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2025-04-29T12:01:08Z

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Als '''halbeinfach''' bezeichnet man in der [[Mathematik]] bestimmte Strukturen, die auf vergleichsweise leicht verständliche Weise aus „Grundbausteinen“ zusammengesetzt sind.

Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der [[Algebra]] in unterschiedlichen Zusammenhängen benutzt. Besondere Bedeutung hat er in der Theorie der [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Ring (Algebra)|Ring]]e. Die „Grundbausteine“ sind hier die [[Einfacher Modul|einfachen Moduln]]. Die halbeinfachen Moduln bilden dann gewissermaßen die nächstkompliziertere Stufe, nämlich solche, die mittels [[direkte Summe|direkter Summe]] aus einfachen Moduln zusammengesetzt sind. Über halbeinfache Moduln (und Ringe) sind viele Sätze bekannt, sie sind mathematisch gesehen also, wie der Name andeutet, immer noch recht „einfache“ Objekte.

Eine der wichtigsten Anwendungen liegt in der [[Darstellungstheorie]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] und basiert auf dem [[Satz von Maschke]].

== Halbeinfacher Modul ==
=== Definition ===
''(Im Folgenden wird Vertrautheit des Lesers mit dem Begriff des [[Modul (Mathematik)|Moduls]] vorausgesetzt.)''

Sei <math>M</math> ein Modul über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] (mit Eins) <math>R</math>.

Der Modul <math>M</math> heißt '''halbeinfach''' oder '''vollständig reduzibel''', wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

# <math>M</math> lässt sich als [[direkte Summe]] von [[einfacher Modul|einfachen Moduln]] schreiben.
# <math>M</math> lässt sich als Summe von einfachen Moduln schreiben.
# Existenz von Komplementen: Für jeden Untermodul <math>N</math> von <math>M</math> existiert ein Untermodul <math>P</math> von <math>M</math>, so dass <math>M \simeq N\oplus P</math>.

=== Eigenschaften ===
* Untermoduln, [[Quotientenmodul]]n und direkte Summen von halbeinfachen Moduln sind halbeinfach.
* Ein Modul <math>M</math> ist halbeinfach und [[Erzeuger (Algebra)|endlich erzeugt]] genau dann, wenn er [[Artin-Gruppe|artinsch]] ist und sein [[Jacobson-Radikal]] <math>Rad(M) = 0</math> ist.

=== Beispiele ===
*Die endlich erzeugten halbeinfachen <math>\mathbb{Z}</math>-Moduln sind genau die direkten Summen von Moduln der Form <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> für [[quadratfrei]]e Zahlen <math>n</math>.
*Ist <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], so ist ein <math>R</math>-Modul nichts anderes als ein [[Vektorraum]]. Diese sind immer halbeinfach.

== Halbeinfache Ringe ==
Jeder Ring <math>R</math> wirkt auf sich selbst durch Multiplikation von links und wird so zu einem Linksmodul über sich selbst. Die Untermoduln sind dann genau die [[Ideal (Ringtheorie)#Definition|Linksideale]]. Die irreduziblen Untermoduln sind genau die nichttrivialen minimalen Linksideale. Natürlich kann man analog <math>R</math> zu einem Rechtsmodul über sich selbst machen.
Ist der Ring kommutativ, so stimmen die beiden Konstruktionen miteinander überein und ergeben die gleiche Struktur.

=== Definition ===
Ein Ring heißt '''halbeinfach''', wenn er als Modul über sich selbst halbeinfach ist. Man kann zeigen, dass dies nicht davon abhängt, ob man <math>R</math> als Links- oder Rechtsmodul betrachtet.

Bemerkung: Ein Ring heißt '''einfach''', wenn er keine nichttrivialen ''beidseitigen'' Ideale besitzt (und nicht etwa, wenn er als Modul über sich selbst einfach ist). Nicht jeder einfache Ring ist halbeinfach. Diese Terminologie ist verwirrend, hat sich aber durchgesetzt.

