imported>Filomusa: /* Hüllenoperatoren */ Interpunktion.

2026-01-05T11:50:07Z

Hüllenoperatoren: Interpunktion.

Neue Seite

[[Datei:ConvexClosure.svg|mini|Eine Menge aus 8 Punkten und ihre konvexe Hülle]]
In der [[Mathematik]] versteht man unter der '''Hülle''' einer Menge eine [[Obermenge]], die groß genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die kleinste Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Beispiele sind die [[konvexe Hülle]] einer Teilmenge eines [[Vektorraum]]s, die [[abgeschlossene Hülle]] einer Teilmenge eines [[Topologischer Raum|topologischen Raums]] oder die [[Transitive Hülle (Relation)|transitive Hülle]] einer [[Zweistellige Relation|zweistelligen Relation]]. '''Hüllenoperator''' bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihre Hülle zugeordnet wird. Die durch einen Hüllenoperator erzeugten Hüllen bilden ein '''Hüllensystem''', also ein [[Mengensystem]] mit bestimmten Eigenschaften.

== Definitionen ==
=== Hüllenoperatoren ===
Auf einer gegebenen [[Grundmenge]] <math>X</math> ist ein ''Hüllenoperator'' eine [[Extensive Abbildung|extensive]], [[Monotone Abbildung|monotone]] und [[Idempotenz|idempotente]] [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>H\colon\; \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)</math> auf der [[Potenzmenge]] von <math>X</math>, die jeder [[Teilmenge]] <math>A \subseteq X</math> eine weitere Teilmenge von <math>X</math>, nämlich die Hülle <math>H(A) \subseteq X</math>, zuordnet, wobei folgende Bedingungen für alle <math>A, B \subseteq X</math> erfüllt sind:
* '''Extensivität''': <math>A \subseteq H(A)</math>, das heißt: Die Hülle von <math>A</math> umfasst die Menge <math>A</math> selbst.
* '''Monotonie''' (oder '''Isotonie'''): <math>A \subseteq B\ \Rightarrow\ H(A) \subseteq H(B)</math>, das heißt: Wenn <math>A</math> Teilmenge von <math>B</math> ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Hüllen.
* '''Idempotenz''': <math>H(H(A)) = H(A)</math>, das heißt: Jede Hülle ist ihre eigene Hülle.
:Weil aus der Extensivität schon folgt, dass jede Hülle Teilmenge ihrer eigenen Hülle ist, genügt es auch, an Stelle der Idempotenz nur <math>H(H(A)) \subseteq H(A)</math> zu fordern, das heißt: Jede Hülle umfasst ihre eigene Hülle.

Äquivalent zu diesen drei Einzelforderungen ist Folgendes. <math>H\colon\; \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math> heißt Hüllenoperator auf <math>X</math>, wenn für alle <math>A, B \subseteq X</math> gilt:
* <math>H(A) \subseteq H(B) \Longleftrightarrow A \subseteq H(B)</math>

:Zum Nachweis der Extensivität setze man <math>B := A</math>, für die Idempotenz setze man <math>A := H(B)</math>, und die Monotonie folgt dank der Extensivität (<math>B \subseteq H(B)</math>).

Einen Hüllenoperator nennt man auch ''Abschlussoperator,'' weil ein zu einer strukturierten Menge (einem [[Topologischer Raum#Dual: abgeschlossen|topologischen Raum]] oder einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]]) gehörender Hüllenoperator jede Teilmenge dieser strukturierten Menge auf die kleinste Unterstruktur abbildet, die diese Teilmenge enthält. Die Unterstrukturen ([[abgeschlossene Menge]]n im topologischen Raum oder [[Algebraische Struktur#Unterstrukturen (Unteralgebren)|algebraische Unterstrukturen]]) bilden aber gerade die bezüglich der gegebenen [[Mathematische Struktur|Struktur]] [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossenen]] Teilmengen.

