imported>Wrongfilter: /* Aussage */ die abgekürzte (und nicht unbedingt geläufige) Schreibweise der Ableitung ist nicht nötig; "wir" gestrichen

2025-10-04T08:39:38Z

Aussage: die abgekürzte (und nicht unbedingt geläufige) Schreibweise der Ableitung ist nicht nötig; "wir" gestrichen

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Das [[Ludwig Boltzmann|Boltzmannsche]] '''H-[[Theorem]]''' erlaubt es, in der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] die [[Maxwell-Boltzmann-Verteilung]] zu finden und die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] zu definieren. Es handelt sich damit um eine zentrale Aussage in der kinetischen Gastheorie. Das H-Theorem kann dazu herangezogen werden um den Vorgang der [[Equilibrierung]] eines Systems zu beschreiben, welcher insbesondere im [[Nichtgleichgewichtssystem|Nichtgleichgewicht]] abläuft<ref>{{Literatur |Autor=James C. Reid, Denis J. Evans, Debra J. Searles |Titel=Communication: Beyond Boltzmann's H-theorem: Demonstration of the relaxation theorem for a non-monotonic approach to equilibrium |Sammelwerk=The Journal of Chemical Physics |Band=136 |Nummer=2 |Datum=2012-01-11 |ISSN=0021-9606 |DOI=10.1063/1.3675847 |Seiten=021101 |Online=https://aip.scitation.org/doi/full/10.1063/1.3675847 |Abruf=2019-06-25}}</ref>.

Das H-Theorem wird auch '''Eta-Theorem''' genannt, weil mit dem Symbol H statt des lateinischen Buchstabens [[H]], der ''nicht'' für die [[Enthalpie]] steht, auch der oft gleich aussehende, griechische Buchstabe [[Eta]] gemeint sein könnte. Wie das Symbol zu verstehen ist, wird seit langem diskutiert und bleibt mangels schriftlicher Belege aus der Entstehungszeit des Theorems ungeklärt.<ref>S. Chapman: ''Boltzmann’s H-Theorem.'' In: ''nature'', 139 (1937), S. 931, {{DOI|10.1038/139931a0}}.</ref><ref>S. G. Brush: ''Boltzmann’s “Eta Theorem”: Where’s the Evidence?'' In: ''American Journal of Physics'', 35 (1967), S. 892, {{DOI|10.1119/1.1974281}}.</ref> Einige Hinweise sprechen aber für die Interpretation als Eta.<ref>S. Hjalmars: ''Evidence for Boltzmann’s H as a capital eta.'' In: ''American Journal of Physics'', 45 (1977), S. 214–215, {{DOI|10.1119/1.10664}}.</ref>

== Aussage ==
Der Inhalt des H-Theorems besteht in einer Aussage über die Größe <math>H</math>,

:<math>H(t) := -\int \mathrm d^3 v \cdot f(\vec{v}, t) \ln f(\vec{v}, t)</math>,

wobei <math>f</math> die [[Boltzmann-Gleichung|Boltzmann-Verteilungsfunktion]] ist, die die [[Teilchenzahl]] in einem [[Volumenelement]] des [[Phasenraum]]s <math>\mathrm d^3 v</math> bei <math>(\vec x, \vec v)</math> angibt. Dabei werden als Konsequenz des [[Thermodynamischer Limes|thermodynamischen Limes]] Effekte an der Oberfläche des betrachteten Volumens vernachlässigt sowie Freiheit von äußeren Kräften angenommen und damit eine <math>\vec{x}</math>-Unabhängigkeit von <math>f</math> begründet.

Der Ansatz für <math>H</math> kann je nach Problemstellung variiert werden; für ein [[Gemisch]] aus zwei Gasen <math>A</math> und <math>B</math> ist etwa der Ansatz

:<math>H = H_A + H_B</math>

sinnvoll, wo <math>H_A</math> und <math>H_B</math> das oben definierte <math>H</math> mit den [[Verteilungsfunktion]]en für <math>A</math> und <math>B</math> ist.