=== Eigenschaften ===
* Ein unitärer Ring <math>R</math> ist halbeinfach genau dann, wenn er artinsch ist und sein Jacobson-Radikal <math>Jac(R) = 0</math> ist. (Dies ist ein Spezialfall der obigen Eigenschaft für halbeinfache Moduln, denn <math>R</math> wird als Modul über sich selbst von der <math>1</math> erzeugt.)
* Insbesondere ist für einen artinschen Ring <math>R</math> der [[Faktorring]] <math>R/Jac(R)</math> halbeinfach.
* Ist <math>R</math> halbeinfach, so ist jeder <math>R</math>-Modul halbeinfach. Dies folgt aus obigen Eigenschaften von halbeinfachen Moduln und aus der Tatsache, dass jeder Modul ein Quotient eines freien Moduls (also einer direkten Summe von Kopien von <math>R</math>) ist.
* Über halbeinfachen Ringen sind alle Moduln [[projektiver Modul|projektiv]].

=== Satz von Artin-Wedderburn ===
Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem (endlichen) direkten Produkt von [[Matrizenring]]en über [[Schiefkörper]]n. Hierbei ist der ganze Matrizenring gemeint, nicht ein Unterring.

== Halbeinfache Matrizen ==

=== Lineare Abbildungen ===
Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb C</math>-Vektorraum. Eine lineare Abbildung <math>f\colon V\rightarrow V</math> heißt ''halbeinfach'', wenn es eine <math>\mathbb C</math>-Basis von <math>V</math> gibt, in der <math>f</math> durch eine [[Diagonalmatrix]] dargestellt wird.

Die Abbildung heißt <math>\mathbb R</math>-halbeinfach oder ''hyperbolisch'', wenn es eine <math>\mathbb R</math>-Basis von <math>V</math> gibt, in der <math>f</math> durch eine [[Diagonalmatrix]] dargestellt wird. Die Abbildung heißt <math>S^1</math>-halbeinfach oder ''elliptisch'', wenn sie halbeinfach ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben. Jede lineare Abbildung lässt sich eindeutig als Produkt einer <math>S^1</math>-halbeinfachen, einer [[Unipotente Matrix|unipotenten]] und einer <math>\mathbb R</math>-halbeinfachen Abbildung zerlegen, siehe [[Iwasawa-Zerlegung]].

=== Matrizen ===

Eine Matrix <math>A\in Mat(n,\mathbb C)</math> heißt halbeinfach, wenn die zugeordnete lineare Abbildung <math>f\colon\mathbb C^n\rightarrow\mathbb C^n</math> halbeinfach ist.

Folgende Bedingungen sind äquivalent:
* <math>A\in Mat(n,\mathbb C)</math> ist halbeinfach,
* <math>A\in Mat(n,\mathbb C)</math> ist [[diagonalisierbar]],
* Das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]] von <math>A\in Mat(n,\mathbb C)</math> hat keine Mehrfach-Faktoren.

=== Zusammenhang mit halbeinfachen Algebren ===

Eine Matrix <math>A\in Mat(n,\mathbb C)</math> ist genau dann halbeinfach, wenn <math>\mathbb C\left[A\right]</math> eine halbeinfache Algebra ist.

== Beispiel: Anwendung in der Darstellungstheorie ==
Sei <math>G</math> eine endliche [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. Sei <math>K[G]</math> die [[Gruppenalgebra]] (dabei handelt es sich um den <math>K</math>-Vektorraum mit Basis <math>G</math> und der Multiplikation, die durch die Gruppenstruktur induziert wird). Die [[Gruppendarstellung|Darstellungen]] von <math>G</math> in <math>K</math>-Vektorräumen entsprechen genau den <math>K[G]</math>-Moduln. Unterdarstellungen entsprechen Untermoduln, und irreduzible Darstellungen entsprechen einfachen Moduln.

Sei nun <math>K</math> so, dass die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] von <math>K</math> nicht <math>|G|</math> teilt (z. B. <math>K=\mathbb{C}</math>). Dann besagt der [[Satz von Maschke]], dass die Gruppenalgebra <math>K[G]</math> und damit jeder <math>K[G]</math>-Modul halbeinfach ist.

== Siehe auch ==
* [[Halbeinfache Lie-Algebra]]
* [[Halbeinfache Lie-Gruppe]]

== Literatur ==
* Serge Lang, ''Algebra''
* Nathan Jacobson, ''Basic Algebra II''

[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Darstellungstheorie]]

Halbeinfacher Modul - Versionsgeschichte

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