; Algebraische Hüllenoperatoren
Die in der [[Algebra]], der [[Universelle Algebra|Universellen Algebra]], der [[Geometrie]] und verwandten [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten]] auftretenden Hüllenoperatoren sind in der Regel ''algebraische Hüllenoperatoren''. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die diesen Hüllenoperatoren zugehörigen [[Hüllensystem]]e [[Algebraisches Hüllensystem|algebraisch]] sind und damit die folgende Endlichkeitsbedingung erfüllen:
* Zu jeder Teilmenge <math>A \subseteq X</math> und für jedes Element <math>a \in H(A)</math> gibt es stets eine [[Endliche Menge|endliche]] Teilmenge <math>A_0 \subseteq A</math> mit <math>a \in H(A_0)</math>.

Diese Begriffsbildung ist vor allem aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wohlbekannt, wo in jedem [[Vektorraum]] die [[lineare Hülle]] einer beliebigen Teilmenge von Vektoren mit der Menge aller [[Linearkombination]]en dieser Vektoren übereinstimmt.

=== Hüllensysteme ===
Ein ''Hüllensystem'' ist ein unter beliebiger [[Schnittmenge]]nbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h.: Ein Hüllensystem über einer Menge <math>X</math> ist eine aus Teilmengen der Grundmenge <math>X</math> bestehende Menge <math>\mathcal{S}</math> mit folgenden Eigenschaften.
* <math>\mathcal{S}</math> enthält die Grundmenge: <math>X \in \mathcal{S}</math>
* Für jede nichtleere Teilmenge <math>\mathcal{T}</math> von <math>\mathcal{S}</math> ist der Durchschnitt der Elemente von <math>\mathcal{T}</math> ein Element aus <math>\mathcal{S}</math>, das heißt: <math>\forall\; \mathcal{T} \subseteq \mathcal{S}\colon\; \mathcal{T} \ne \emptyset \Rightarrow \bigcap_{T\in \mathcal{T}} T \,\in \mathcal{S}</math>

Mit <math>X</math> als Grundmenge ist es sinnvoll, den allgemein mengentheoretisch nicht definierten Durchschnitt über die leere Menge als <math>\bigcap_{T\in\emptyset} T := X</math> zu definieren, denn nur so wird <math>X = \bigcap_{T \in \{X\}} T \subseteq \bigcap_{T \in \emptyset} T \subseteq X</math> erreicht. Dadurch lassen sich die beiden genannten Bedingungen gleichwertig zu der einzigen folgenden Bedingung zusammenfassen.
* Für jede Teilmenge <math>\mathcal{T}</math> von <math>\mathcal{S}</math> ist der Durchschnitt der Elemente von <math>\mathcal{T}</math> ein Element von <math>\mathcal{S}</math>: <math>\forall\; \mathcal{T} \subseteq \mathcal{S}\colon\; \bigcap_{T\in \mathcal{T}} T \, \in \mathcal{S}</math>

== Zusammenhang zwischen Hüllensystemen und Hüllenoperatoren ==
Hüllensysteme und Hüllenoperatoren entsprechen einander:
# Ist <math>\mathcal{S}</math> ein Hüllensystem über <math>X</math>, dann kann man einen Hüllenoperator <math>H_\mathcal{S}</math> auf <math>X</math> wie folgt definieren. <math>\mbox{ }\mbox{ } H_\mathcal{S}(A) := \bigcap_{A \subseteq Y \in \mathcal{S}} Y </math> für jedes <math>A \subseteq X</math> Die Menge, über die hier der Durchschnitt gebildet wird, ist wegen <math>X \in S</math> nicht leer.
# Umgekehrt kann man jedem Hüllenoperator <math>H</math> auf <math>X</math> folgendermaßen ein Hüllensystem <math>\mathcal{S}_H</math> über <math>X</math> zuordnen: <math>\mbox{ }\mbox{ } \mathcal{S}_H := \{H(A) \mid A \subseteq X\}</math>
:: Tatsächlich ist für eine Teilmenge <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{S}_H</math> der Durchschnitt <math>\bigcap_{T\in \mathcal{T}} H(T)</math> selbst eine Hülle. Dazu genügt es zu zeigen, dass <math>H\left( \bigcap_{T\in \mathcal{T}} H(T) \right) \subseteq \bigcap_{T\in \mathcal{T}} H(T)</math> ist. Dies folgt aus der trivialen Aussage <math>\forall T\in \mathcal{T}:\, \bigcap_{T\in \mathcal{T}} H(T) \subseteq H(T)</math>.

