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2026-01-04T10:56:31Z

warum nicht Extremwert hier verlinken?

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Nach dem '''Hamiltonschen Prinzip''' der [[Theoretische Mechanik|Theoretischen Mechanik]] wird die Dynamik eines physikalischen Systems dadurch beschrieben, dass die „[[Wirkung (Physik)|Wirkung]]“ einen [[Extremwert|extremalen Wert]] annimmt. Mathematisch betrachtet ist die Wirkung ein [[Funktional]], daher auch die Bezeichnung ''Wirkungsfunktional''. Einige Autoren nennen das Hamiltonsche Prinzip auch '''Prinzip der kleinsten Wirkung''', was jedoch nicht präzise ist, weil die Wirkung in vielen Fällen nicht minimal, sondern nur „[[Variationsrechnung#Stationäre Funktion|stationär]]“ (d. h. extremal) ist. Deshalb wird das Prinzip von manchen Lehrbuchautoren auch das '''Prinzip der stationären Wirkung''' genannt.<ref>Kai Willner: ''Kontinuums- und Kontaktmechanik''. Springer-Verlag, 2003, S. 288; [https://books.google.de/books?id=R8HXIEjRHHUC&pg=PA288&dq=%22Prinzip+der+station%C3%A4ren+Wirkung%22&hl=en&sa=X&ei=FKHwUP7VK8jHswaU3oHQAw&redir_esc=y#v=onepage&q=%22Prinzip%20der%20station%C3%A4ren%20Wirkung%22&f=false books.google.de]</ref>

Ein Beispiel ist das [[Fermatsches Prinzip|Fermatsche Prinzip]], nach dem ein Lichtstrahl in einem Medium von allen denkbaren Wegen vom Anfangspunkt zum Endpunkt den Weg mit der geringsten Laufzeit durchläuft.

Die [[Newtonsche Axiome|Newtonschen Bewegungsgleichungen]] folgen bei geeignet gewählter Wirkung dem Hamiltonschen Prinzip. Auch das [[Brechungsgesetz]] der Optik, die [[Maxwellgleichungen]] der [[Elektrodynamik]] und die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie]] lassen sich auf ein Prinzip der stationären Wirkung zurückführen.

== Geschichte ==
[[Pierre Louis Maupertuis|Pierre Maupertuis]] sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen (vgl. auch [[Ockhams Rasiermesser]]): Dem Prinzip der kleinsten Aktion bzw. Prinzip der kleinsten Wirkung.<ref>[[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 920.</ref> [[Leonhard Euler]] und [[Joseph Louis Lagrange|Joseph Lagrange]] klärten in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts, dass aus solch einem Prinzip die Gültigkeit von [[Euler-Lagrange-Gleichungen]] folgte. Die lagrangesche Formulierung der Mechanik stammt von 1788. 1834 formulierte [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] das nach ihm benannte Prinzip.

[[Max Planck]] deutete es als Hinweis darauf, dass sämtliche Naturprozesse zielgerichtet ablaufen. Es sei Zeichen einer [[Teleologie|Zweckbestimmung]] der Welt jenseits des menschlichen Sinnes- und Erkenntnisapparats.<ref>[[Carsten Könneker]]: ''Grenzen ziehen – oder überschreiten?'' Vorwort zum Themenbereich „Vernunft und Glaube“. In: ''[[Spektrum der Wissenschaft]]'', Januar 2012.</ref>

[[Richard Feynman]] zeigte in den 1940ern, dass sich das Hamiltonsche Prinzip in der Quantenfeldtheorie dadurch ergibt, dass alle möglichen Pfade (auch die nicht zielgerichteten) zulässig sind und zum [[Pfadintegral]] aufintegriert werden. Dabei überlagern sich Pfade mit extremaler Wirkung konstruktiv und davon abweichende destruktiv, so dass die Natur schließlich zielgerichtet erscheint.

