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2025-04-05T18:57:29Z

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[[Datei:Seminorm qtl1.svg|mini|Die Funktion <math> p(x,y) = | x-y |</math> ist eine Halbnorm im Raum <math>\R^2</math>]]
In der [[Mathematik]] versteht man unter einer '''Halbnorm''' (oder unter einer '''Seminorm''')<ref group="A">Damit verwandt, aber nicht identisch sind [[Quasinorm]]en und [[Pseudonorm]]en.</ref> ein [[Funktional]], das sowohl [[Homogene Funktion|absolut homogen]] als auch [[Additivität#Sub- und Superadditivität|subadditiv]] ist. Mit dem Konzept der Halbnorm wird das Konzept der [[Norm (Mathematik)|Norm]] verallgemeinert, indem auf die Eigenschaft der [[Definitheit|positiven Definitheit]] verzichtet wird. Jede Halbnorm ist [[Positive und negative Zahlen|nichtnegativ]], [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] bezüglich [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichenumkehr]], [[Sublineare Funktion|sublinear]] und [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex]]. Aus jeder Halbnorm kann durch [[Restklasse]]nbildung eine zugehörige Norm abgeleitet werden. Mit Hilfe von Familien von Halbnormen können auch [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Vektorräume]] definiert werden. Halbnormen werden insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und in der [[Funktionalanalysis]] studiert. Eng verwandt mit dem Konzept der Halbnorm ist das Konzept des [[Minkowski-Funktional]]s.

== Definition ==
Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K} \in \{\R, \Complex\}</math>. Eine Halbnorm auf <math>V</math> ist eine Abbildung <math>p \colon V \to \R_0^{+}</math> mit den Eigenschaften [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]],<ref name="seminorm 24-25">{{Literatur |Autor=Walter Rudin |Titel=Functional Analysis |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1991 |Seiten=24–25 |Sprache=en}}</ref> das heißt für alle <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und für alle <math>x,\,y \in V</math> gelten
:<math>p(\lambda x) = |\lambda| p(x)</math>   (absolute Homogenität)
und
:<math>p(x+y) \leq p(x) + p(y)</math>   (Subadditivität),

wobei <math>|\cdot|</math> den [[Betragsfunktion|Betrag]] des Skalars darstellt. Ein Vektorraum zusammen mit einer Halbnorm heißt [[halbnormierter Raum]] <math>(V, p)</math>.

== Beispiele ==
* Jede [[Norm (Mathematik)|Norm]] ist eine Halbnorm, die zudem auch [[Definitheit|positiv definit]] ist.
* Die [[Nullfunktion]] <math>p \equiv 0</math>, die jedes Element des Vektorraums auf Null abbildet, ist eine Halbnorm.
* Der Betrag einer reell- oder komplexwertigen [[Lineare Abbildung|linearen Funktion]] ist eine Halbnorm.
* Jede [[Definitheit|positiv semidefinite]] [[symmetrische Bilinearform]] oder – im [[Komplexe Funktion|komplexen]] Fall – [[hermitesche Sesquilinearform]]<math> ( \cdot, \cdot )</math> induziert durch Setzung von <math>p(x):= \sqrt{( x, x )}</math> eine Halbnorm. Hierbei geht ein, dass die [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung#Verallgemeinerung für positiv semidefinite, symmetrische Bilinearformen|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] für jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform (beziehungsweise hermitesche Sesquilinearform) gilt, woraus sich die Subadditivität folgern lässt.
* Ist <math>X</math> ein [[topologischer Raum]] und <math>K\subset X</math> [[Kompakter Raum|kompakt]], so ist durch <math>\textstyle p_K(f) := \sup_{x\in K}|f(x)|</math> eine Halbnorm auf dem Raum aller stetigen Funktionen <math>X \rightarrow \Complex</math> gegeben. Hier wird verwendet, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind und daher das Supremum endlich bleibt.
* Das Minkowski-Funktional <math> p_U </math> zu einer [[Absorbierende Menge|absorbierenden]], [[Absolutkonvexe Menge|absolutkonvexen]] Teilmenge <math>U</math> eines Vektorraumes.
* Auf dem [[Dualraum]] <math>X^*</math> eines normierten Raumes definiert <math>p_x(\varphi) = |\varphi(x)|</math> für <math>x \in X</math> und <math>\varphi \in X^*</math> eine Halbnorm.
* Auf der Menge <math>\mathfrak{L}(X,Y)</math> der beschränkten [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] lassen sich durch <math>p_x(T) = \|Tx \|</math> (<math>x \in X</math>) sowie durch <math>p_{x,\psi}(T) = |\psi(Tx)|</math> (<math>x \in X, \psi \in Y^*</math>) Halbnormen definieren.

