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2018-12-09T13:39:38Z

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Eine '''H*-Algebra''' ist eine mathematische Struktur, die im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] untersucht wird.
Es handelt sich um eine [[involutive Banachalgebra]], die gleichzeitig ein [[Hilbertraum]] ist, zusammen mit einer Bedingung, die die [[Involution (Mathematik)|Involution]] mit der Hilbertraumstruktur verknüpft. Dabei erhält man eine zum [[Satz von Artin-Wedderburn]] analoge Strukturtheorie.

== Definition der H*-Algebra ==
Eine involutive <math>\Complex</math>-Banachalgebra <math>A</math> heißt '''H*-Algebra''', wenn folgendes gilt:
* Es gibt ein [[Skalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> auf <math>A</math>, so dass <math>\|x\|^2 = \langle x,x\rangle</math> für alle <math>x\in A</math>
* Für alle <math>a,x,y\in A</math> gilt: <math>\langle ax,y\rangle = \langle x,a^*y\rangle</math> und <math>\langle xa,y\rangle = \langle x,ya^*\rangle</math>.

Dabei wird die Involution auf <math>A</math> mit * bezeichnet. Die erste Bedingung besagt gerade, dass die Banachalgebra <math>A</math> mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist. Jedes <math>a\in A</math> definiert via Linksmultiplikation einen [[Linearer Operator|linearen Operator]] <math>L_a:A\rightarrow A,\, x\mapsto ax</math> und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator <math>R_a:A\rightarrow A,\, x\mapsto xa</math>.
Die zweite Bedingung sagt dann, dass <math>L_{a *}</math> (bzw. <math>R_{a *}</math>) die [[Adjungierter Operator|Hilbertraum-Adjungierte]] zu <math>L_a</math> (bzw. <math>R_a</math>) ist, in Formeln <math>L_{a^*}\,=\,(L_a)^*</math> (bzw. <math>R_{a^*}\,=\,(R_a)^*</math>), wobei der * auf der rechten Seite für die Hilbertraum-Adjunktion, das heißt für die Involution der [[C*-Algebra]] <math>B(A)</math> der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum <math>A</math>, steht.
Auf diese Weise hängt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen.

== Beispiele ==
* Die [[Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Klasse]] <math>A={\mathcal S}(H)</math> über einem Hilbertraum <math>H</math> ist eine H*-Algebra, wobei das Skalarprodukt durch <math>\langle x, y\rangle = \operatorname{Spur}(y^*x)</math> gegeben ist.
* Sei <math>G</math> eine kompakte Gruppe und <math>A</math> der Hilbertraum [[Lp-Raum|''L<sup>2</sup>(G)'']]. Mit der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] als Multiplikation und der durch <math>f^*(s):=\overline{f(s^{-1})}</math> definierten Involution wird <math>A</math> zu einer H*-Algebra.
* Sei <math>J</math> eine beliebige, nicht-leere Menge, <math>A:=\{a:J^2\rightarrow \Complex; \, \sum_{i,j\in J}|a(i,j)|^2 < \infty\}</math> und <math>\alpha \ge 1</math> eine reelle Zahl. Für <math>a,b\in A</math> und <math>\lambda\in \Complex</math> definiere
:: <math>\begin{array}{rcl}(\lambda a)(i,j) &:=& \lambda a(i,j) \\
(a+b)(i,j) &:=& a(i,j)+b(i,j)\\
(ab)(i,j) &:=& \sum_{k\in J}a(i,k)b(k,j)\\
(a^*)(i,j) &:=& \overline{a(j,i)}\\
\langle a,b\rangle &:=& \alpha \sum_{i,j\in J}a(i,j)\overline{b(i,j)}\\
\|a\| &:=& \langle a, a \rangle^{1/2}
\end{array}</math>.
:Mit diesen Definitionen wird <math>A</math> zu einer H*-Algebra, zur sogenannten ''vollen Matrixalgebra''. Im Falle <math>\alpha = 1</math> ist die volle Matrixalgebra [[Isometrische Isomorphie|isometrisch isomorph]] zur Hilbert-Schmidt-Klasse <math>{\mathcal S}(\ell^2(J))</math>.
* Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhält man wie folgt. Für Funktionen <math>f,g\in A:=L^2([0,1]\times[0,1])</math> definiere
:: <math> \begin{array}{rcl}(fg)(s,t) &:=& \int_0^1 f(s,r)g(r,t){\mathrm d}r \\
(f^*)(s,t) &:=& \overline{f(t,s)}
\end{array}</math>.
:Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum <math>A</math> zu einer H*-Algebra.
* Der [[Folgenraum]] <math>\ell^2</math> ist mit der komponentenweise erklärten Multiplikation und der durch die komponentenweise [[komplexe Konjugation]] definierten Involution eine kommutative H*-Algebra.

== Strukturtheorie ==
Die zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie der H*-Algebren wurde 1945 von [[Warren Ambrose]] aufgedeckt.

=== 1. Struktursatz ===
Eine H*-Algebra <math>A</math> zerfällt in eine [[orthogonale Summe]] <math>A = \overline{A^2} \oplus (A^2)^{\perp}</math>. Dabei ist
<math>(A^2)^{\perp} = \{x\in A;\, xA=\{0\}\} = \{x\in A;\, Ax=\{0\}\}</math>
das [[Jacobson-Radikal]] von <math>A</math>, und <math>\overline{A^2}</math>, der Abschluss aller endlichen Summen von Produkten zweier Elemente aus <math>A</math>, ist eine [[halbeinfach]]e H*-Algebra, das heißt ihr Jacobson-Radikal ist <math>\{0\}</math>.

Das Produkt zweier Elemente des Radikals ist 0. Daher ist nur noch die Struktur halbeinfacher H*-Algebren zu untersuchen.

=== 2. Struktursatz ===
Eine halbeinfache H*-Algebra zerfällt in die orthogonale Summe der minimalen, abgeschlossenen, [[zweiseitiges Ideal|zweiseitigen Ideale]] und damit in eine direkte Summe einfacher H*-Algebren.

Dabei heißt eine H*-Algebra ''einfach'', wenn sie keine nicht-trivialen, zweiseitigen, abgeschlossenen Ideale hat. Damit ist nur noch die Struktur einfacher H*-Algebren zu untersuchen.

=== 3. Struktursatz ===
Eine einfache H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer vollen Matrix-Algebra.

Damit ist die Struktur der H*-Algebren aufgedeckt: Eine H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer orthogonalen Summe aus einem Hilbertraum mit der Nullmultiplikation und vollen Matrixalgebren. Der Hilbertraum mit der Nullmultiplikation ist das Jacobson-Radikal. Die einzelnen Summanden der direkten Summe können der [[Nullvektorraum|Nullraum]] sein, sie werden dann weggelassen.

== Siehe auch ==
* [[Hilbertalgebra]]

== Quellen ==
* F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
* Warren Ambrose: ''Structure Theorems for a special class of Banach-Algebras'', Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), Seiten 364–386

{{SORTIERUNG:H-Algebra}}
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

H*-Algebra - Versionsgeschichte

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