dieser Artikel|behandelt die abstrakte harmonische Analyse auf lokalkompakten Gruppen, für die klassische harmonische Analyse siehe [[Fourier-Analyse]]. Für den entsprechenden Begriff aus der Musik siehe [[Harmonik]].}}

Die '''(abstrakte) harmonische Analyse''' oder '''(abstrakte) harmonische Analysis''' ist die Theorie der [[Lokalkompakte Gruppe|lokalkompakten Gruppen]] und ihrer [[Darstellungstheorie von Gruppen|Darstellungen]].
Auf beliebigen lokalkompakten Gruppen gibt es ein zum [[Lebesgue-Maß]] auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] analoges [[Maß (Mathematik)|Maß]], das sogenannte [[Haar-Maß]]. Bezüglich dieses Maßes lässt sich – je nach zusätzlichen Eigenschaften der Gruppe, insbesondere bei kommutativen Gruppen – die Theorie der [[Fourier-Analysis]] übertragen. Das führt zu wichtigen Erkenntnissen über lokalkompakte Gruppen. Dieser Artikel legt den Schwerpunkt auf die Darstellung der Verallgemeinerungen der klassischen Situation in den reellen Zahlen.

== Lokalkompakte Gruppen ==
{{Hauptartikel|Lokalkompakte Gruppe}}

Eine lokalkompakte Gruppe ist eine [[topologische Gruppe]], die eine [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte Topologie]] trägt. Beispiel dafür sind:

* Die reellen Zahlen <math>\mathbb R</math> mit der Addition als Gruppenverknüpfung bilden mit dem [[Lebesgue-Maß]] als [[Haar-Maß]] den Prototyp der Theorie.
* Der <math>{\mathbb R}^n</math> mit der Addition und dem n-dimensionalen Lebesgue-Maß ist eine einfache Verallgemeinerung des ersten Beispiels.
* Jede Gruppe mit der [[Diskrete Topologie|diskreten Topologie]] ist lokalkompakt. Das Haar-Maß ist das [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]].
* Die [[Kreisgruppe|Kreislinie]] <math>{\mathbb T} = \{z\in{\mathbb C}; |z|=1\}</math> ist mit der Multiplikation als Gruppenverknüpfung eine [[kompakte Gruppe]]. Das Haar’sche Maß ist das [[Bildmaß]] der Abbildung <math>[0,1]\rightarrow {\mathbb T},\,x\mapsto e^{2\pi i x}</math>, wobei auf [0,1] das Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Gruppe spielt im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle.
* Die Gruppe <math>\mathrm{GL}(n,{\mathbb R})</math> der [[Reguläre Matrix|invertierbaren]] <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit der [[Matrizenmultiplikation]] ist ein Beispiel für eine nicht-kommutative lokalkompakte Gruppe. Die Angabe des Haar-Maßes verlangt fortgeschrittene Integrationskenntnisse. Ist <math>\lambda</math> das Lebesgue-Maß auf dem <math>{\mathbb R}^{n^2}</math>, so ist durch <math>\textstyle \mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(X)|^n}d\lambda(X)</math> ein Haar-Maß gegeben. Im allgemeinen nicht-kommutativen Fall muss man zwischen Links- und Rechts-Haarmaß unterscheiden, in diesem Beispiel ist das noch nicht erforderlich.

== Die Banachalgebra L1(G) ==
Ist <math>\lambda</math> das Haar-Maß auf der lokalkompakten [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]] G, so kann man bzgl. dieses Maßes den Raum [[Lp-Raum|L1(G)]] bilden. Es ist der [[Banachraum]] der komplexwertigen L1-Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen in üblicher Weise identifiziert werden.
Wie im Falle der reellen Zahlen definiert die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]]

:<math>f*g(x) := \int_G f(y)g(x-y)d\lambda(y), \,\, f,g\in L^1(G)</math>

eine Multiplikation, die <math>L^1(G)</math> zu einer kommutativen [[Banachalgebra]] macht. Dabei wurde die Verknüpfung auf G additiv geschrieben, <math>x-y = x+(-y)</math> ist in G zu berechnen! Durch die Formel

:<math>f^*(x) \,=\, \overline{f(-x)}</math>

wird eine isometrische [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf der Banachalgebra definiert. Mit ähnlichen Formeln kann man auch im nicht-kommutativen Fall eine Banachalgebra <math>L^1(G)</math> definieren; das ist im Artikel ''[[Gruppen-C*-Algebra]]'' ausgeführt.

