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2025-05-23T06:32:37Z

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Ein '''halbregulärer Raum''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der mengentheoretischen [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Er ist eine Verallgemeinerung des [[Regulärer Raum|regulären Raums]], dessen [[Regulär offene Menge|regulär offene Teilmengen]] eine [[Basis (Topologie)|Basis]] bilden.

== Definition ==
Ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> heißt halbregulär, falls die regulär offenen Teilmengen eine [[Basis (Topologie)|Basis]] des Raums <math>X</math> bilden.<ref name="Aleksandrov">[[Pawel Sergejewitsch Alexandrow|Pavel S. Aleksandrov]]: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 7. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1657-8, S. 122.</ref> Dabei heißt eine Teilmenge <math>G</math> eines topologischen Raums <math>X</math> genau dann regulär offen, wenn <math>G</math> das [[Innerer Punkt|Innere]] seines [[Abgeschlossene Menge|Abschlusses]] ist. Das heißt, <math>G</math> ist genau dann regulär offen, wenn <math>G = \operatorname{int}(\operatorname{cl}(G))</math> gilt.<ref name="Ridder">Lothar Ridder: ''Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie'' (= ''Philosophische Abhandlungen.'' Bd. 83). Klostermann, Frankfurt am Main 2002, ISBN 3-465-03168-7, S. 170.</ref> Regulär offene Mengen werden auch kanonisch offene Mengen genannt.<ref name="Aleksandrov" />

== Eigenschaften ==
* Alle regulär offenen Teilmengen eines topologischen Raums bilden zusammen mit der [[Halbordnung]] <math>\subseteq</math> und den [[Reguläre Mengenoperation|regulären Mengenoperationen]] <math>\cap^\ast</math>, <math>\cup^\ast</math>, <math>\mathrm{C}^\ast</math> eine vollständige [[boolesche Algebra]].<ref name="Ridder" />
* Jeder reguläre Raum <math>X</math> ist auch halbregulär. Insbesondere bilden die regulär offenen Teilmengen eine Basis von <math>X</math>, aber nicht alle topologischen Räume, deren regulär offene Teilmengen eine Basis bilden, sind regulär.
* Jeder topologische Raum <math>X</math> kann in einen halbregulären Raum [[Einbettung (Mathematik)|eingebettet]] werden. Dazu betrachtet man die Menge <math>X \times I</math>, wobei <math>I</math> das abgeschlossene Einheitsintervall <math>[0,1]</math> ist, und erklärt darauf eine Topologie. Die [[Offene Menge|offenen Mengen]] dieser Topologie sind für <math>(x,y) \in X \times I</math> mit <math>y \neq 0</math> für kleine positive <math>\epsilon</math> durch <math>\{(x,z): y - \epsilon < z < y + \epsilon \}</math> gegeben. Und für <math>(x,0) \in X \times I</math> sind sie durch <math>\{(x',z) : x' \in U, 0 \leq z < \epsilon_U\}</math> gegeben, wobei <math>U</math> eine offene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>x \in X</math> für alle <math>x' \in U</math> und <math>\epsilon_U</math> klein und positiv ist. Dieser Raum ist selbst halbregulär und <math>X</math> ist eingebettet als abgeschlossener, [[Nirgends dichte Menge|nirgends dichter Unterraum]].
* Aus der dritten Eigenschaft ist ersichtlich, dass Unterräume halbregulärer Räume im Allgemeinen nicht halbregulär sind.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Stephen Willard
|Titel=General Topology
|Verlag=Dover Publications
|Ort=Mineola NY u. a.
|Datum=2004
|ISBN=0-486-43479-6
|Kapitel=Kap. 3D & 14E
|Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Trennbarkeit]]

Halbregulärer Raum - Versionsgeschichte

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