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2026-02-17T05:33:43Z

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In der [[Gruppentheorie]] nennt man eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ''dedekindsche Gruppe'' (nach [[Richard Dedekind]]), wenn jede [[Untergruppe]] ein [[Normalteiler]] ist. Offenbar ist jede [[abelsche Gruppe]] eine dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden '''hamiltonsche Gruppen''' genannt (nach [[William Rowan Hamilton]]).

Die hamiltonschen Gruppen können nach einem auf Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:<ref>[[Bertram Huppert]]: ''Endliche Gruppen'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete.'' Bd. 134). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1967, Satz III,7.12.</ref>

* Jede [[Endliche Gruppe|endliche]] hamiltonsche Gruppe <math>G</math> ist von der Form <math>G\cong Q_8\times A \times (\Z/2\Z)^n</math>, wobei
** <math>Q_8</math> die [[Quaternionengruppe]] ist,
** <math>A</math> eine abelsche Gruppe ungerader [[Gruppenordnung|Ordnung]] ist
** und <math>n\in \N_0</math> ist.

Ist <math>n=0</math>, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe <math>A</math> kann [[Triviale Gruppe|einelementig]] sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste hamiltonsche Gruppe und jede hamiltonsche Gruppe enthält einen zur Quaternionengruppe [[Gruppenisomorphismus|isomorphen]] direkten Faktor.

Demnach sind <math>Q_8 \times Q_8</math> und <math>Q_8 \times \Z/4\Z</math> keine hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind <math>\{(q,q); q\in Q_8\}</math> bzw. <math>\{(1,\overline{0}), (i,\overline{1}), (-1,\overline{2}), (-i,\overline{3})\}\,</math> nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich <math>Q_8\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}</math> und <math>\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}</math> sei.

== Weblinks ==
* [[Richard Dedekind]]: ''Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 84, Nr. 4, 1897, S. 548–561, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0048 Göttinger Digitalisierungszentrum].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

Hamiltonsche Gruppe - Versionsgeschichte

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