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2026-03-12T09:01:12Z

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In der [[Funktionentheorie]] ist ein '''Hardy-Raum''' <math>H^p</math> ein Funktionenraum [[Holomorphie|holomorpher Funktionen]] auf bestimmten Teilmengen von [[komplexe Zahl|<math>\mathbb{C}</math>]]. Hardy-Räume sind die Entsprechungen der [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räume]] in der [[Funktionalanalysis]]. Sie werden nach [[Godfrey Harold Hardy]] benannt, der sie 1914<ref name="Hardy-1914">G.F. Hardy: ''The mean value of the modulus of an analytic function''. Proc. London Math. Soc. 14, pp. 269–277 (1914).</ref> einführte.

== Definition ==
Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>D \subset \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

=== Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe ===
Sei <math>\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}</math> die [[Einheitskreisscheibe]] in <math>\mathbb{C}</math>. Dann besteht für <math>p>0</math> der Hardy-Raum <math>H^p(\mathbb{D})</math> aus allen holomorphen Funktionen <math>F: \mathbb{D} \to \mathbb{C}</math>, für die gilt
:<math>\sup_{0<r<1} \left(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left|F(re^{i\theta})\right|^p \; {\rm d}\theta\right)^{1/p}<\infty.</math>
Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „<math>H^p</math>-Norm“ von <math>F</math> bezeichnet, in Symbolen <math>\|F\|_{H^p}</math>.

Für <math>p=\infty</math> setzt man <math>\textstyle \|F\|_{H^\infty(\mathbb{D})} = \textstyle \|F\|_{\infty} = \sup_{z\in\mathbb{D}}|F(z)|</math>
und versteht unter <math>H^\infty(\mathbb{D})</math> den [[Funktionenraum]] der [[Beschränkte Funktion|beschränkten]] [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>F: \mathbb{D} \to \mathbb{C}</math>, also den Raum, für den diese [[Supremumsnorm]] der darin liegenden Funktionen <math> < \infty </math> ist.

=== Hardy-Räume auf der oberen Halbebene ===
Sei <math>\mathbb{H} = \{x+iy \in \mathbb{C}: y > 0\}</math> die [[Halbebene#Obere Halbebene|obere Halbebene]] in <math>\mathbb{C}</math>. Dann besteht für <math>p>0</math> der Hardy-Raum <math>H^p(\mathbb{H})</math> aus allen holomorphen Funktionen <math>F: \mathbb{H} \to \mathbb{C}</math>, für die gilt
:<math>\sup_{y>0} \left( \int_0^{\infty} \left|F(x + iy)\right|^p \; {\rm d}x\right)^{1/p}<\infty.</math>
Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „<math>H^p</math>-Norm“ von <math>F</math> bezeichnet, in Symbolen <math>\|F\|_{H^p(\mathbb{H})}</math>.

Für <math>p=\infty</math> setzt man <math>\textstyle \|F\|_{H^\infty(\mathbb{H})} = \sup_{z\in\mathbb{H}}|F(z)|</math>
und definiert <math>H^\infty(\mathbb{H})</math> als Raum aller holomorphen Funktionen <math>F: \mathbb{H} \to \mathbb{C}</math>, für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen <math>H^p</math> die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob <math>D=\mathbb{D}</math> oder <math>D=\mathbb{H}</math>); üblicherweise ist es der Raum <math>H^p(\mathbb{D})</math> von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math>.

== Faktorisierung ==

Für <math>p\geq 1</math> kann jede Funktion <math>f \in H^p</math> als Produkt <math>f=Gh</math> geschrieben werden, worin <math>G</math> eine ''äußere Funktion'' und <math>h</math> eine ''innere Funktion'' ist.

Für <math>H^p = H^p(\mathbb{D})</math> auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist <math>h</math> eine innere Funktion genau dann, wenn <math>|h(z)|\leq 1</math> auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert
:<math>\lim_{r\rightarrow 1^-} h(re^{i\theta})</math>
für [[fast alle]] <math>\theta</math> existiert und sein [[absoluter Betrag]] gleich 1 ist. <math>G</math> ist eine äußere Funktion, wenn
:<math>G(z)=\exp\left(i\phi+\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}
\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z} g(e^{i\theta}) {\rm d}\theta \right)</math>
für einen reellen Wert <math>\phi</math> und eine reellwertige und auf dem [[Einheitskreis]] integrable Funktion <math>g</math>.