Daher ist ein Hüllensystem <math>\mathcal S</math> nicht nur gegenüber beliebiger Durchschnittsbildung stabil, sondern lässt auch die Bildung eines '''[[Supremum]]s''' (nämlich in Gestalt der Hülle) über einer beliebigen Menge <math>\mathcal{A}</math> von Teilmengen <math>A \subseteq X</math> zu:
:<math>\operatorname{Sup}_{\mathcal{S}} \mathcal{A} := \bigvee_{A \in \mathcal{A}}^{\mathcal{S}} A := H_{\mathcal S} \left( \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A \right)</math>.

Die Begriffspaare „Hüllenoperator – [[Kernoperator]]“ bzw. „[[Hüllensystem]] – [[Kernsystem]]“ stehen zueinander in „komplementärem“ oder „dualem“ Verhältnis, das heißt: Die Komplementärmengen des einen Systems erfüllen die Bedingungen des anderen, wobei der Durchschnitt durch die Vereinigung und das Supremum (die Hülle) durch das Infimum (den Kern) ersetzt wird.

Es gibt einen einfachen und schnellen Algorithmus zur Erzeugung aller Hüllen eines gegebenen Hüllenoperators.<ref>Algorithmus 1 in B. Ganter, S. Obiedkov: ''Conceptual Exploration.'' Springer, 2016, ISBN 978-3-662-49290-1.</ref>

