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2024-10-27T16:17:30Z

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Ein '''Haar-Raum''', oder '''Haarscher Raum''' (benannt nach [[Alfréd Haar]]) wird in der [[Approximation]]stheorie folgendermaßen definiert:

Besitzen <math>n</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]], auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> [[stetige Funktion]]en <math>g_1,\dots,g_n</math> die Eigenschaft, dass ''jedes'' Element <math>{f}\in \mathrm{span}\left\{g_1,\dots,g_n\right\}, f \neq 0</math>, in <math>[a,b]</math> ''höchstens'' <math>(n-1)</math> [[Nullstelle]]n hat, dann heißt die [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>U:= \mathrm{span}\left\{g_1,\dots,g_n\right\}</math> Haar-Raum.

Ein System solcher Funktionen <math>g_1,\dots,g_n</math>, die einen Haar-Raum aufspannen, wird auch ''Haarsches System'' oder ''[[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow|Tschebyschow]]-System'' genannt. Wird eine stetige Funktion durch Elemente eines Haar-Raumes approximiert, so existiert bezüglich der [[Maximumsnorm]] <math>\|\cdot\|_\infty</math> stets genau eine beste Approximation.

== Interpolation in Haar-Räumen ==
Hat man <math>x_1, \dots, x_n \in [a, b]</math> paarweise verschiedene Punkte (Stützstellen) und Daten <math>y_i, i = 1, \dots, n</math>, so existiert genau ein <math>g \in U</math> mit <math>g(x_i) = y_i, i=1, \dots, n</math>. Dies ist äquivalent zur Regularität der [[Vandermonde-Matrix]].
: '''Beweis''' Bezeichne <math>\mathbb K \in \{ \mathbb R , \mathbb C \} </math> den Körper, in den die Funktionen <math>g_1,\dots,g_n</math> abbilden. Die Abbildung <math>L\colon U \to \mathbb K^n, f \mapsto \left(f(x_1), ...f(x_n)\right)</math> ist [[Lineare Abbildung|linear]]. Weil jedes <math>f\in U</math> höchstens ''n-1'' Nullstellen hat, ist der [[Kern (Algebra)|Kern]] der Abbildung nur die [[Nullfunktion]], d. h. L ist [[Injektivität|injektiv]]. Wegen <math>\dim \mathbb K^n = n</math> ist L [[Surjektivität|surjektiv]], also insgesamt [[Bijektivität|bijektiv]]. Daraus folgt Existenz und Eindeutigkeit der Interpolationsfunktion g.

== Beispiele ==
* Der [[Vektorraum]] <math>\Pi_n</math> der [[Polynom]]e höchstens n-ten Grades ist ein Haar-Raum. <math>\left\{1,x,\dots,x^n\right\}</math> ist ein Haarsches System.
* Das System <math>\left\{x,\dots,x^n\right\}</math> ist jedoch kein Haarscher Raum.
* Die [[Trigonometrisches Polynom|trigonometrischen Polynome]] bilden ein Haar-Raum mit Haarschem System <math>\left\{1,e^{ix},\dots,e^{i(n-1)x}\right\}</math> (Polynome in <math>e^{ix}</math>).
* <math>\left\{1,\sin (x),\cos (x),\dots,\sin (nx),\cos (nx) \right\}, \left\{1,\sin (x),\dots,\sin (nx) \right\}, \left\{1,\cos (x),\dots,\cos (nx) \right\},\; x \in [0,2\pi)</math> sind jeweils Haarsche Systeme.

== Historie ==
Erstmals formulierte und bewies Haar die ''Haar condition'' 1918 in: ''Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen'', [[Mathematische Annalen]], Band 78, S. 294–311. Andere Beweise formulierten Vlastimil Pták 1958 (''A remark on approximation of continuous functions'' in Czechoslovak Math. Journal, Band 8, S. 251–256) und [[Isadore M. Singer|Singer]] 1960 (''On best approximation of continuous functions'' in Mathematische Annalen, Band 140, S. 165–168).<ref name="Cheney" />

== Literatur ==
* Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann: ''Numerische Mathematik.'' Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-58033-6.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Cheney">
Elliot Ward Cheney: ''Introduction to Approximation Theory.'' McGraw-Hill Book Company, 1966, [[Library of Congress Catalog Card Number]] 65-25916, ISBN 0-07-010757-2, S. 227 + 242 + 248 + 251
</ref>
</references>

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Normierter Raum]]

Haar-Raum - Versionsgeschichte

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