Wie bei der [[Gruppenalgebra]] der algebraischen [[Darstellungstheorie]] von Gruppen, lassen sich Darstellungen auf lokalkompakten Gruppen auf natürliche Weise in Algebrendarstellungen von <math>L^1(G)</math> übersetzen und umgekehrt. Dieser Übergang ist auch wesentlich für die Definition der Fouriertransformation.

== Abelsche Gruppen ==
=== Dualgruppe ===
Sei <math>G</math> eine abelsche lokalkompakte Gruppe. Ein [[Stetige Funktion|stetiger]] [[Homomorphismus|Gruppenhomomorphismus]] <math>\chi\colon G\rightarrow \mathbb{T}</math> heißt ein ''Charakter'' von <math>G</math>.
Die Menge aller Charaktere wird mit <math>\widehat{G}</math> bezeichnet.
Mit der Multiplikation <math>(\chi\cdot\psi)(a) := \chi(a)\psi(a)</math> wird <math>\widehat{G}</math> zu einer Gruppe.
Mit der [[Kompakte Konvergenz|Topologie der kompakten Konvergenz]] wird <math>\widehat{G}</math> sogar zu einer lokalkompakten abelschen Gruppe, die man daher auch als ''Dualgruppe'' von <math>G</math> bezeichnet. Wir betrachten einige Beispiele:

* Jeder Charakter <math>\chi\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{T}</math> hat die Gestalt <math>\chi_z(x) = e^{i x z}</math> für ein <math>z \in \mathbb{R}</math>. Identifiziert man <math>\chi_z</math> mit <math>z</math>, so hat man also <math>\widehat{\mathbb R} \cong {\mathbb R}</math>, zumindest als Mengen. Man kann zeigen, dass diese Identifizierung auch im Sinne lokalkompakter Gruppen in Ordnung geht.
* Jeder Charakter <math>\chi\colon \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{T}</math> ist von der Form <math>\chi_z(n) = z^n</math> für ein <math>z \in \mathbb{T}</math>. In diesem Sinne hat man also <math>\widehat{\mathbb Z} \cong \mathbb{T}</math>.
* Die Charaktere <math>\chi\colon \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{T}</math> sind <math>\chi_n(z) = z^n</math> für <math>n \in \mathbb{Z}</math>, was zur Dualität <math>\widehat{\mathbb T} \cong \mathbb{Z}</math> führt.

Das letzte Beispiel verhält sich ‚invers‘ zum vorangegangenen. Das ist kein Zufall, denn es gilt der folgende Dualitätssatz von Pontrjagin.

=== Dualitätsatz von Pontrjagin ===
{{Hauptartikel|Pontrjagin-Dualität}}

Ist <math>G</math> eine lokalkompakte abelsche Gruppe, so ist <math>\widehat{\widehat{G}} \cong G</math>.

Dieser Satz rechtfertigt den Begriff Dualgruppe, denn man kann aus der Dualgruppe die Ausgangsgruppe wieder zurückgewinnen.

