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2025-11-06T21:08:33Z

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Der Begriff '''gute Primzahl''' wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer [[Primzahl]] mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.

== Definition nach Erdős und Straus ==
Die n-te Primzahl <math>p_n</math> heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen <math>p_{n-i}</math> und <math>p_{n+i}</math>, wobei <math>i</math> von 1 bis <math>n-1</math> geht, gilt:
:<math> p_n^2 \;>\; p_{n-i}\cdot p_{n+i}. </math>
Es gibt unendlich viele gute Primzahlen. Die ersten lauten
: 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, … ({{OEIS|A028388}})
Diese Definition geht auf [[Paul Erdős]] und [[Ernst Gabor Straus]] zurück.<ref>[[Richard Kenneth Guy]]: ''Good Primes and the Prime Number Graph.'' In: ''Unsolved Problems in Number Theory.'' 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32 f, §A14. ([https://books.google.de/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA54&dq=%22good+prime%22&hl=de#v=onepage&q=%22good%20prime%22&f=false Google Books])</ref>

=== Beispiele ===
'''Beispiel 1:'''

Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.

11 ist die 5. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, \mathbf{11}, 13, 17, 19, 23</math>.
Also ist zu prüfen:
: <math>11^2 = 121 > 7 \cdot 13 = 91</math>
: <math>11^2 = 121 > 5 \cdot 17 = 85</math>
: <math>11^2 = 121 > 3 \cdot 19 = 57</math>
: <math>11^2 = 121 > 2 \cdot 23 = 46</math>

Also ist 11 eine gute Primzahl.

'''Beispiel 2:'''

Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.

13 ist die 6. Primzahl: <math>2, 3, 5, 7, 11, \mathbf{13}, 17, 19, 23, 29, 31</math>.
Da
: <math>13^2 = 169 < 11 \cdot 17 = 187</math>,
gilt nicht <math>13 = p_6^2 > p_5\cdot p_7</math>.
Daher ist 13 ''keine'' gute Primzahl.

== Abgeschwächte Definition ==
Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.

Die n-te Primzahl <math>p_n</math> also heißt gut, falls
: <math> p_n^2 \;>\; p_{n-1}\cdot p_{n+1}</math>.

Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen, die ersten davon lauten
: 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, … ({{OEIS|A046869}})

=== Beispiel ===
Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil

: <math>79^2 = 6241 > 73 \cdot 83 = 6059</math>.

Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt

: <math>79^2 = 6241 < 71 \cdot 89 = 6319</math>.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=GoodPrime |title=Good Prime}}
* {{OEIS|A028388}}: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''
* {{OEIS|A046869}}: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im zweiten Sinn) auf ''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences''

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Primzahlklassen}}

[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Gute Primzahl - Versionsgeschichte

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