== Eigenschaften ==
Durch Setzen von <math>\lambda = 0</math> in der Definition folgt sofort

:<math>p(0) = 0</math>,

die Halbnorm des [[Nullvektor]]s ist damit null. Im Gegensatz zu Normen kann es aber auch Vektoren <math>x \neq 0</math> geben, deren Halbnorm <math>p(x)=0</math> ist. Durch Setzen von <math>y = -x</math> folgt dann aus der Subadditivität (auch [[Dreiecksungleichung]] genannt) und der absoluten Homogenität die [[Positive und negative Zahlen|Nichtnegativität]]

:<math>p(x) \geq 0</math>

für alle <math>x \in V</math>. Durch Setzen von <math>\lambda = -1</math> sieht man weiter, dass eine Halbnorm [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrisch]] bezüglich [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichenumkehr]] ist, das heißt

:<math>p(x) = p(-x)</math>

und aus der Anwendung der Dreiecksungleichung auf <math>x-y+y</math> folgt daraus dann die [[Dreiecksungleichung#Umgekehrte Dreiecksungleichung|umgekehrte Dreiecksungleichung]]

:<math>| p(x) - p(y) | \leq p(x - y)</math>.

Weiter ist eine Halbnorm [[Sublineare Funktion|sublinear]], da absolute Homogenität [[Homogene Funktion#Positive Homogenität|positive Homogenität]] impliziert, und auch [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex]], denn es gilt für reelles <math>0 \leq t \leq 1</math>

:<math>p(tx + (1-t)y) \leq p(tx) + p((1-t)y) = tp(x) + (1-t)p(y)</math>.

Umgekehrt ist jede absolut homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit eine Halbnorm, was durch Setzen von <math>t = \tfrac{1}{2}</math> und Multiplikation mit <math>2</math> ersichtlich ist.

== Restklassenbildung ==
Aufgrund der absoluten Homogenität und der Subadditivität ist die Menge

:<math>Z = \{ x \in V\colon p(x) = 0 \}</math>

der Vektoren mit Halbnorm null ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>. Daher kann eine [[Äquivalenzrelation]] auf <math>V</math> durch

:<math>x \sim y :\Longleftrightarrow x - y \in Z</math>

definiert werden. Der Vektorraum <math>\tilde{V}</math> aller [[Äquivalenzklasse]]n aus obiger Äquivalenzrelation ist zusammen mit der Halbnorm <math>p</math> ein [[normierter Raum]]. Man nennt diesen Vorgang [[Restklasse]]nbildung in <math>V</math> bezüglich der Halbnorm und bezeichnet <math>\tilde{V}</math> als [[Faktorraum]] <math>V / Z</math>. Diese Konstruktion kommt beispielsweise bei der Definition der [[Lp-Raum|''L<sup>p</sup>''-Räume]] zum Einsatz.

== Familie von Halbnormen ==
In der [[Funktionalanalysis]] werden im Bereich der [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Vektorräume]] nicht zuletzt [[Familie (Mathematik)|Familien]] <math>(p_i)_{i \in I}</math> von Halbnormen betrachtet. Mit diesen kann es möglich sein, auf dem ursprünglichen Vektorraum <math>V</math> eine [[Topologischer Raum|Topologie]] zu definieren, die ihn zu einem [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] macht. Dazu legt man fest, dass die Menge <math>U \subset V</math> offen ist, falls für <math>x \in U</math> ein <math>\epsilon > 0</math> und endlich viele Indizes <math>i_1, \ldots ,i_r</math> existieren, sodass
:<math>p_{i_j}(y) < \epsilon,\, j=1, \ldots ,r \Rightarrow x+y \in U</math>
für alle <math>y\in V</math> gilt.

