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2025-02-04T12:03:17Z

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Ein '''Gruppenisomorphismus''' ist ein [[mathematisches Objekt]] aus der [[Algebra]], das insbesondere in der [[Gruppentheorie]] betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von [[Isomorphismus|Isomorphismen]] wird der Gruppenisomorphismus als ein [[bijektive Funktion|bijektiver]] [[Gruppenhomomorphismus]] definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein '''Gruppenautomorphismus'''.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den [[Isomorphiesatz|Isomorphiesätzen]].

== Definition ==
Seien <math>\left(G,\ast\right)</math> und <math>\left(H,\star\right)</math> zwei [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]]. Ein [[Gruppenhomomorphismus]] <math>f \colon G\to H</math> heißt Gruppenisomorphismus, falls <math>f</math> eine [[inverse Abbildung]] besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus <math>g \colon H \to G</math> mit <math>f \circ g = \operatorname{id}_H</math> und <math>g \circ f = \operatorname{id}_G</math> gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus <math>f</math> [[Bijektive Abbildung|bijektiv]] ist.<ref>[[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 13.</ref> Man sagt dann, dass die Gruppen <math>G</math> und <math>H</math> '''isomorph''' sind und schreibt <math>G \cong H</math>.

Bildet der Gruppenisomorphismus von <math>\left(G,\ast\right)</math> nach <math>\left(G,\ast\right)</math> ab, sind also [[Definitionsbereich]] und [[Bildmenge]] gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus.<ref>[[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 14.</ref>

== Eigenschaften ==
* Da ein Gruppenisomorphismus [[Injektivität|injektiv]] ist, besteht sein [[Kern (Algebra)|Kern]] nur aus dem [[neutrales Element|neutralen Element]]:
::<math>\operatorname{Ker}\left(f\right)=\left\{e_G\right\}</math>
* Sein [[Bild (Mathematik)|Bild]] ist die ganze Gruppe, d. h.:
::<math>\operatorname{im}\left(f\right)=H</math>
* Zu jedem Gruppenisomorphismus <math>f\colon G\to H</math> existiert eine eindeutig bestimmte [[Umkehrfunktion]] <math>f^{-1}\colon H\to G</math>.

== Isomorphie von Gruppen ==
Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente (und eventuell der Bezeichnung der [[Gruppenoperation]]) und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine [[Äquivalenzrelation]] bildet.

== Beispiele ==
* Für jede Gruppe ''G'' ist die [[identische Abbildung]] <math>\operatorname{id}\colon G \to G, x \mapsto x</math>, ein Gruppenautomorphismus.
* Die [[Exponentialfunktion]] <math>\exp\colon\left(\mathbb{R},+\right) \to\left(\mathbb{R}_{>0}, \cdot\right) , x \mapsto e^x</math> , ist ein Gruppenisomorphismus.
* Die [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] mit einem festen Element der Gruppe beschreibt einen Gruppenautomorphismus.
* Ein tiefgründiges Theorem der elementaren [[Zahlentheorie]] besagt, dass <math>\mathbb{Z}^{\times}_p \cong \mathbb{Z}_{p-1}</math>. Ist nämlich <math>g</math> eine [[Primitivwurzel]] von <math>\mathbb{Z}_p</math>, so ist die Abbildung <math>f: \mathbb{Z}_{p-1} \to \mathbb{Z}^{\times}_p</math> definiert mit <math>f(a) = g^a</math> ein Isomorphismus.

== Siehe auch ==
* [[Automorphismus]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Gruppenisomorphismus - Versionsgeschichte

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