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2025-01-28T17:22:51Z

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In der [[Mathematik]] heißt eine [[reellwertige Funktion]] <math>f</math> '''oberhalbstetig''' (oder '''halbstetig von oben''') in einem Punkt <math>x</math>, wenn die Funktionswerte für [[Funktion (Mathematik)|Argumente]] nahe bei <math>x</math> von <math>x</math> ausgehend nicht nach oben springen. Wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion '''unterhalbstetig''' in <math>x</math> (oder '''halbstetig von unten''').

== Definition ==

[[Datei:Upper_semi.svg|thumb|Oberhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt <math>(x_0,f(x_0))</math> an)]]
Sei <math>X</math> ein [[topologischer Raum]], <math>x</math> in <math>X</math> und <math>f\colon X \to \R</math> eine reellwertige Funktion. <math>f</math> heißt in <math>x_0</math> ''oberhalbstetig'', wenn für jedes <math>\varepsilon > 0</math> eine Umgebung <math>U</math> von <math>x_0</math> existiert, so dass <math>f(y) < f(x_0) + \varepsilon</math> für alle <math>y</math> in <math>U</math> gilt. Ist <math>X</math> ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein [[metrischer Raum]], so ist <math>f</math> genau dann oberhalbstetig in <math>x</math>, falls
:<math>\limsup_{y\to x} f(y) \le f(x)</math>.

<math>f</math> heißt oberhalbstetig auf einer Teilmenge <math>M</math> von <math>X</math>, wenn sie in jedem Punkt <math>x_0\in M</math> oberhalbstetig ist. Ist dabei <math>M</math> der ganze topologische Raum <math>X</math>, so heißt <math>f</math> oberhalbstetig.

[[Datei:Lower_semi.svg|thumb|Unterhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt <math>(x_0,f(x_0))</math> an)]]
Analog heißt <math>f</math> im Punkt <math>x_0</math> ''unterhalbstetig'', wenn für jedes <math>\varepsilon > 0</math> eine Umgebung <math>U</math> von <math>x_0</math> existiert, so dass <math>f(y) > f(x_0) - \varepsilon</math> für alle <math>y</math> in <math>U</math>. Ist <math>X</math> ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist <math>f</math> genau dann unterhalbstetig in <math>x</math>, falls
:<math>\liminf_{y\to x} f(y) \ge f(x)</math>.

<math>f</math> heißt unterhalbstetig auf einer Teilmenge <math>M</math> von <math>X</math>, wenn sie in jedem Punkt <math>x_0\in M</math> unterhalbstetig ist. Ist dabei <math>M</math> der ganze topologische Raum <math>X</math>, so heißt <math>f</math> unterhalbstetig.

Zusammenhang der beiden Halbstetigkeitsbegriffe: Die Funktion <math>f</math> ist genau dann oberhalbstetig in <math>x_0\in X</math> bzw. auf <math>M\subseteq X</math> wenn <math>-f</math> unterhalbstetig in <math>x_0\in X</math> bzw. auf <math>M\subseteq X</math> ist.

== Beispiele ==

Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = 0</math> für <math>x<0</math> und <math>f(x) = 1</math> für <math>x\geq 0</math> ist oberhalbstetig, aber nicht unterhalbstetig in <math>x=0</math>.
Denn entfernt man sich mit den Argumenten in negative Richtung von der 0, dann springen die Funktionswerte plötzlich von 1 auf 0, aber sie springen nicht nach oben, egal wohin man sich entfernt.

Die [[Gaußklammer]] ist oberhalbstetig, denn sie verhält sich an jeder ganzen Zahl so wie die eben beschriebene Funktion <math>f</math>.

== Eigenschaften ==

Eine Funktion <math>f</math> ist [[Stetige Funktion|stetig]] in <math>x_0</math> genau dann, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist. Dies folgt aus einer Umformulierung der Stetigkeitsbedingung, welche lautet, dass es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> ein <math>\delta>0</math> gibt, sodass für alle <math>x</math> aus der <math>\delta</math>-Umgebung von <math>x_0</math> die Ungleichung <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math> gilt. Diese ist äquivalent zu <math>-\varepsilon\leq f(x)-f(x_0)\leq\varepsilon</math>. Hier bedeutet das linke Ungleichheitszeichen die untere Halbstetigkeit und das rechte Ungleichheitszeichen die obere Halbstetigkeit.