== Weitere Eigenschaften ==
* Für <math>1 \leq p \leq \infty</math> sind die Räume <math>H^p</math> [[Banachraum|Banachräume]].
* Für <math>p>1</math> gilt <math>H^p(\mathbb{D}) \cong L^p([0,1])</math> und <math>H^p(\mathbb{H}) \cong L^p(\mathbb{R})</math>.

* Für <math>1 gilt <math>H^\infty(\mathbb{D}) \subset H^q(\mathbb{D}) \subset H^p(\mathbb{D}) \subset H^1(\mathbb{D})</math>. Dabei sind alle diese [[Inklusionsabbildung|Inklusionen]] echt.

== Reelle Hardy-Räume ==
Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten [[Elias Stein (Mathematiker)|Elias Stein]] und [[Guido Weiss (Mathematiker)|Guido Weiss]] die Theorie der reellen Hardy-Räume <math>\mathcal{H}^p(\R^n)</math>.

=== Definition ===
Sei <math>\phi \in S</math> eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]] auf <math>\R^n</math> und <math>\phi_t(x) = t^{-n} \phi(t^{-1}x)</math> für t > 0 eine [[Dirac-Folge]]. Sei <math>f \in S'</math> eine [[temperierte Distribution]], so sind die radiale [[Maximalfunktion]] <math>m_\phi(f)</math> und die [[nicht-tangentiale Maximalfunktion]] <math>M_\phi(f)</math> definiert durch
:<math> \begin{align}
m_\phi(f)(x) =& \sup_{t > 0}|f * \phi_t(x)|,\\
M_\phi(f)(x) =& \sup_{|y-x| < t < \infty} |f * \phi_t(y)|.
\end{align}</math>
Hierbei bezeichnet <math>*</math> die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

[[Charles Fefferman]] und Elias M. Stein bewiesen für <math>f \in S'(\R^n)</math> und <math>0 , dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:
# <math>m_\phi(f) \in L^p</math> für ein <math>\phi \in S</math> mit <math> \int_{\R^n} \phi \neq 0</math>,
# <math>M_\phi(f) \in L^p</math> für ein <math>\phi \in S</math> mit <math> \int_{\R^n} \phi \neq 0</math>,
# <math>M_\phi(f) \in L^p</math> für jedes <math>\phi \in S</math> und <math>M_\phi(f)</math> ist in einer geeigneten Teilmenge <math>U \subset S</math> [[gleichmäßig beschränkt]] in <math>\phi</math>.

Man definiert den reellen Hardy-Raum <math>\mathcal{H}^p(\R^n)</math> als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

=== Atomare Zerlegung ===
Insbesondere <math>\mathcal{H}^1(\R^n)</math>-Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein <math>\mathcal{H}^p</math>-Atom ist für <math>p \leq 1</math> eine Funktion <math>a</math>, so dass gilt:
# <math>a</math> hat ihren Träger in einem Ball <math>B</math>;
# <math>|a| \leq \mu(B)^{-1/p}</math> fast überall; und
# <math>\int_{B}x^\beta a(x) \mathrm{d} \mu(x) \,=\, 0</math> für alle <math>\beta</math> mit <math>|\beta| \leq n(p^{-1} - 1)</math>.

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung <math>\textstyle \int_{\R^n}|a(x)|^p\mathrm{d} x \leq 1</math> und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung
:<math>\int_{\R^n} (M_\Phi(a)(x))^p \mathrm{d} x \leq c</math>.

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für <math>f \in \mathcal{H}^p(\R^n)</math> mit <math>p\leq 1</math> kann <math>f</math> als Reihe von <math>\mathcal{H}^p</math>-Atomen <math>a_k</math>
:<math>f = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k a_k</math>
geschrieben werden. Dabei ist <math>(\lambda_k)_k</math> eine Folge komplexer Zahlen mit <math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty|\lambda_k|^p < \infty</math>. Die Reihe <math>\textstyle \sum_{k=1}^\infty \lambda_k a_k</math> konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter
:<math>\|f\|_{\mathcal{H}^p} \leq c \left(\sum_{k=1}^\infty|\lambda_k|^p\right)^{1/p}</math>.

