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2025-03-22T15:36:49Z

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Ein '''Gruppenhomomorphismus''' ist in der [[Gruppentheorie]] eine Abbildung zwischen zwei [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], die mit diesen [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträglich]] ist, und damit ein spezieller [[Homomorphismus]].

== Definition ==

Gegeben seien zwei Gruppen <math>(G, *)</math> und <math>(H, \star).</math> Eine Funktion <math>\phi\colon G \to H</math> heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente <math>g_1, g_2 \in G</math> gilt:
: <math>\phi(g_1 * g_2) = \phi(g_1) \star \phi(g_2).</math>

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus ''[[Algebraische Struktur|struktur]]erhaltend'' ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft und das Ergebnis abbildet oder ob man erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknüpft.

Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das [[Neutrales Element|neutrale Element]] <math>e_G</math> von <math>G</math> auf das neutrale Element <math>e_H</math> von <math>H</math> abbildet:
: <math>\begin{array}{rcll}
\phi(e_G) &=& \phi(e_G) \star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& \phi(e_G) \star (\phi(e_G) \star \phi(e_G)^{-1}) & \text{Def. Inverses in } H
\\&=& (\phi(e_G) \star \phi(e_G)) \star \phi(e_G)^{-1} & \text{Assoziativität}
\\&=& \phi(e_G * e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & e_G\text{ neutral}
\\&=& e_H & \text{Def. Inverses in } H.
\end{array}</math>

Weiterhin folgt, dass er [[Inverses Element|Inverse]] erhält:
: <math>\begin{array}{rcll}
\phi(g^{-1}) &=& \phi(g^{-1})\star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& \phi(g^{-1})\star (\phi(g) \star \phi(g)^{-1}) & \text{Def. Inverses in } H
\\&=& (\phi(g^{-1})\star \phi(g)) \star \phi(g)^{-1} & \text{Assoziativität}
\\&=& \phi(g^{-1}*g) \star \phi(g)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(g)^{-1} & \text{Def. Inverses in } G
\\&=& e_H \star \phi(g)^{-1} & \phi \text { erhält das neutrale Element}
\\&=& \phi(g)^{-1} & e_H\text{ neutral.}
\end{array}
</math>

== Bild und Kern ==

Als [[Bild (Mathematik)|Bild]] (engl. ''image'') des Gruppenhomomorphismus <math>f \colon G \to H</math> bezeichnet man die Bildmenge von <math>G</math> unter <math>f</math>:
:<math>f(G)=\operatorname{Bild}(f)=\operatorname{im}(f)\colon=\left\{f(u) \mid u\in G \right\}</math>

Der [[Kern (Algebra)|Kern]] (engl. ''kernel'') von <math>f</math> ist das [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] des neutralen Elements <math>e_H</math>:
:<math>f^{-1}(e_H)=\operatorname{Kern}(f)=\operatorname{ker}(f)\colon = \left\{ u \in G \mid f(u) = e_H\right\}</math>

Genau dann, wenn <math>\operatorname{Kern}(f)=\left\{e_G\right\}</math> gilt (der Kern von <math>f</math> also ''nur'' das neutrale Element von <math>G</math> enthält, das immer im Kern liegt), ist <math>f</math> [[Injektivität|injektiv]]. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-[[Monomorphismus]] genannt.

Der Kern von <math>f</math> ist stets ein [[Normalteiler]] von <math>G</math> und das Bild von <math>f</math> ist eine [[Untergruppe]] von <math>H</math>. Nach dem [[Homomorphiesatz]] ist die [[Faktorgruppe]] <math>G / \operatorname{Kern}(f)</math> isomorph zu <math>\operatorname{Bild}(f)</math>.

== Beispiele ==
'''Triviale Beispiele'''
* Sind <math>G</math> und <math>H</math> beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung <math>h \colon G \to H</math>, die jedes Element auf das neutrale Element von <math>H</math> abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz <math>G</math>.
* Für jede Gruppe <math>G</math> ist die [[identische Abbildung]] <math>\operatorname{id} \colon G \to G,\ \operatorname{id}(x) = x</math>, ein [[Bijektivität|bijektiver]] Gruppenhomomorphismus.
* Ist <math>H</math> eine Untergruppe der Gruppe <math>G</math>, so ist die [[Inklusionsabbildung]] <math>i\colon H\hookrightarrow G</math> ein injektiver Gruppenhomomorphismus von <math>H</math> in <math>G</math>.