== Beispiele ==
* Das [[Minimal umgebendes Rechteck|minimal umgebende Rechteck]] ist eine Hülle im Sinne dieser Begriffsbildung.
* Die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] bilden auf diesem ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator bewirkt die Bildung der [[Abgeschlossene Hülle|abgeschlossenen Hülle]] und wird manchmal auch als ''Kuratowskischer Hüllenoperator'' bezeichnet. Die abgeschlossene Hülle einer Menge ist die kleinste unter Grenzwertbildung von [[Netz (Topologie)|Netzen]] abgeschlossene Obermenge.
* Die Topologien auf einer Menge bilden ein Hüllensystem auf deren [[Potenzmenge]]. Der dazugehörige Hüllenoperator bildet zu jedem Mengensystem die davon erzeugte Topologie; das Mengensystem wird dann auch als [[Subbasis]] dieser Topologie bezeichnet.
* Analog bilden in der [[Maßtheorie]] auch die [[σ-Algebra|σ-Algebren]] auf einer Menge ein Hüllensystem auf deren Potenzmenge, mit dem [[σ-Algebra#σ-Operator|σ-Operator]] als Hüllenoperator. Genauso gibt es Hüllenoperatoren zur Erzeugung von [[Ring (Mengensystem)|Mengenringen]], [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebren]], [[Dynkin-System]]en und [[Monotone Klasse|monotonen Klassen]].
* Die [[Untergruppe]]n einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] bilden auf ihr ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator ordnet jeder Teilmenge die von ihr [[Erzeugendensystem|erzeugte]] Untergruppe zu, also die Menge aller Produkte von Potenzen von Elementen dieser Menge.
* Die [[Normalteiler]] einer Gruppe bilden ebenfalls ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator bildet jede Menge <math>A \subseteq G</math> auf die kleinste sie enthaltende normale Untergruppe ab; erzeugt wird diese von allen zu Elementen von <math>A</math> [[Konjugation (Gruppentheorie)|konjugierten]] Elementen von <math>G</math>.
* Jedes [[Idealsystem]] ist ein Hüllensystem.
* Die [[Untervektorraum|Untervektorräume]] eines Vektorraums bilden ein Hüllensystem, mit der [[Lineare Hülle|linearen Hülle]] als Hüllenoperator. Gleiches gilt für die [[Affiner Unterraum|affinen Unterräume]] und die [[affine Hülle]]. Die lineare Hülle besteht aus allen Linearkombinationen von Elementen der Menge, die affine Hülle aus allen [[Affinkombination]]en.
* Die [[Konvexe Menge|konvexen Teilmengen]] eines reellen Vektorraums (z. B. <math>\R^n</math>) bilden ein Hüllensystem. Der zugehörige Hüllenoperator ist die Bildung der [[Konvexe Hülle|konvexen Hülle]], diese besteht aus allen [[Konvexkombination]]en von Elementen der jeweiligen Menge.
* Die Bildung der [[Transitive Hülle (Relation)|transitiven Hülle]] einer [[Relation (Mathematik)|Relation]] ist ein Hüllenoperator. Gleiches gilt für die reflexive Hülle, reflexiv-transitive Hülle, symmetrische Hülle und [[Äquivalenzrelation#Erzeugung von Äquivalenzrelationen|Äquivalenzhülle]].
* Die beiden [[Komposition (Mathematik)|Verkettungen]] <math>\sigma\tau</math> und <math>\tau\sigma</math> einer [[Galoisverbindung]] <math>(\sigma, \tau)</math> sind Hüllenoperatoren.
* Die Bildung der [[Kleenesche Hülle|Kleeneschen Hülle]] einer formalen Sprache ist ein Hüllenoperator.
* Die [[Inferenzoperation]] der formalen [[Logik]] ist ein Hüllenoperator.
* Für den ''Hüll[[Körper (Algebra)|körper]]'' zu einer Zahlenmenge wird verlangt, dass zu allen Elementen der Menge stets auch ihre Summe, ihr Produkt, ihre Differenz und ihr Quotient (außer bei Division durch Null) sowie die Zahlen 1 und 0 zur Menge gehören. Der Hüllkörper der Menge <math>\{1\}</math> ist somit bereits die Menge <math>\Q</math> aller [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]]. Erst wenn die Zahlenmenge mindestens eine irrationale Zahl (zum Beispiel <math>\sqrt{2}</math>) enthält, ergibt sich ein Körper, der <math>\Q</math> ''echt'' umfasst.
* In jeder [[Unterkategorie]] von '''Set,''' die als Morphismen nur [[Inklusionsabbildung]]en enthält, ist jede [[Monade (Kategorientheorie)|Monade]] ein Hüllenoperator.

== Anwendungen auf formale Sprachen und Komplexitätsklassen ==
Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine Klasse [[Formale Sprache|formaler Sprachen]]. Wir betrachten folgende Hüllenoperatoren auf <math>\mathcal{C}\colon</math>
* <math>H_\text{hom}\colon</math> Abschluss unter [[Homomorphismus|Homomorphismen]]:
:: Wenn <math>L \in \mathcal{C}</math>, dann auch <math>H_\text{hom}(\{L\}) = \{L' \mid \exist h\colon\; h \text{ ist Homomorphismus und } h[L] = L'\} \in \mathcal{C}</math>
* <math>H_\text{e-hom}\colon</math> Abschluss unter <math>\varepsilon</math>-freien Homomorphismen:
:: Wie <math>H_{hom}</math>, aber <math>\forall x\colon\; h(x) \ne \varepsilon</math>
* <math>H_\text{inv-hom}\colon</math> Abschluss unter inversen Homomorphismen:
:: Wenn <math>L \in \mathcal{C}</math>, dann auch <math>H_\text{inv-hom}(\{L\}) = \{L' \mid \exist h\colon\; h \text{ ist Homomorphismus und } h[L'] = L \} \in \mathcal{C}</math>
* <math>H_{\cup}\colon</math> Abschluss unter Vereinigung:
:: <math>H_{\cup}(\mathcal{C}) = \{L \mid \exists L_1, L_2 \in \mathcal{C}\colon\; L = L_1 \cup L_2\}</math>
* <math>H_{\cap}\colon</math> Abschluss unter Durchschnitt:
:: <math>H_{\cap}(\mathcal{C}) = \{L \mid \exists L_1, L_2 \in \mathcal{C}\colon\; L = L_1 \cap L_2\}</math>
* <math>H_{\circ}\colon</math> Abschluss unter [[Konkatenation (Formale Sprache)|Konkatenation]]:
:: <math>H_{\circ}(\mathcal{C}) = \{L \mid \exists L_1, L_2 \in \mathcal{C}\colon\; L = L_1 L_2\}</math>
* <math>H_\text{kleene}\colon</math> Abschluss unter [[Kleenesche Hülle|Kleene-Stern]]:
:: <math>H_\text{kleene}(\mathcal{C}) = \{L \mid \exists L' \in \mathcal{C}\colon\; L = L'^*\}</math>

