imported>Qcomp: umformuliert: ein Satz war unvollständig; H ist im allgemeinen als Fkt der generalisierten Koordinaten u Impuls definiert warum das ganze nicht einfacher in einem Satz? Ich finde es klarer zu sagen, wann H die Energie darstellt (skleronome Randbedingungen) als wann nicht (rheonome);

2025-08-25T12:27:42Z

umformuliert: ein Satz war unvollständig; H ist im allgemeinen als Fkt der generalisierten Koordinaten u Impuls definiert warum das ganze nicht einfacher in einem Satz? Ich finde es klarer zu sagen, wann H die Energie darstellt (skleronome Randbedingungen) als wann nicht (rheonome);

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{{Dieser Artikel|behandelt die ''Hamilton-Funktion'' in der theoretischen Mechanik. Siehe [[Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie)]] für die Bedeutung in der ''Theorie der optimalen Steuerung.''}}
Die '''Hamilton-Funktion''' <math>\mathcal H(\vec q_1, \vec q_2, \ldots,\vec p_1, \vec p_2, \ldots, t)</math> eines Systems von [[Teilchen]], ist deren Gesamt[[energie]], als Funktion der [[Generalisierte Koordinate|verallgemeinerten Orte]] und [[Generalisierte Koordinate|Impulse]] dieser Teilchen und ggf. der Zeit, sofern „skleronome“, d. h. nicht zeitabhängige [[Zwangsbedingung]]en vorliegen. Sie ist nach [[William Rowan Hamilton]] benannt und wird (aus dem Englischen übernommen) auch als '''Hamiltonian''' bezeichnet. Sie ist eine [[Legendre-Transformation|Legendre-Transformierte]] der [[Lagrange-Funktion]] des Systems.

== Definition ==
Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

:<math>\mathcal H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t), \text{ mit } \dot{\mathbf{q}} = \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math>

und hängt ab von
* der Zeit <math>t</math>,
* den [[Generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] <math>\mathbf{q}=(q_1, q_2, \dotsc, q_n)</math> und
* den [[Generalisierter Impuls|generalisierten Impulsen]] <math>\mathbf{p}=(p_1, p_2, \dotsc, p_n)</math>.

Sie geht hervor aus einer [[Legendre-Transformation]] der [[Lagrange-Funktion]] <math>\mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math> bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten <math>\dot{\mathbf{q}} =(\dot q_1, \dot q_2, \dotsc, \dot q_n)</math> abhängt:

:<math>\mathcal H(t,\mathbf{q},\mathbf{p})= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math>

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten <math>\dot \mathbf{q}</math> diejenigen Funktionen

:<math>\dot \mathbf{q}(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math>

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

:<math>p_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t),
\quad i = 1, \dots, n</math>

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

== Eigenschaften ==
=== Ableitung ===
Das [[Totales Differential|totale Differential]] der Hamilton-Funktion lautet:

:<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt</math>

Aufgrund der [[Produktregel]] erhält man

:<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt,</math>

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i</math> die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

:<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt</math>

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] der Hamilton-Funktion:

:<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i</math>
:<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i</math>
:<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}</math>

=== Erhaltungsgröße ===
Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\
& = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\
& = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}
\end{align}</math>

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit <math>t</math> abhängt, ist ihr Wert eine [[Erhaltungsgröße]]:

:<math>\mathcal H \neq \mathcal H(t) \Rightarrow \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = 0 \Rightarrow \mathcal H = konst.</math>

=== Implikationen ===
Die Hamilton-Funktion bestimmt die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] der Teilchenorte und -impulse durch die [[Hamiltonsche Bewegungsgleichung|Hamiltonschen Bewegungsgleichungen]]:

:<math>\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}</math>
:<math>\dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}</math>

Ebenso bestimmt der [[Hamiltonoperator]] die Zeitentwicklung in der [[Quantenmechanik]]. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch [[Erste Quantisierung|kanonische Quantisierung]], indem man den algebraischen Ausdruck für <math>\mathcal H(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math> als Funktion von [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] <math>\mathbf{q}</math> und <math>\mathbf{p}</math> liest, die den [[kanonische Vertauschungsrelationen|kanonischen Vertauschungsrelationen]] genügen.

== Beispiele ==
=== Massenpunkt ===
Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:
:<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)</math>
Für ein relativistisches, [[freies Teilchen]] mit der [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]]
:<math>E^2-\vec p^2\,c^2=m^2\,c^4</math>
gilt für die Hamilton-Funktion<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie - |Auflage=8. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN= |Seiten= 32}}</ref>
:<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.</math>

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie - |Auflage=8. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN= |Seiten= 30}}</ref>
:<math>\mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}</math>
hängt der generalisierte Impuls <math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\vec q}}</math> gemäß
:<math>\vec p=\frac{m \dot{\vec q}}{\sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}}</math>
von der Geschwindigkeit <math>\dot{\vec q}</math> ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion
:<math>\dot{\vec q}=\frac{\vec p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}}</math>
des Impulses.

=== Harmonischer Oszillator ===
Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] ist gegeben durch<ref>{{Literatur | Autor=Torsten Fließbach| Titel= Mechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik I | Auflage= 6.| Verlag= Spektrum Akademischer Verlag|Ort= Berlin | Jahr= 2009 | ISBN=978-3-8274-2148-7 | Seiten=247 }}</ref>:

:<math>\mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E</math>

=== Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld ===
In kartesischen Koordinaten (<math>\vec q = \vec x</math>) lautet die [[Lagrange-Funktion]] eines Teilchens der Ladung <math>q</math>, das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt<ref>{{Literatur | Autor=Torsten Fließbach| Titel= Mechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik I | Auflage= 6.| Verlag= Spektrum Akademischer Verlag|Ort= Berlin | Jahr= 2009 | ISBN=978-3-8274-2148-7 | Seiten=73 }}</ref>,

:<math>\mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi</math>

Dabei ist <math>\phi</math> das [[Elektrisches Potential|elektrische Potential]] und <math>\vec A</math> das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] des magnetischen Feldes. Der [[Generalisierter Impuls|kanonische Impuls]] ist

:<math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A </math>

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

:<math>\dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right) </math>

Wird der Ausdruck für <math>\dot \vec x </math> und <math>\vec p</math> in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

:<math>
\begin{align}
\mathcal H & = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{\vec p}{m}\cdot \left( \vec p - q \vec A \right)-\frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac {q}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)\cdot \vec{A} + q \phi \\
& = \frac{1}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2+ q \phi= \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi
\end{align} </math>

== Literatur ==
*{{Literatur
| Autor=Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko
| Titel=Klassische Mechanik
| Auflage=3
| Verlag=Wiley-VCH
| Ort=Weinheim
| Datum=2006
| ISBN=3-527-40589-5
}}
*{{Literatur
| Autor=Wolfgang Nolting
| Titel=Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik
| Auflage=7
| Verlag=Springer
| Ort=Heidelberg
| Datum=2006
| ISBN=3-540-30660-9
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
[[Kategorie:William Rowan Hamilton als Namensgeber]]

Hamilton-Funktion - Versionsgeschichte