'''Nichttriviale Beispiele'''
* Betrachte die additive Gruppe <math>(\Z, +)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] und die [[Faktorgruppe]] <math>(\Z/3\Z, +) = \{0 + 3\Z, 1 + 3\Z, 2 + 3\Z\}</math>. Die Abbildung <math>p\colon \Z \to \Z/3\Z,\ p(z) = z \,\bmod\, 3 = z + 3\Z</math> (siehe [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]] und [[Restklassenring]]), ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist [[Surjektivität|surjektiv]] und sein Kern besteht aus der Menge <math>3\Z</math> aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen. Dieser Homomorphismus wird ''kanonische Projektion'' genannt.
* Die [[Exponentialfunktion]] ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe <math>(\R, +)</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und der multiplikativen Gruppe <math>\left(\R^*, \cdot\right)</math> der reellen Zahlen ungleich 0, denn <math>\operatorname{exp}(x+y) = \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)</math>. Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
* Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> mit der Addition und den von 0 verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation. Dieser Homomorphismus ist surjektiv und sein Kern ist <math>\operatorname{ker}(\operatorname{exp}) = \left\{ 2\pi k i \colon k \in\Z \right\}</math>, wie man z. B. aus der [[Eulersche Identität|Eulerschen Identität]] entnehmen kann.
* Die Abbildung, die jeder invertierbaren <math>n \times n</math>-Matrix ihre [[Determinante]] zuordnet, ist ein Homomorphismus <math>GL(n,\mathbb{R})\to (\mathbb{R},\, \cdot)</math>
* Die Abbildung, die jeder [[Permutation]] ihr [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] zuordnet, ist ein Homomorphismus <math>S_n\to(\{\pm 1\},\, \cdot)</math>

== Verkettung von Gruppenhomomorphismen ==

Sind <math>h \colon G \to H</math> und <math>k \colon H \to K</math> zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] <math>k\circ h \colon G \to K</math> ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] aller Gruppen bildet mit den Gruppenhomomorphismen eine [[Kategorientheorie|Kategorie]].

== Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, Automorphismus ==
Ein Homomorphismus <math>f \colon G \to H</math> heißt
*'''[[Monomorphismus]]''', wenn er [[Injektivität|injektiv]] ist.
*'''[[Epimorphismus]]''', wenn er [[Surjektivität|surjektiv]] ist.
*'''[[Isomorphismus]]''', wenn er [[Bijektivität|bijektiv]] ist.

Ist <math>h \colon G \to H</math> ein [[Gruppenisomorphismus]], dann ist auch seine [[Umkehrfunktion]] ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen <math>G</math> und <math>H</math> heißen dann zueinander ''isomorph'': Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Ist <math>h \colon G \to G</math> ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er [[Gruppenautomorphismus]] genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von <math>G</math> bildet mit der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] einen [[Monoid]]. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe <math>G</math> bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe <math>\operatorname{Aut}(G)</math> von <math>G</math>.

Die Automorphismengruppe von <math>(\Z,+)</math> enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppe]] <math>C_2</math>.

In der Gruppe von <math>(\mathbb{Q},+)</math> ist jede [[lineare Abbildung]] <math>f\left(x\right) = m\cdot x</math> mit <math>m \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> ein Automorphismus.

== Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen ==

Sind <math>G</math> und <math>H</math> Gruppen, wobei <math>H</math> [[Abelsche Gruppe|abelsch]] ist, dann bildet die Menge <math>Hom(G,H)</math> aller Gruppenhomomorphismen von <math>G</math> nach <math>H</math> selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:

: <math>\left(h + k\right)\left(x\right) \colon = h\left(x\right)+ k\left(x\right)</math> für alle <math>x \in G</math>.
Die [[Kommutativgesetz|Kommutativität]] von <math>H</math> benötigt man, damit <math>h+k</math> wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Menge der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] einer abelschen Gruppe <math>G</math> bildet mit der Addition eine Gruppe, die als <math>End(G)</math> bezeichnet wird.

Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind <math>f\in Hom(K,G), h,k\in Hom(G,H), g\in Hom(H,L)</math>, dann gilt
: <math>\left(h + k\right)\circ f = \left(h \circ f\right) + \left(k \circ f\right)</math> und <math>g \circ\left(h + k\right) = \left(g \circ h\right) + \left(g \circ k\right)</math>.

Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe <math>End(G)</math> einer abelschen Gruppe sogar einen [[Ring (Algebra)|Ring]] bildet, den Endomorphismenring von <math>G</math>.

Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der [[Kleinsche Vierergruppe|Kleinschen Vierergruppe]] isomorph zum [[Matrizenring|Ring der 2×2-Matrizen]] über dem [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>.

== Siehe auch ==

* [[Homomorphe Verschlüsselung]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Gerd Fischer, Boris Andre Michael Springborn |Titel=Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=19., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin [Heidelberg] |Datum=2020 |Reihe=Grundkurs Mathematik |ISBN=978-3-662-61644-4 }}

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Gruppenhomomorphismus - Versionsgeschichte

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