imported>Crazy1880: linkfix

2023-11-13T10:07:54Z

linkfix

Neue Seite

Unter einer '''hallschen Untergruppe''' versteht man in der [[Gruppentheorie]], einem Teilgebiet der [[Algebra]], eine [[Untergruppe]] einer [[Endliche Gruppe|endlichen Gruppe]], deren [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] [[Teilerfremdheit|teilerfremd]] zu ihrem [[Index (Gruppentheorie)|Index]] ist.

Sie sind benannt nach dem britischen [[Mathematiker]] [[Philip Hall]].

== Formale Definition ==

Sei <math>G</math> eine endliche Gruppe, <math>U \le G</math>.

<math>U</math> heißt ''hallsch'' in <math>G</math> genau dann, wenn <math>|U|</math> und <math>(G:U)</math> teilerfremd sind.

Man beachte, dass diese Definition nur für endliche Gruppen sinnvoll ist, weil der Index und die Mächtigkeit einer Untergruppe einer unendlichen Gruppe nicht beide endlich sein können.

== Beispiele ==

* Jede [[Sylow-Sätze|Sylowgruppe]] ist hallsch in der jeweiligen Gruppe
* Jede Gruppe ist hallsch in sich selbst
* Das Frobeniuskomplement einer [[Frobeniusgruppe]] ist hallsch in der Gruppe
* Die [[alternierende Gruppe]] vom Grad <math>n</math> ist genau dann hallsch in der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] vom Grad <math>n</math>, wenn <math>n \le 3</math>

== Bedeutung ==

Philip Hall hat gezeigt, dass für jede endliche [[auflösbare Gruppe]] <math>G</math> und eine Menge von [[Primzahl|Primzahlen]] <math>\pi</math> gilt:

: (1) <math>G</math> besitzt hallsche <math>\pi</math>-Untergruppen

: (2) Je zwei solche Untergruppen sind [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugiert]]

: (3) Jede <math>\pi</math>-Untergruppe von <math>G</math> ist in einer hallschen <math>\pi</math>-Untergruppe von <math>G</math> enthalten

Dabei ist eine <math>\pi</math>-Untergruppe von <math>G</math> eine Gruppe, deren Ordnung alle Zahlen aus <math>\pi</math> enthält.

Umgekehrt ist jede endliche Gruppe, die zu jeder Menge von Primzahlen <math>\pi</math> eine entsprechende hallsche Untergruppe besitzt, auflösbar.

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]
[[Kategorie:Untergruppe]]

Hallsche Untergruppe - Versionsgeschichte

imported>Crazy1880: linkfix