In diesem Zusammenhang sind Familien mit einer bestimmten [[Trennungsaxiom|Trennungseigenschaft]] von besonderem Interesse. Eine Familie von Halbnormen <math>(p_i)_{i \in I}</math> heißt ''trennend'', falls es für jedes <math>x \in V \setminus \{0\}</math> mindestens eine Halbnorm <math>p_i</math> gibt, so dass <math>p_i(x) \neq 0</math> gilt. Ein Vektorraum <math>V</math> ist nämlich genau dann bezüglich der oben erklärten Topologie [[Hausdorff-Raum|hausdorffsch]], wenn die Familie von Halbnormen trennend ist. Solch ein topologischer Vektorraum wird lokalkonvexer Vektorraum genannt.<ref name="seminorm 26-27">{{Literatur |Autor=Walter Rudin |Titel=Functional Analysis |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1991 |Seiten=26–27 |Sprache=en}}</ref>

== Ein Satz von Gelfand ==
In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem [[Mathematiker]] [[Israel Moissejewitsch Gelfand|Izrail M. Gelfand]] geliefert wurden, ein [[Lehrsatz|Satz]], der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem [[Reeller Vektorraum|reellen]] [[Normierter Raum|normierten Raum]] <math>X</math> mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.<ref name="LWK-GPA-01">Kantorowitsch/Akilow: ''Funktionalanalysis in normierten Räumen.'' 1978, S. 206–207</ref>

=== Formulierung des Satzes ===
Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von [[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch|Kantorowitsch]]/[[Gleb Pawlowitsch Akilow|Akilow]] lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:<ref name="LWK-GPA-002">Kantorowitsch/Akilow, op. cit., S. 206</ref>
: ''Gegeben seien ein normierter <math>\R</math>-Vektorraum <math>(X, \| \cdot \|)</math> und darauf eine [[numerische Funktion]] <math>p \colon X \to [0, +\infty]</math>, welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist.''<ref group="A">In ihrer Monographie bezeichnen Kantorowitsch und Akilow eine derartige numerische Funktion <math>p</math> auf einem reellen normierten Raum als ''konvexes Funktional''. Dabei lassen sie ausdrücklich auch <math>+\infty</math> als <math>p</math>-Wert zu und fordern dabei die absolute Homogenität allein für <math>x \in X</math> mit <math>p(x) < +\infty</math>.</ref>
: ''Dabei sei <math>p</math> [[unterhalbstetig]] und zudem existiere in <math>X</math> eine [[Teilmenge]] [[Menge zweiter Kategorie|zweiter Kategorie]] <math>K \subset X</math> mit der Eigenschaft, dass für alle <math>x \in K</math> die [[Ungleichung]] <math>p(x) < +\infty</math> gilt.''
:
: ''Dann gibt es eine [[Konstante]] <math>M > 0</math> mit <math>p(x) \leq M \, \| x \|</math> für alle <math>x \in X</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Israel Moissejewitsch Gelfand|Izrail M. Gelfand]]
|Titel=Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires
|Sammelwerk=Sap. matem. t-wa
|Band=4
|Datum=1936
|Seiten=35–40
|Sprache=fr}}
* {{Literatur
|Autor=L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow
|Titel=Funktionalanalysis in normierten Räumen
|TitelErg=In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. [[P. Heinz Müller]], Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von [[Heinz Langer (Mathematiker)|Heinz Langer]], Dresden, und Rolf Kühne, Dresden
|Verlag=Verlag Harri Deutsch
|Ort=Thun / Frankfurt am Main
|Datum=1978
|ISBN=3-87144-327-1
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kantorowitsch&s5=Akilow&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=458199 MR0458199]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Walter Rudin]]
|Titel=Functional Analysis
|Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
|Auflage=2.
|Verlag=[[McGraw-Hill]]
|Ort=New York
|Datum=1991
|ISBN=0-07-054236-8
|Sprache=en
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=E.A. Gorin|Titel=Semi-norm|Url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Semi-norm}}
* {{MathWorld|id=Seminorm|title=Seminorm|author=Todd Rowland}}
* {{PlanetMath |id=Seminorm |title=Seminorm |author=Robert Milson, D. Allan Drummond}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Halbnorm - Versionsgeschichte

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