== Mathematische Beschreibung ==
In der Mechanik ist die Wirkung das zeitliche Integral über die sogenannte [[Lagrangefunktion]]
: <math>L(t,\mathbf x,\mathbf v).</math>
Die Lagrangefunktion ist eine Funktion der Zeit <math>t</math>, des Ortes <math>\mathbf x</math> und der Geschwindigkeit <math>\mathbf v</math>.
Beispielsweise ist in Newtonscher Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse <math>m</math>, das sich im [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(t,\mathbf x)</math> bewegt, die Differenz von [[Kinetische Energie|kinetischer]] und [[Potentielle Energie|potentieller Energie]]:
: <math>L(t,\mathbf x,\mathbf v) = \frac{1}{2} m \mathbf v^2 - V(t,\mathbf x),</math>

In der relativistischen Mechanik ist die Lagrangefunktion eines freien Teilchens
: <math>L(t,\mathbf x,\mathbf v)=-m c^2\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}.</math><ref>Für ein Teilchen der Masse <math>m</math> im Schwerefeld mit der potentiellen Energie <math>\phi\,</math> ergibt sich nach der Einstein’schen Allgemeinen Relativitätstheorie in niedrigster Ordnung bezüglich <math>\phi\,</math>: <math display="inline">L(t,\mathbf x,\mathbf v)\cong-m c^2\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2 +\frac{2\phi}{mc^2}}</math>, was bei Taylorentwicklung bzgl. <math>v^2</math> und <math>\phi\,</math> genau zu <math>L=T-V</math> passt.</ref>
Die Wirkung ordnet jeder Bahn <math>\Gamma:t\mapsto \mathbf x(t)</math>, die im Laufe der Zeit <math>t</math> von einem Anfangspunkt <math>\underline{\mathbf x}=\mathbf x(t_1)
</math> zu einem Endpunkt <math>\overline{\mathbf x}=\mathbf x(t_2)</math> durchlaufen wird, folgenden Wert zu:
: <math>S[\Gamma] = \int_{t_1}^{t_2} L\bigl(t,\mathbf x(t),\mathbf v(t)\bigr) \mathrm d t .</math>
Die Wirkung <math>S</math> hat also die Dimension Energie mal Zeit.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, dass von allen denkbaren Bahnen, die anfänglich durch <math>\underline{\mathbf x}</math> und schließlich durch <math>\overline{\mathbf x}</math> laufen, diejenigen Bahnen in der Natur durchlaufen werden, die eine stationäre Wirkung haben. Für die physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet die [[erste Variation]] der Wirkung:
: <math>\delta S = 0.</math>

Sie genügen daher der [[Euler-Lagrange-Gleichung]]
: <math>
\frac{\partial L}{\partial x} -
\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}
\frac{\partial L}{\partial v} = 0.
</math><ref>zur Herleitung siehe {{Literatur |Autor=[[Lew Dawidowitsch Landau|L. Landau]], [[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz|J. M. Lifschitz]] |Titel=Lehrbuch der Theoretischen Physik |Band=Band 1: ''Mechanik'' |Auflage=14. |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2007 |ISBN=978-3-8171-1326-2 |Seiten=3 f.}}</ref>

Beispielsweise ergeben sich für die nichtrelativistische Bewegung eines Teilchens im Potential die Newtonschen Bewegungsgleichungen
:<math>-\operatorname{grad}V - m \ddot x = 0.</math>
Bei einem freien relativistischen Teilchen ist der Impuls dagegen zeitunabhängig:
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\frac{m \mathbf v}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}} = 0.</math>

== Das Hamiltonsche Prinzip für Felder ==
In der [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]] wird hingegen das Verhalten von [[Feld (Physik)|Feldern]] untersucht, d. h. auf welche Weise sie sich verändern und mit ihrer Umgebung wechselwirken.