=== Verbindung zu den Hardy-Räumen ===
Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall <math>1 - 1/n . Der interessante Fall <math>p=1</math> wird also mit abgehandelt und für <math>n = 1</math> erhält man die ganze Spanne <math>0 .

Seien
:<math>u_0, u_1, \ldots, u_n : \R^{n+1}_+ \to \R</math>
Funktionen auf der [[obere Halbebene|oberen Halbebene]], welche die verallgemeinerten [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen]]
:<math> \sum_{j=0}^n \frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0</math> und
:<math> \frac{\partial u_j}{\partial x_k} = \frac{\partial u_k}{\partial x_j}</math>
für <math>0 \leq j, k \leq n</math> erfüllen.

Jede Funktion <math>u_j</math> ist also eine [[harmonische Funktion]] und im Fall <math>n=1</math> entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion <math>f = u_0 + i u_1</math> bezüglich der Variablen <math>x_1 + ix_0</math>.

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion <math>u</math> genau dann eine der drei äquivalenten <math>H^p</math>-Bedingungen, falls eine Funktion <math>F = (u, u_1, \ldots , u_n)</math> existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen genügt und welche <math>L^p</math>-beschränkt ist, was
:<math>\sup_{x_0 > 0} \int_{\R^n} |F(x,x_0)|^p\mathrm{d} x < \infty</math>
bedeutet.

=== Weitere Eigenschaften ===
* Für <math>1 gilt analog <math>\mathcal{H}^p(\R^n) \cong L^p(\R^n)</math>. Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden <math>L^p(\R^n)</math>-Räumen identifiziert werden.
* Für den Fall <math>p = 1</math> kann man <math>\mathcal{H}^1(\R^n)</math> als echte [[Teilmenge]] von <math>L^1(\R^n)</math> auffassen.
* <math>\mathcal{H}^p(\R^n) \cap L^1_{loc}(\R^n)</math> liegt für <math>0 dicht in <math>\mathcal{H}^p(\R^n)</math>.
* Der Hardy-Raum <math>\mathcal{H}^1(\R^n)</math> ist nicht [[Reflexiver Raum|reflexiv]], der Funktionenraum [[BMO-Raum|BMO]] ist sein [[Dualraum]].

== Anwendungen ==

Hardy-Räume finden Anwendung in der [[Funktionalanalysis]] selbst, aber ebenso in der [[Kontrolltheorie]] und in der [[Streutheorie]]. Sie spielen auch in der [[Signalverarbeitung]] eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal <math>f</math>, das für alle <math>t\in \mathbb{R}</math> von endlicher Energie ist, ordnet man das [[analytisches Signal|analytische Signal]] <math>F</math> zu, so dass <math>f(t) = \Re F(t)</math>. Ist <math>f\in L^2(\mathbb{R})</math>, so ist <math>F\in H^2(\mathbb{H})</math> und
:<math>F(t) = f(t) + i g(t).</math>
(Die Funktion <math>g</math> ist die [[Hilberttransformation|Hilberttransformierte]] von <math>f</math>). Beispielsweise ist für ein Signal <math>f(t) = A(t) \cos\varphi(t)</math>, dessen zugeordnetes analytisches Signal <math>F\in H^2(\mathbb{H})</math> ist, durch <math>F(t) = A(t)e^{i\varphi(t)}</math> gegeben.

== Literatur ==

* Joseph A. Cima and William T. Ross: ''The Backward Shift on the Hardy Space.'' American Mathematical Society 2000, ISBN 0-8218-2083-4.
* Peter Colwell: ''Blaschke Products - Bounded Analytic Functions.'' University of Michigan Press, Ann Arbor 1985, ISBN 0-472-10065-3.
* [[Peter Duren]]: ''Theory of <math>H^p</math>-Spaces.'' Academic Press, New York 1970.
* [[Kenneth Hoffman]]: ''Banach spaces of analytic functions.'' Dover Publications, New York 1988, ISBN 0-486-65785-X.
* Javier Duoandikoetxea: ''Fourier Analysis.'' American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2001, S. 126, ISBN 0-8218-2172-5.
* [[Elias M. Stein]]: ''Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals'', Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Hardy-Raum - Versionsgeschichte

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