=== Die Fourier-Transformation ===
Ist <math>G</math> eine lokalkompakte abelsche Gruppe mit Haar-Maß <math>\lambda</math> und ist <math>f\in L^1(G)</math>, so heißt

:<math> \widehat{f}\colon \widehat{G}\rightarrow {\mathbb C},\,\,\widehat{f}(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\;d\lambda(x) </math>

die '''Fourier-Transformierte''' von <math>f</math>. Im Falle <math>G = \mathbb{R}</math> erhält man wegen <math>\widehat{\mathbb R} \cong \mathbb{R}</math> die klassische [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]].
Viele Eigenschaften der klassischen Fourier-Transformation bleiben im abstrakten Fall erhalten. So ist z. B. <math>\widehat{f}</math> stets eine stetige Funktion auf <math>\widehat{G}</math>, die im Unendlichen verschwindet. Die Fourier-Transformation ist ein [[Injektivität|injektiver]] [[Homomorphismus]] <math>L^1(G)\rightarrow C_0(\widehat{G})</math>.

Die Sichtweise des Physikers auf die klassische Fourier-Transformation ist die, dass eine ‚beliebige‘ Funktion als Summe (=Integral) von [[Harmonische Schwingung|harmonischen Schwingungen]] dargestellt werden kann, denn <math>\chi_z(x) = e^{2\pi i x z}</math> löst die [[Harmonischer Oszillator|ungedämpfte Schwingungsgleichung]]. Diese Sichtweise bleibt auch im abstrakten Rahmen erhalten, die harmonischen Schwingungen müssen – zumindest im abelschen Fall – lediglich durch Charaktere ersetzt werden.
Aus diesem Grunde spricht man von '''abstrakter harmonischer Analyse'''.

=== Fourier-Umkehrformel ===
Auch die Fourier-Umkehrformel bleibt in diesem abstrakten Rahmen erhalten. Ist G unsere lokalkompakte Gruppe mit Dualgruppe <math>\widehat{G}</math>, und ist
<math>\widehat{\lambda}</math> Haar-Maß auf der Dualgruppe, so setze man für <math>g\in L^1(\widehat{G})</math>

:<math> \check{g}\colon G\rightarrow {\mathbb C},\,\,\check{g}(x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi)\chi(x)\;d\widehat{\lambda}(\chi) </math>.

Ist dann <math>f\in L^1(G)</math> derart, dass die Fourier-Transformation <math>\widehat{f}</math> in <math>L^1(\widehat{G})</math> ist, so erhält man mittels dieser Umkehrformel aus <math>\widehat{f}</math> wieder <math>f</math> zurück, zumindest bis auf einen konstanten Faktor. Dieser konstante Faktor rührt daher, dass das Haar-Maß nur bis auf einen konstanten Faktor eindeutig ist. Selbst im prototypischen Fall der reellen Zahlen tritt der bekannte Faktor <math>2\pi</math> auf, wenn man auf der Gruppe und der Dualgruppe das Lebesgue-Maß verwendet.

=== Fourierreihen ===
Eine Funktion <math>F</math> auf der Kreisgruppe <math>\mathbb{T}</math> kann auf naheliegende Weise als eine <math>2\pi</math>-periodische Funktion <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> aufgefasst werden, man setze dazu <math>f(x)=F(e^{ix})</math>. Da <math>\widehat{\mathbb T} \cong \mathbb{Z}</math>, ist die Fourier-Transformation von <math>F</math> eine Funktion auf <math>\mathbb{Z}</math>:

:<math> \widehat{F}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}F(z)z^{-n}d\lambda(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}f(x)e^{-inx}dx </math>

Wir sehen hier die Fourier-Koeffizienten von <math>f</math>. Die Fourier-Umkehrformel führt dann zur bekannten [[Fourierreihe]].
Die abstrakte harmonische Analyse liefert also den Rahmen für eine gemeinsame theoretische Betrachtung sowohl der klassischen Fourier-Transformation als auch der Fourierreihen-Entwicklung.

=== Gelfand-Darstellung ===
Sei G wieder eine lokalkompakte abelsche Gruppe mit Haar-Maß <math>\lambda</math>.
Die Fourier-Transformation kann auch auf folgende Weise interpretiert werden.
Jeder Charakter <math>\chi\in \widehat{G}</math> definiert durch die Formel

:<math>\phi_\chi(f) := \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\;d\lambda(x) </math>

ein stetiges, lineares, multiplikatives Funktional <math>\phi_\chi</math> auf <math>L^1(G)</math>.
Die Fourier-Transformation erweist sich damit als die [[Gelfand-Transformation]] der kommutativen [[Banachalgebra]] <math>L^1(G)</math>.

