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2023-05-31T20:15:57Z

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In der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] besteht ein '''H-Raum''' aus einem [[topologischer Raum|topologischen Raum]] ''X'' (oft als [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung <math>\mu\colon X\times X\to X</math> mit einer [[neutrales Element|Einheit]] <math>e\in X</math> in dem Sinne, dass die Endomorphismen

: <math>\mu(\cdot, e) \colon X\to X</math> und <math>\mu(e,\cdot) \colon X\to X</math>

homotop zur identischen Abbildung <math>id_X</math> auf <math>X</math> relativ zu <math>e</math> sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ <math>e</math>, manchmal sogar relativ <math>X</math> gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn <math>X</math> [[CW-Komplex]] ist.

Der Name ''H-Raum'' wurde von [[Jean-Pierre Serre]] zu Ehren von [[Heinz Hopf]] vorgeschlagen.

== Eigenschaften ==

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine [[Hopf-Algebra]]. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das [[Pontryagin-Produkt]] erklären.

Die [[Fundamentalgruppe]] eines H-Raums ist abelsch: Sei <math>X</math> ein H-Raum mit Einheit <math>e</math>, und seien <math>f</math> und <math>g</math> Schleifen mit Basispunkt <math>e</math>. Dann können wir eine Abbildung <math>F\colon\left [0,1\right]\times\left[0,1\right] \to X</math> durch <math>F(a,b) = f(a)g(b)</math> erklären. Nun ist <math>F(.,0) = F(.,1) = fe</math> homotop zu <math>f</math> und <math>F(0, .) = F(1, .) = eg</math> zu <math>g</math>. Damit entspricht <math>F</math> einer Homotopie von der Verkettung <math>f\cdot g</math> von Schleifen zu <math>g\cdot f</math>.

== Beispiele ==

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]]n nur <math>S^0,S^1,S^3</math> und <math>S^7</math> H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf <math>\mathbb{R}</math>, <math>\Complex</math>, <math>\mathbb{H}</math> ([[Quaternion]]en) und <math>\mathbb O</math> ([[Oktonion]]en) induziert.

Sei <math>R</math> ein [[unitärer Ring]], <math>GL(R)=\bigcup_{n\ge0}GL(n,R)</math> die Gruppe der invertierbaren Matrizen über <math>R</math> und <math>BGL(R)</math> der [[Klassifizierender Raum|klassifizierende Raum]] von <math>GL(R)</math>. Dann liefert die [[Plus-Konstruktion]] einen H-Raum <math>BGL^+(R)</math>. Seine Fundamentalgruppe ist die [[Abelisierung]] von <math>GL(R)</math>.

== Literatur ==
* Edwin H. Spanier: ''Algebraic Topology.'' 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.

[[Kategorie:Homotopietheorie]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]

H-Raum - Versionsgeschichte

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