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2025-05-08T06:51:20Z

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Die '''Gysin-Sequenz''' ist in der [[Mathematik]], genauer in der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]], eine [[lange exakte Sequenz]], welche die [[Kohomologie]]klassen von Basis, Faser und Totalraum eines [[Sphärenbündel]]s miteinander in Beziehung setzt. Eine Anwendung stellt die Berechnung der Kohomologie aus der [[Eulerklasse]] (und umgekehrt) eines Sphärenbündels dar.

Die Sequenz wurde 1942 durch [[Werner Gysin]] eingeführt.

== Definition ==
Sei <math>E</math> ein [[Orientierung (Mathematik)|orientiertes]] Sphärenbündel, <math>M</math> die zugehörige Basis, <math>S^k</math> die typische Faser und <math>\pi: E\longrightarrow M</math> die Projektionsabbildung.
Einem solchen Bündel kann man eine Kohomologieklasse <math>e</math> vom Grad <math>k+1</math> zuordnen, die man als [[Euler-Klasse]] des Bündels bezeichnet.

Die Projektionsabbildung <math>\pi</math> auf die Basis induziert eine Abbildung in der Kohomologie <math>H^*</math>, den sogenannten [[Rücktransport|Pullback]] <math>\pi^*: H^*(M) \longrightarrow H^*(E)</math>. Weiterhin gibt es einen „Pushforward“ genannten Homomorphismus <math>\pi_*:H^n(E)\rightarrow H^{n-k}(M)</math>.

Gysin zeigte, dass die folgende lange Sequenz exakt ist:
<math>\ldots \longrightarrow H^n(E)\longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\pi_*}H^{n-k}(M)\longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!e\wedge}H^{n+1}(M)\longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\pi^*}H^{n+1}(E)\longrightarrow \ldots</math>

Am einfachsten lässt sich die Sequenz in [[De-Rham-Kohomologie]] beschreiben. Hier sind die Kohomologieklassen durch [[Differentialform]]en gegeben, die Eulerklasse kann also durch eine <math>k+1</math>–Form dargestellt werden. Die [[Pushforward]]-Abbildung ist durch faserweise Integration von Differentialformen auf der Sphäre gegeben und <math>\wedge</math> in der Sequenz bezeichnet das [[Äußere Algebra|äußere Produkt]] von Differentialformen. In [[Integrale Kohomologie|integraler Kohomologie]] dagegen kann man den Pushforward nicht mehr als Integration auffassen und das Wedgeprodukt muss durch das [[Cup-Produkt]] ersetzt werden.

== Literatur ==
* [[Werner Gysin]]: "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten", Commentarii Mathematici Helvetici, 14, 61–122 (1942). [https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/gysin.pdf online] (PDF; 5,4 MB)
* [[Raoul Bott]], Loring W. Tu: ''Differential Forms in Algebraic Topology.'' 4th printing. Springer, New York u. a. 2008, ISBN 978-0-387-90613-3 (''Graduate Texts in Mathematics'' 82).

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Gysin-Sequenz - Versionsgeschichte

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