== Nicht-abelsche Gruppen ==
Für nicht-abelsche Gruppen reicht es nicht mehr, Charaktere der Gruppe zu betrachten, stattdessen betrachtet man ''unitäre Darstellungen'' auf [[Hilbertraum|Hilberträumen]]. Sei also <math>G</math> eine lokalkompakte topologische Gruppe. Eine ''unitäre Darstellung'' <math>\pi</math> von <math>G</math> auf einem Hilbertraum <math>H_\pi</math> ist nun ein [[Stetige Funktion|stetiger]] [[Gruppenhomomorphismus]] <math>\pi\colon G\to U(H_\pi)</math>, wobei <math>U(H_\pi)</math> die [[unitäre Gruppe]] bezeichne, ausgestattet mit der [[Schwache Operatortopologie|schwachen Operatortopologie]], die in diesem Fall mit der [[Starke Operatortopologie|starken Operatortopologie]] übereinstimmt. Existiert nun ein [[Unterhilbertraum]] <math>V</math> von <math>H_\pi</math>, sodass für alle <math>g\in G</math> noch immer <math>\pi(g)(V)\subseteq V</math>, so lässt sich die Darstellung auf <math>U(V)</math> einschränken, <math>V</math> heißt [[invarianter Teilraum]] der Darstellung. Eine Darstellung für die kein nicht-trivialer invarianter Teilraum existiert, heißt [[Irreduzible Darstellung|irreduzibel]]. Man wählt nun ein Vertretersystem <math>\hat{G}</math> der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe bezüglich [[Unitäre Äquivalenz|unitärer Äquivalenz]]. Im abelschen Fall entspricht dieses gerade den Charakteren. Da sich jede solche Darstellung <math>\pi</math> auf gewisse kanonische Weise zu einer Algebrendarstellung auf <math>L^1(G)</math> fortsetzen lässt, indem man
:<math>\pi(f)=\int_G \pi(x)f(x) \mathrm{d}x</math>
in einem geeigneten Sinne von Integration setzt, lässt sich für ein <math>f\in L^1(G)</math> die Familie
:<math>\hat{f}=(\pi(f))_{\pi\in\hat{G}}</math>
definieren, welche ''Fouriertransformation'' genannt wird.

Weitergehende Sätze der harmonischen Analyse befassen sich nun damit, wie und wann <math>\hat{G}</math> sowie der Raum der <math>\hat{f}</math> mit geeigneten Strukturen ausgestattet werden können, die von der Fouriertransformation erhalten werden (ähnlich der Aussage der [[Plancherelformel]]), wodurch sich die Fouriertransformation umkehren lässt. Ein derartiges Ergebnis für ''alle'' lokalkompakten topologischen Gruppen konnte dabei jedoch nicht erlangt werden.

=== Kompakte Gruppen ===
{{Hauptartikel|Satz von Peter-Weyl}}
Eine weitreichende Verallgemeinerung der Fouriertransformation auf kompakten Gruppen liefert der Satz von Peter-Weyl. Dieser Satz ist besonders elementar, da die Struktur von <math>\hat{G}</math> in einem gewissen Sinne „diskret“ (im abelschen kompakten Fall tatsächlich als topologischer Raum [[Diskrete Topologie|diskret]]) ist und <math>\hat{f}</math> einfach als [[orthogonale Summe]] von Matrizen aufgefasst werden kann.

