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2025-08-06T13:08:34Z

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[[Datei:Halbwertsbreite.svg|mini|upright=1.5|Halbwertsbreite]]
In der [[Analysis]] ist die '''Halbwertsbreite''' einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit einem [[Extremwert|Maximum]] die Differenz zwischen den beiden Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hälfte des Maximums abgesunken sind, anschaulich also die „Breite bei halber Höhe“.

Entsprechend ist im Englischen und in der Technik für die Halbwertsbreite die Bezeichnung '''FWHM''', {{EnS|Full Width at Half Maximum}}, gebräuchlich. Ist die Funktion von der Zeit abhängig, wird die Bezeichnung '''FDHM''', {{EnS|Full Duration at Half Maximum}}, verwendet.

== Definition ==
Eine Funktion <math>f(x)</math> habe bei <math>x_\mathrm{max}</math> ein Maximum. An den Stellen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> ist der Wert der Funktion auf die Hälfte des Maximums abgesunken:
:<math>f(x_1) = f(x_2) = \frac{1}{2}f(x_\mathrm{max})\,</math>.

Dann ist die Halbwertsbreite die Differenz <math>|x_1-x_2|</math>.

== Umrechnung ==
Für eine feste Funktionsform kann man die Halbwertsbreite in anders definierte Breiten der Funktion umrechnen. So kann man z. B. bei der [[Normalverteilung]] die FWHM und die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> ineinander umrechnen:

:<math>\mathrm{FWHM} = 2\sqrt{2\ln 2}\,\sigma \approx 2{,}3548\cdot\sigma</math>

Der Bereich der FWHM umfasst dabei ca. 76 % der Fläche der Normalverteilung.

== Peakverbreiterung ==
Die Zunahme der Halbwertsbreite eines [[Peak]]s wird als Peakverbreiterung bezeichnet. Dabei bleibt die [[Intensität (Physik)|Intensität]] des Peaks (d. h. sein [[Integralrechnung|Integral]] über der Ausdehnungsgröße) meist gleich, dafür nimmt die Peakhöhe ab.

Mögliche Ursachen für eine Peakverbreiterung sind z. B. in der Physik die [[Linienverbreiterung]], beispielsweise Emissionslinien zeigen energetische Verbreiterung, oder die [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] in der Wellenpakete mit der Zeit zerfließen.

== Anwendungsbeispiele ==
=== Antennen ===
[[Datei:Kartesisches Antennendiagramm1.png|mini|upright=1.5|Antennendiagramm einer Parabolantenne (Ausschnitt)]]
In der [[Antennentechnik]] wird der [[Richtfaktor]] einer Antenne als Halbwertsbreite oder „Öffnungswinkel“ angegeben. Gemeint ist hier der Abstand zwischen den −3-[[Dezibel|dB]]-Leistungsgrenzen. Die Halbwertsbreite der Antenne im nebenstehenden Beispiel ist also 1,67°.

Die Halbwertsbreite in einem horizontalen Richtdiagramm ist oft symmetrisch, weil die Ausbreitungsbedingungen links und rechts vom Leistungsmaximum meist ungefähr gleich sind. Bei einem vertikalen Richtdiagramm ist die Halbwertsbreite meist unsymmetrisch verteilt, weil an der unteren Flanke des [[Antennendiagramm]]s zum Beispiel der Einfluss der Erdoberfläche als Reflektor wirksam sein kann und an der oberen Flanke nicht.

=== Beleuchtung ===
Die [[Abstrahlcharakteristik]] einer [[Leuchte]] (mit Optik) wird meist vereinfacht mit einem Winkel angegeben. Dieser „Abstrahlwinkel“ ist ebenfalls der Halbwertswinkel, d. h. der volle Winkel zwischen den zwei Punkten einer Leuchtebene, an denen die [[Lichtstärke (Photometrie)|Lichtstärke]] nur noch die Hälfte des Maximums erreicht. Bei dieser vereinfachten Angabe wird von einer zur Leuchtachse [[Symmetrie (Geometrie) #Rotationssymmetrie 3D|rotationssymmetrisch]]en [[Lichtverteilungskurve]] ausgegangen.

=== Optische Filter ===
Die Halbwertsbreite findet bei der Charakterisierung von Bandpass- und Bandsperrfiltern Anwendung. Die zugrundeliegende Funktion beschreibt hierbei den Transmissionsgrad in Abhängigkeit der Wellenlänge: <math>\tau = f(\lambda)</math>. Bei halbmaximaler Transmission <math>\tfrac{1}{2}\cdot\tau_\text{max}</math> des Transmissionspeaks wird die spektrale Halbwertsbreite definiert als <math>\Delta\lambda_{0{,}5} = |\lambda_1 - \lambda_2|</math>.<ref name="v=GzbKb59my3U"/> Optische [[Interferenzfilter]] mit sehr geringer FWHM (Schmal-Bandpassfilter, <math>\Delta\lambda_{0,5}\approx</math> 1 nm) besitzen neben dem hochselektiven Transmissionsgrad für einen definierten Wellenlängenbereich auch weitere technische Eigenschaften, die beim praktischen Einsatz berücksichtigt werden müssen, wie z. B. eine hohe geometrische Winkelabhängigkeit des Transmissionsgrads der auftreffenden Lichtwellen im Transmissionsintervall.<ref name="v=IGdG_7NuzkI"/>

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="v=GzbKb59my3U">{{Literatur |Autor=Martin Löffler-Mang, Helmut Naumann, Gottfried Schröder |Titel=Handbuch Bauelemente der Optik: Grundlagen, Werkstoffe, Geräte, Messtechnik|Auflage=8|Verlag=Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG|Datum=2020|ISBN=978-3-446-42625-2 |Seiten=248ff}}</ref>
<ref name="v=IGdG_7NuzkI">{{Internetquelle|url=https://www.rose-hulman.edu/class/ee/hoover/ece554_1/Interference_Filters_Technical_Note.pdf|titel=Interference Filters - Optical Components|abruf=2022-02-22}}</ref>
</references>

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/FullWidthatHalfMaximum.html Beispiele für Halbwertsbreiten gebräuchlicher Funktionen] (engl.)

[[Kategorie:Analysis]]

Halbwertsbreite - Versionsgeschichte

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