Setzt man in das Hamiltonsche Prinzip
: <math>\delta \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \, L = 0</math>
die [[Lagrange-Dichte]] <math>\mathcal{L}</math> ein,
: <math>L = \int \mathrm d^3 r \mathcal{L} \left(\phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}, t \right)</math>  mit einem Feld <math>\,\phi = \phi(x,y,z,t),</math>
erhält man das Hamiltonsche Prinzip für Felder, mit
: <math>\delta \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \int \mathrm d^3 r \,\,\mathcal{L} = 0\,.</math>

Daraus folgt
: <math> \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \int \mathrm d^3 r \, \mathcal L = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \int \mathrm d^3 r \left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial \phi/\partial t)} \delta \frac{\partial \phi}{\partial t} + \sum \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial \phi/\partial x_i)} \delta \frac{\partial \phi}{\partial x_i}\right]</math>
und durch [[partielle Integration]], da die Randterme verschwinden,
: <math>\delta \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \int \mathrm d^3 r \, \mathcal L = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm dt \int \mathrm d^3 r\, \left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial \phi/\partial t)} - \sum \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial \phi/\partial x_i)} \right] \delta \phi</math>.

Dieser Integrand kann mithilfe des [[Raumzeit]]-[[Vierervektor]]s <math>x^\mu</math> kompakt als
: <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial \phi/\partial x^\mu)}</math>
geschrieben werden. Man erkennt, dass diese Formulierung insbesondere für die [[Relativitätstheorie]] interessant ist, da hier über den Ort ''und'' die Zeit integriert wird. Analog zum gewöhnlichen Hamiltonschen Prinzip lassen sich aus dieser abgewandelten Version die Lagrangegleichungen für Felder bestimmen.

== Zusammenhang mit der Quantenmechanik ==
Entwickelt man die Quantenmechanik beginnend vom [[Pfadintegral]]formalismus, so wird sehr schnell klar, weshalb Wirkungsminimierung zur Beschreibung von klassischen Teilchenbahnen derart effizient ist. Hierbei gilt nämlich, dass die Wirkung für Bahnen, die einem meist im täglichen Leben begegnen, sehr groß gemessen an der [[Planck-Konstante]] ist, was häufig schon aufgrund der großen Masse makroskopischer Objekte der Fall ist. Somit ist die [[Exponentialfunktion]] im Pfadintegral, die die Wirkung enthält, eine sehr schnell oszillierende Funktion. Den Hauptbeitrag zum Pfadintegral liefern nun Terme, für die die Wirkung stationär ist. Hierbei ist sehr wichtig zu beachten, dass nur die Forderung nach Stationarität folgt und nicht eine Forderung nach einem Minimalwert. Dies bietet auch die passende Rechtfertigung dafür, dass üblicherweise nicht überprüft wird, ob die Extremwerte, die man durch das Minimieren der Wirkung erhält, tatsächlich Minimalwerte sind, denn man benötigt tatsächlich nur Extremwerte, um eine klassische Beschreibung zu erhalten.

== Eigenschaften ==
Da das Wirkungsprinzip ''unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem'' ist, kann man die Euler-Lagrange-Gleichungen in solchen Koordinaten untersuchen, die dem jeweiligen Problem angemessen sind und beispielsweise Kugelkoordinaten verwenden, wenn es um die Bewegung im drehinvarianten Gravitationsfeld der Sonne geht. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichung.

Zudem lassen sich bequem ''Zwangsbedingungen'' berücksichtigen, wenn mechanische Vorrichtungen die freie Bewegung der Massepunkte einschränken wie beispielsweise die Aufhängung bei einem Kugelpendel.

Vor allem aber lässt sich in dieser Formulierung der Bewegungsgleichungen das [[Noether-Theorem]] beweisen, das besagt, dass zu jeder [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] der Wirkung eine Erhaltungsgröße gehört und dass umgekehrt zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung gehört.

Die Erhaltungsgrößen wiederum sind ausschlaggebend dafür, ob sich die Bewegungsgleichungen durch Integrale über gegebene Funktionen ''lösen'' lassen.

== Literatur ==
* de Maupertuis: ''Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles''. In: ''Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris'', 15. April 1744, S. 417–426; [[s:fr:Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles|Volltext]] ([[Wikisource]])

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]

Hamiltonsches Prinzip - Versionsgeschichte

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