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2024-08-13T10:47:54Z

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In der [[euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] zerlegt eine [[Gerade (Geometrie)|Gerade]] eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] in zwei '''Halbebenen'''. Nimmt man die Gerade zu einer der Halbebenen dazu, so spricht man von einer ''[[abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] Halbebene'', eine Halbebene ohne die Gerade wird ''[[offene Menge|offene]] Halbebene'' genannt.

== Obere Halbebene ==
[[Bild:Upper half-plane.svg|mini|Obere Halbebene]]
Die Ebene der [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{C}</math> (und ebenso <math>\mathbb{R}^2</math>) wird durch jede beliebige Gerade in zwei Halbebenen geteilt. Ist diese Gerade mit den reellen Zahlen identisch (bzw. mit der [[x-Achse]]), nennt man
aus der Anschauung heraus die Menge der komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil die ''obere Halbebene'' und bezeichnet sie innerhalb der [[Funktionentheorie]] als <math>\mathbb H</math> (was in anderen Zusammenhängen oft für [[Quaternion]]en steht).
:<math>\mathbb H = \{x+iy \in \mathbb C \mid y > 0\}</math>.
Sie ist [[Definitionsbereich]] mehrerer interessanter [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] wie z. B. der [[Dedekindsche η-Funktion|Dedekindschen η-Funktion]] und spielt unter anderem bei [[Modulform]]en und [[Elliptische Kurve#Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen|elliptischen Kurven über den komplexen Zahlen]] eine wichtige Rolle. Die Menge der auf der oberen Halbebene [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]], die geeignet [[Beschränktheit|beschränkt]] sind, bilden einen [[Hardy-Raum]]. <math>\mathbb H</math> ist ein unbeschränktes, [[einfach zusammenhängend]]es [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], das [[biholomorph]] auf die [[Einheitskreisscheibe]] abgebildet werden kann (siehe auch [[Riemannscher Abbildungssatz]]).
Analog könnte auch die untere Halbebene betrachtet werden, da sie die gleichen Eigenschaften hat.

== Verallgemeinerungen ==
Generell ist die Halbebene ein spezieller [[Halbraum]]. In der [[synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] werden Halbebenen und Halbräume durch eine [[Seiteneinteilung]]sfunktion definiert, wobei anstelle der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] auch allgemeinere [[Ternärkörper|Koordinatenbereiche]] zugrunde gelegt werden können.

Eine wichtige Verallgemeinerung ist der [[Siegelscher Halbraum|Siegelsche Halbraum]].

== Veröffentlichungen ==

* Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Elliptische Funktionen und Modulformen'', 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Halbebene - Versionsgeschichte

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