=== Plancherel-Maß für unimodulare Gruppen ===
In dem Fall, dass die Gruppe [[Unimodulare Gruppe|unimodular]] und [[zweitabzählbar]] ist und eine gewisse darstellungstheoretische Eigenschaft aufweist (''[[Typ-1-Gruppe]]'', d. h. die [[Gruppen-C*-Algebra]] ist [[Postliminale C*-Algebra|postliminal]]), lässt sich <math>\hat{G}</math> mit dem [[Plancherel-Maß]] ausstatten, bezüglich dieses Maßes lässt sich ein [[direktes Integral]] der jeweiligen Räume von [[Hilbert-Schmidt-Operator]]en bilden, als Elemente dieses Raumes können dann die Fouriertransformierten <math>\hat{f}</math> aufgefasst und rücktransformiert werden.<ref>{{Literatur |Autor=A. A. Kirillow |Hrsg=[[Alexander Alexandrowitsch Kirillow]] |Titel=Representation Theory and Noncommutative Harmonic Analysis I |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Datum=1994 |ISBN=3-540-18698-0 |Seiten=113 |Übersetzer=V. Soucek}}</ref>

Bezüglich des Plancherel-Maßes können Mengen einzelner Punkte positives Maß besitzen, diese bilden die sogenannte [[diskrete Serie]], irreduzible [[Teildarstellung]]en der [[Reguläre Darstellung|regulären Darstellung]] der Gruppe. Dies ist etwa bei kompakten Gruppen der Fall, wodurch sich wiederum der Satz von Peter-Weyl ergibt.

=== Nicht-unimodulare Gruppen ===
Auf nicht-unimodulare Gruppen ist die Rücktransformation auf dieselbe Weise nicht mehr möglich. Abhilfe schaffen hier in einigen Fällen spezielle ''semi-invariante Operatoren'', das sind bestimmte, im Allgemeinen nur [[Dicht definierter Operator|dicht definierte]] und [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkte]], [[Positiver Operator|positive]], [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte]] [[Abgeschlossener Operator|abgeschlossene]] Operatoren, mit denen die <math>\pi(f)</math> auf solche Weise skaliert werden, dass sich <math>\hat{G}</math> wiederum mit dem Plancherel-Maß ausstatten lässt, die Fouriertransformierten eine Hilbertraumstruktur erhalten und eine Rücktransformation möglich wird.<ref>{{Literatur |Autor=Ronald L. Lipsman |Titel=Type I criteria and the Plancherel formula for Lie groups with co-compact radical |Sammelwerk=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4e série |Band=9 |Nummer=2 |Datum=1982 |Seiten=263–285 |Online=[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASNSP/ASNSP_1982_4_9_2/ASNSP_1982_4_9_2_263_0/ASNSP_1982_4_9_2_263_0.pdf online] |Format=PDF |KBytes=1900}}</ref> Diese semi-invarianten Operatoren ersetzen die ([[äquivariante Abbildung|äquivarianten]]) Konstanten, die im unimodularen Fall zur Skalierung notwendig sind, und werden ''Duflo-Moore-Operatoren'' oder ''formal degree operators'' genannt.

== Literatur ==
* [[Edwin Hewitt|Hewitt]]-[[Kenneth A. Ross|Ross]]: ''Abstract Harmonic Analysis'', Springer Verlag, Bd. 1, 1963, ISBN 0-387-94190-8, 2. Auflage 1979, Bd. 2 1970, ISBN 3-540-58318-1
* [[Lynn Loomis|Lynn H. Loomis]]: ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis'', D. van Nostrand Co, 1953
* [[Walter Rudin]]: ''Fourier Analysis on Groups'', Wiley-Interscience, 1962, ISBN 0-471-52364-X

== Siehe auch ==
* [[C*-dynamisches System]]
* [[Gruppen-C*-Algebra]] (nicht-kommutative Gruppen)
* [[Fastperiodische Funktion]]
* [[Satz von Kolmogorow-Riesz]] (Kompaktheitskriterien in <math>L^p(G)</math>-Räumen)
* [[Mittelbare Gruppe]]
* [[Satz von Plancherel]] (Isometrien zwischen <math>L^2</math>-Räumen)
* [[Modulationsraum]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4023453-8|LCCN=sh85058939|NDL=00573754}}

[[Kategorie:Harmonische Analyse| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Harmonische Analyse - Versionsgeschichte

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