Wenn eine Klasse <math>\mathcal{C}</math> und einer der obigen Hüllenoperatoren <math>H</math> die Eigenschaft <math>H(\mathcal{C}) = \mathcal{C}</math> haben, dann heißt <math>\mathcal{C}</math> unter der entsprechenden Operation (Homomorphismus, <math>\varepsilon</math>-freier Homomorphismus, inverser Homomorphismus, Vereinigung, Durchschnitt, Konkatenation bzw. Kleene-Stern) abgeschlossen.

== Verallgemeinerungen ==
Die Potenzmenge <math>M := \mathcal P(X)</math> einer Menge <math>X</math> ist mit <math>\subseteq</math> eine [[partiell geordnete Menge]]. In der Definition von Hüllenoperatoren wird nichts benutzt, das außerhalb des Vokabulars partiell geordneter Mengen liegt. Dies führt zum ordnungstheoretischen Begriff eines Hüllenoperators:
Ist <math>(M, \le)</math> eine halbgeordnete Menge, so heißt <math>H\colon M \to M</math> Hüllenoperator auf <math>M</math>, wenn <math>H(A) \le H(B) \iff A \le H(B)</math> für alle <math>A,B \in M</math>.

[[Monade (Kategorientheorie)|Monaden]] sind eine darauf aufbauende Verallgemeinerung. Fasst man eine partiell geordnete Menge <math>(M,\le)</math> in üblicher Weise als eine Kategorie <math>\mathcal C</math> auf, haben wir es mit einer Struktur <math>(F,\eta,\mu) </math> zu tun, wobei <math>F\colon \mathcal C \to \mathcal C</math> ein Funktor ist und <math>\eta\colon \mathrm{Id}_\mathcal C \to F</math>, <math>\mu\colon F^2 \to F</math> [[natürliche Transformation]]en, die zusammen ein paar Forderungen erfüllen, die in partiellen Ordnungen trivialerweise erfüllt sind.
* Die Funktorialität von <math>F</math> entspricht der Monotonie,
* <math>\eta</math> bezeugt die Extensivität,
* <math>\mu</math> die Idempotenz.

== Siehe auch ==
* [[Kernoperator]]
* [[Mengenverband]]
* [[Verband (Mathematik)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Marcel Erné
|Titel=Einführung in die Ordnungstheorie
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1982
|ISBN=3-411-01638-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[John L. Kelley]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Graduate Texts in Mathematics
|BandReihe=27
|Verlag=Reprinted edition. Springer
|Ort=New York u. a.
|Datum=1975
|ISBN=3-540-90125-6}}
* {{Literatur
|Autor=Heinrich Werner
|Titel=Einführung in die allgemeine Algebra
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=120
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00120-8}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Hullenoperator}}
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Universelle Algebra]]
[[Kategorie:Theorie formaler Sprachen]]
[[Kategorie:Komplexitätstheorie]]

[[fa:بستار (ریاضی)]]

Hüllenoperator - Versionsgeschichte

imported>Filomusa: /* Hüllenoperatoren */ Interpunktion.