Mit Hilfe der [[Boltzmann-Gleichung]] und der Annahme verschwindender äußerer Kräfte berechnet sich die zeitliche [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>H</math> als

:<math>\frac{\partial H}{\partial t} = -\int \mathrm d^3v_1 \cdot \mathrm d^3v_2 \cdot \mathrm d\Omega\ \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\ |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|\ (f_1 f_2 - f'_1 f'_2) \left[ \ln (f'_2f'_1) - \ln(f_2f_1) \right] </math>.

mit
* <math>f_{i}' := f(\vec{v}_{i}')</math>
* <math>\vec{v}_1</math> und <math>\vec{v}_2</math> bezeichnen die Geschwindigkeiten zweier Stoßteilchen vor dem [[Stoß (Physik)|Stoß]],
: die gestrichenen Varianten ihre Geschwindigkeiten nach dem Stoß
* <math>\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}</math> ist der [[Differenzieller Wirkungsquerschnitt|differenzielle Wirkungsquerschnitt]] der Stoßteilchen.

Aus der Form von <math>\partial H/\partial t</math> ergibt sich die Aussage des H-Theorems:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \geq 0</math>,

woraus folgt, dass <math>H(t)</math> eine [[monotone Funktion]] ist.

== Folgerungen ==
=== Gleichgewichtsverteilung ===
Im [[Thermodynamisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsfall]] muss offensichtlich <math>\partial_t H = 0</math> gelten. Aus der Form von <math>\partial_t H</math> erkennt man, dass <math>\ln f</math> dann eine [[Erhaltungsgröße]] in den auftretenden Stößen sein muss. Nimmt man an, dass es sich dabei um eine [[Linearkombination]] der folgenden bekannten Erhaltungsgrößen des Stoßes handelt:
* Masse <math>m</math> der Stoßteilchen
* Gesamt[[impuls]] <math>m\vec{v}</math> und
* Gesamt[[energie]] <math>m\vec{v}\,^2/2</math>,
so erhält man daraus die [[Maxwell-Boltzmann-Verteilung]]

:<math>f = C \cdot \mathrm \exp(-A (\vec{v} - \vec{v}_0)^2)</math>

mit den Konstanten <math>C</math>, <math>A</math> und <math>\vec{v}_0</math>.

=== Entropie ===
Aus dem H-Theorem folgt, dass H eine [[monoton wachsend]]e Größe ist, wie dies für eine Entropie vonnöten ist. Definiert man

:<math>S := k \cdot H_0 \cdot V</math>

mit
* <math>k</math> die [[Boltzmannkonstante]]
* <math>H_0</math> die Größe <math>H</math> für die Gleichgewichtsverteilung und
* <math>V</math> das Volumen des Gases,
so erhält man eine [[Extensive Größe|extensive]] [[Zustandsgröße]], die mit der Zeit monoton wächst: eine Entropie.

==Verallgemeinerungen ==
Es existieren Verallgemeinerungen für das H-Theorem, unter anderem das [[Relaxationstheorem]]<ref>{{Literatur |Autor=James C. Reid, Denis J. Evans, Debra J. Searles |Titel=Communication: Beyond Boltzmann's H-theorem: Demonstration of the relaxation theorem for a non-monotonic approach to equilibrium |Sammelwerk=The Journal of Chemical Physics |Band=136 |Nummer=2 |Datum=2012-01-11 |ISSN=0021-9606 |DOI=10.1063/1.3675847 |Seiten=021101 |Online=https://aip.scitation.org/doi/full/10.1063/1.3675847 |Abruf=2019-06-25}}</ref>.

== Literatur ==

* [[Kerson Huang]]: ''Statistical Mechanics''. John Wiley & Sons 1987, ISBN 0-471-81518-7, Kapitel 4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Ludwig Boltzmann]]

H-Theorem - Versionsgeschichte

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