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Eine '''Hadamard-Matrix''' vom Grad <math>n</math> ist eine <math>n\times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die ausschließlich die Zahlen <math>1</math> und <math>-1</math> als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten [[Orthogonale Matrix|orthogonal]] zueinander sind, ebenso alle Zeilen.

Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker [[Jacques Hadamard]] benannt.

== Eigenschaften ==
Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix <math>H</math> die Beziehung:
:<math>
H\cdot H^t=H^t\cdot H=n\cdot E
</math>
Dabei bezeichnet <math>H^t</math> die [[transponierte Matrix]] zu <math>H</math> und <math>E</math> die [[Einheitsmatrix]]. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen <math>1</math> und <math>-1</math> bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.

Das [[Matrizenmultiplikation|Produkt]] einer Hadamard-Matrix mit einer [[Permutationsmatrix]] oder einer [[Vorzeichenbehaftete Permutationsmatrix|vorzeichenbehafteten Permutationsmatrix]] ergibt wieder eine Hadamard-Matrix.

Es lässt sich zeigen, dass Hadamard-Matrizen nur für <math>n=1</math>, <math>n=2</math> oder <math>n=4k</math> mit <math> k\in\mathbb{N} </math> existieren können.

Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von <math>H</math> nur <math>1</math>-Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.

== Konstruktion ==
Es gibt verschiedene Methoden, Hadamard-Matrizen zu konstruieren. Zwei davon werden im Folgenden beschrieben:

=== Konstruktion nach Sylvester ===
Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker [[James Joseph Sylvester|James J. Sylvester]] zurück.
Ist <math>H_n</math> eine Hadamard-Matrix vom Grad <math>n</math>, so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad <math>2n</math> konstruieren:
:<math>
H_{2n}=\begin{pmatrix}
H_n & H_n \\
H_n & -H_n
\end{pmatrix}
</math>
Die Orthogonalitätseigenschaft lässt sich leicht überprüfen:
:<math>
\begin{align}
H_{2n}\cdot H_{2n}^t &=\begin{pmatrix}
H_n & H_n \\
H_n & -H_n
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
H_n^t & H_n^t \\
H_n^t & -H_n^t
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
H_n H_n^t+H_n H_n^t & H_n H_n^t-H_n H_n^t \\
H_n H_n^t-H_n H_n^t & H_n H_n^t+H_n H_n^t
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2\cdot H_n H_n^t & 0 \\
0 & 2\cdot H_n H_n^t
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2n\cdot E_n & 0 \\
0 & 2n\cdot E_n
\end{pmatrix}\\
&=2n\cdot E_{2n}
\end{align}
</math>

Hier bezeichnen <math>E_n</math> und <math>E_{2n}</math> die entsprechend dimensionierten Einheitsmatrizen.

==== Walsh-Matrizen ====
Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker [[Joseph L. Walsh]] benannte Folge von Matrizen ([[Walsh-Matrix|Walsh-Matrizen]]):
:<math>
H_{1}=\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}
,
H_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
,
H_{4}=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
,\ldots
</math>
Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad <math>2^k</math>, wobei jede Zeile eine [[Walsh-Funktion]] darstellt.

=== Konstruktion über das Legendre-Symbol ===
Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix <math>Q=(q_{ij})</math> vom Grad <math>p</math> (wobei <math>p</math> eine ungerade [[Primzahl]] kongruent 3 modulo 4 ist) mit Hilfe des [[Legendre-Symbol]]s <math>(a/p)</math>:
:<math>
q_{ij}=\left(\frac{j-i}{p}\right).
</math>
Ist nun <math>p=4k-1</math> mit <math> k\in\mathbb{N} </math>, so gilt
:<math>
Q^t=-Q
</math>
und
:<math>
Q\cdot Q^t=p\cdot E-J,
</math>
wobei <math> J</math> die [[Einsmatrix]] bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind.
Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad <math>p+1</math>:
:<math>
H_{p+1}=\begin{pmatrix}
1 & \mathbf{1} \\
\mathbf{1}^t & Q-E
\end{pmatrix}
</math>.
Auch hier kann man nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze <math>Q^t=-Q</math> und <math>
Q\cdot Q^t=p\cdot E-J</math>):
:<math>
H_{p+1}\cdot H_{p+1}^t=\begin{pmatrix}
1+p & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & J+(Q-E)(Q^t-E)
\end{pmatrix}=(p+1)\cdot E
</math>.
So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker [[Raymond Paley]].

== Die Hadamard-Vermutung ==
Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl <math>n=4k</math> wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück.
Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen <math>n</math> der Form <math>n=2^k</math> oder <math>n=p+1</math> für eine Primzahl <math>p</math> erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu <math>n=668</math> gefunden. 1977 war die Frage noch für <math>n=268</math> ungeklärt.

== Anwendungen ==
* Die [[Hadamard-Transformation]], eine [[Liste von Transformationen in der Mathematik#Diskrete Transformationen|diskrete Transformation]] aus dem Bereich der [[Fourier-Analysis]], verwendet Hadamard-Matrizen.
* Hadamard-Matrizen finden Anwendung im Bereich der [[Fehlerkorrekturverfahren|fehlerkorrigierenden Codes]], wo sie zum Erzeugen von [[Hadamard-Code]]s oder [[Reed-Muller-Code]]s benutzt werden.
* In der Statistik werden sie benutzt, um [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]en von Variablen zu berechnen.
* In der diskreten Mathematik werden bestimmte ''Blockpläne'', die [[Hadamard-Blockplan|Hadamard-Blockpläne]], aus Hadamard-Matrizen konstruiert.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Hadamard matrix
| Autor = S. A. Rukova
| Url = http://eom.springer.de/H/h046080.htm
}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Hadamard matrix|Hadamard-Matrix}}

[[Kategorie:Matrix]]

Hadamard-Matrix - Versionsgeschichte

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