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2025-08-07T12:13:28Z

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Die '''Halbwinkelsätze''' sind Formeln der [[Trigonometrie]], die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>) von allgemeinen [[Dreieck|Dreiecken]] entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer [[Kugeloberfläche]] ([[sphärische Geometrie]]).

== Halbwinkelsätze in der Ebene ==
[[File:Triangle-tikz.svg|right|allgemeines Dreieck]]

* <math>\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}</math>
* <math>\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}</math>
* <math>\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}</math>
wobei <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

* <math>\cot{\frac{\alpha}{2}} = \frac{s-a}{\rho} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}</math>

ist auch als ''Kotangenssatz'' bekannt. <math>\rho</math> bezeichnet hier den
[[Inkreis]]radius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

== Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche ==

* <math>\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin b \, \sin c}}</math>
* <math>\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin s \, \sin(s-a)}{\sin b \, \sin c}}</math>
* <math>\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin s \, \sin (s-a)}}</math>
wobei <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math>

== Quellen ==
* {{Literatur
|Herausgeber=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985
|Seiten=622}}
* {{Literatur
|Autor=F. Specht
|Titel=Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks
|Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik und Physik]]. 2. Reihe. Mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten
|Band=XIII
|Datum=1894
|Seiten=223-224
|Online=[https://zbmath.org/25.0927.01 Eintrag ''zbMATH Open'']}}

[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]

Halbwinkelsatz - Versionsgeschichte

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