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2025-10-05T15:42:17Z

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[[Datei:semicircle.svg|mini|Ein Halbkreis mit Radius <math>r</math>]]
Der '''Halbkreis''' beschreibt die eindimensionale Menge an [[Geometrischer Ort|Punkten]], welche die Hälfte eines [[Kreis]]es formen. Der [[Innenwinkel]] eines Halbkreises misst 180° bzw. <math>\pi</math> [[Radiant (Einheit)|Radian]], somit ist der Halbkreis nur entlang einer Achse [[Achsensymmetrie|symmetrisch]]. Die Hälfte einer [[Kreisscheibe]] wird auch als Halbkreis bezeichnet, ist allerdings eine zweidimensionale Form, die zusätzlich den [[Durchmesser]] des Kreises und alle eingeschlossenen Punkte beinhaltet. Nach dem [[Satz des Thales]] ist jedes [[Dreieck]] mit zwei [[Ecke]]n auf den Endpunkten eines Halbkreises und der dritten Ecke an beliebiger Position auf dem Halbkreis ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit [[Rechter Winkel|rechtem Winkel]] am dritten Eckpunkt.

Alle Geraden, die einen Halbkreis [[Orthogonalität|orthogonal]] schneiden, sind [[Kopunktalität|kopunktal]].

== Parametrisierung ==
Der Halbkreis mit Radius <math>r</math> und Mittelpunkt <math>(x_0,y_0)</math>, der sich vollständig oberhalb von <math>y=y_0</math> befindet, lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
:<math>y=y_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}</math>.
Der entsprechende Halbkreis, der vollständig unterhalb von <math>y=y_0</math> liegt, lässt sich ausdrücken als:
:<math>y=y_0-\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}</math>.

== Geometrische Konstruktionen ==
<div style="float:right;">[[Datei:01 Satz des Thales.gif |mini |hochkant=1.2|Veranschaulichung des Satzes des Thales]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:SemicircleMeans.svg |mini |hochkant=1.1 |Ein Halbkreis mit arithmetischem und geometrischem Mittel der Längen <math>a</math> und <math>b</math>.]]</div>
Bei der [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] kann der Halbkreis verwendet werden, um das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische]] und das [[Geometrisches Mittel|geometrische]] Mittel zweier Längen herzuleiten. In einem Halbkreis mit dem Durchmesser <math>d=a+b</math> ergibt sich das arithmetische Mittel von <math>a</math> und <math>b</math> als Radius <math>r</math>. Wählt man wieder <math>d=a+b</math> als Durchmesser und konstruiert eine Orthogonale in dem Punkt, an dem sich <math>a</math> und <math>b</math> treffen, ergibt sich das geometrische Mittel als die Länge von diesem Punkt bis zum Schnittpunkt mit dem Halbkreis.<ref>[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI13.html Euclid's Elements, Book VI, Proposition 13]</ref> Diese Eigenschaft lässt sich mit dem [[Satz des Pythagoras]] beweisen.

Der Halbkreis wird z. B. auch für die [[Quadratur des Rechtecks]] (Bestimmung der Fläche eines [[Rechteck]]s) sowie für den Beweis des [[Satz des Thales|Satzes des Thales]] benötigt.

Geometrische Figuren aus [[Archimedes]]’ [[Buch der Lemmata]] basieren häufig auf Kreis- und Halbkreis-Konstruktionen:
<div style="float:right;">[[Datei:Salinon shaded.svg |mini |x125px |Ein '''Salinon''' (blaue Region)]]</div>
<div style="float:right;">[[Datei:Arbelos.svg |mini |x125px |Ein '''Arbelos''' (graue Region)]]</div>
Ein [[Arbelos]] beschreibt die Region einer [[Fläche (Mathematik)|Fläche]], die durch drei Halbkreise eingeschlossen wird, welche alle auf derselben Seite einer geraden Linie liegen und nur an ihren Endpunkten verbunden sind.

Das [[Salinon]], eine [[Achsensymmetrie|spiegelsymmetrische]] [[geometrische Figur]] besteht aus vier Halbkreisen.

Ein Rechteck mit den [[Seitenlänge]]n <math>a</math> und <math>b</math> und ein [[Quadrat]] mit der Seitenlänge des geometrischen Mittels aus <math>a</math> und <math>b</math> haben denselben [[Flächeninhalt]].
Für beliebige [[Polygon|Formen]] ([[Quadratur des Kreises|außer dem Kreis]]), für die sich ein Rechteck gleicher Fläche konstruieren lässt, kann so auch deren Flächeninhalt bestimmt werden.

== Vorkommen ==
Halbkreisförmige Bauteile begegnen in der romanischen Architektur als [[Apsis|Apsiden]].

Errichtet auf halkreisfömigem Grundriss sind moderne Kirchenbauten wie die [[Víðistaðakirkja]] in [[Hafnarfjörður]] oder [[St. Pius (Schippach)|St. Pius]] in Schippach.

== Siehe auch ==
* [[Archimedischer Kreis]]
* [[Zwillingskreise des Archimedes]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://mathworld.wolfram.com/Semicircle.html Semicircle - Mathworld]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]

Halbkreis - Versionsgeschichte

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