Sind <math>f</math> und <math>g</math> zwei in <math>x</math> oberhalbstetige Funktionen, dann ist auch ihre Summe <math>f+g</math> in <math>x</math> oberhalbstetig. Sind beide Funktionen nichtnegativ in einer Umgebung von <math>x</math>, dann ist auch das Produkt <math>fg</math> in <math>x</math> oberhalbstetig. Die Multiplikation einer positiven oberhalbstetigen Funktion mit einer negativen [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] ergibt eine unterhalbstetige Funktion.

Ist <math>D</math> eine [[Kompakter_Raum|kompakte Menge]] (zum Beispiel ein [[abgeschlossenes Intervall]] <math>[a, b]</math> mit reellen Zahlen <math> a < b</math>) und <math>f\colon D \to \R</math> oberhalbstetig, dann hat <math>f</math> ein Maximum auf <math>D</math>. Analoges gilt für eine unterhalbstetige Funktion und ihr Minimum.

Sind die Funktionen <math>f_n\colon X \to \R</math> (für alle <math>n \in\N</math>) unterhalbstetig und ihr [[Supremum]]
:<math>f(x) := \sup \{f_n(x) : n \in \N\}</math>
kleiner als <math>\infty</math> für jedes <math>x</math> in <math>X</math>, dann ist <math>f</math> unterhalbstetig. Selbst wenn alle <math>f_n</math> stetig sind, muss <math>f</math> aber nicht stetig sein.

== Alternative Beschreibung ==

Durch eine geeignete Wahl einer [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf <math>\R</math> können oberhalbstetige und unterhalbstetige Funktionen als stetige Funktionen aufgefasst werden, und somit lassen sich einige der Eigenschaften direkt aus allgemeinen Aussagen aus der Topologie herleiten.

<math>O_{<}:=\Big\{\left]-\infty,a\right[;a\in\R\cup\{+\infty\}\Big\}\cup\{\varnothing\}</math> ist eine Topologie auf <math>\R</math>. Sei <math>(X,O)</math> ein topologischer Raum. Eine Funktion <math>f\colon X\to\R</math> ist genau dann oberhalbstetig, wenn <math>f</math> als Abbildung <math>(X,O)\to (\R,O_{<})</math> stetig ist.

Für unterhalbstetige Funktionen verwendet man analog die Topologie <math>O_{>}:=\Big\{\left]a,\infty\right[;a\in\R\cup\{-\infty\}\Big\}\cup\{\varnothing\}</math>.

== Schwach halbstetige Funktionen ==

Eine Verallgemeinerung der halbstetigen Funktionen sind die schwach halbstetigen Funktionen. Sei <math> X </math> ein [[normierter Raum]] und <math> S \subset X </math> eine Teilmenge. Eine Funktion oder ein Funktional <math> f\colon X \supset S \to \R </math> heißt
* '''schwach unterhalbstetig''' auf der Menge <math> S </math>, wenn für jede Folge <math> (x_n)_{n \in \N} </math> in <math> S </math>, die [[Schwache Konvergenz|schwach gegen]] ihren schwachen Grenzwert <math> \tilde x \in S </math> konvergiert, gilt, dass
:<math> \liminf_{n \to \infty}f(x_n) \geq f(\tilde x) </math>.
* '''schwach oberhalbstetig''' auf der Menge <math> S </math>, wenn für jede Folge <math> (x_n)_{n \in \N} </math> in <math> S </math>, die schwach gegen ihren schwachen Grenzwert <math> \tilde x \in S </math> konvergiert, gilt, dass
:<math> \limsup_{n \to \infty}f(x_n) \leq f(\tilde x) </math>.

Beispielsweise sind stetige [[quasikonvexe Funktion]]en schwach unterhalbstetig. Äquivalent zur schwachen Unterhalbstetigkeit einer Funktion ist, dass ihr [[Epigraph (Mathematik)|Epigraph]] eine [[schwach folgenabgeschlossene Menge]] ist. Schwach unterhalbstetige Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Optimierung, da sie auf [[schwach folgenkompakte Menge|schwach folgenkompakten Mengen]] immer ein Minimum annehmen.

== Literatur ==

*{{Literatur |Autor = Carl Geiger, Christian Kanzow |Titel = Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben |Verlag = Springer-Verlag |Ort = Berlin Heidelberg New York |Jahr = 2002 |ISBN = 3-540-42790-2}}

[[Kategorie:Analysis]]

Halbstetigkeit - Versionsgeschichte

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