imported>HilberTraum: /* Spezialfall ℝn */ erg

2020-03-08T19:43:30Z

Spezialfall ℝn: erg

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Ein '''Halbraum''' ist in der [[Mathematik]] eine durch eine [[Hyperebene]] begrenzte Teilmenge eines [[Raum (Mathematik)|Raum]]es beliebiger Dimension. Wenn die Hyperebene selbst im Halbraum enthalten ist, heißt dieser ''abgeschlossen'', sonst ''offen''. Der Begriff Halbraum leitet sich daraus ab, dass die begrenzende Hyperebene den Raum in zwei Teile zerlegt. Terminologie und Vorstellung sind eine Verallgemeinerung aus dem dreidimensionalen [[Anschauungsraum]], wo eine Ebene einen Halbraum begrenzt.

== Formale Definition ==
=== Spezialfall ℝ<sup>''n''</sup> ===
Für <math>a \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}</math>, <math>\beta \in \mathbb{R}</math> und dem [[Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> nennt man

:<math>\{x \in \mathbb R^n \mid \langle a,x\rangle = \beta \}</math>

eine ''[[Hyperebene]]'',

:<math>\{x \in \mathbb R^n \mid \langle a,x\rangle \ge \beta \}</math>

einen '''abgeschlossenen Halbraum''' und

:<math>\{x \in \mathbb R^n \mid \langle a,x\rangle > \beta \}</math>

einen '''offenen Halbraum'''.

=== Allgemeine Definition ===
Es sei <math>V</math> ein reeller [[Vektorraum]]. Dann heißt für jede [[Linearform]] <math>\lambda\colon V\to\mathbb R</math> mit <math>\lambda \neq 0</math> und jedes <math>\beta\in\mathbb R</math> die Teilmenge
: <math>\{v\in V\mid\lambda(v)\geq\beta\}</math> bzw. <math>\{v\in V\mid\lambda(v)>\beta\}</math>
ein '''abgeschlossener''' bzw. '''offener Halbraum'''.

=== Affine Räume ===
Die allgemeine Definition für reelle Vektorräume beliebiger [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] lässt sich auf endlichdimensionale [[Affiner Raum|affine Räume]] über einem [[Geordneter Körper|geordneten Körper]] übertragen. Der übertragene Begriff wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] im zweidimensionalen Fall auch auf [[Affine Ebene|affine Inzidenzebenen]] verallgemeinert. → Siehe dazu [[Seiteneinteilung]].

== Anschauliche Spezialfälle ==
* Auf einer Geraden <math>\mathbb{R}</math> sind die Hyperebenen genau die [[Punkt (Geometrie)|Punkt]]e, und ein Halbraum ist somit eine durch einen Punkt abgegrenzte Teilmenge der Gerade <math>\mathbb{R}</math>. In diesem Spezialfall spricht man auch von einer [[Halbgerade]]n.
* In der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> sind die Hyperebenen genau die [[Gerade]]n, und somit ist ein Halbraum eine durch eine Gerade abgegrenzte Teilmenge des <math>\mathbb{R}^2</math>. In diesem Spezialfall spricht man auch von einer [[Halbebene]].
* Die Hyperebenen des Raums <math>\mathbb{R}^3</math> sind genau die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]]n, und ein Halbraum ist eine durch eine Ebene begrenzte dreidimensionale Teilmenge des Raumes.

[[Kategorie:Geometrie]]

Halbraum - Versionsgeschichte

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